磁悬浮系统建模与分析

张永立，李欣颀，刘 宇

（1.天津职业技术师范大学自动化与电气工程学院，天津 300222；2.天津职业技术师范大学天津市信息传感与智能控制重点实验室，天津 300222）

磁悬浮技术（electro magnetic levitation，EML）简称EML 技术或Maglev 技术，它是利用磁场特性使物体悬浮在空中，目前主要将其运用于城市轨道交通[1-5]。20 世纪60 年代初，以英国、德国为首的西方国家开始投入磁悬浮运输工具，其中由马法伊制造出小型磁悬浮列车工程样机，实现最高时速165 km。日本主要专攻电动型（electro dynamic system）磁悬浮[6-9]，即通过外部磁场，使金属内感应出涡流，从而产生排斥的电磁力来悬浮物体。1983 年，惠普公司在开发的航空发动机中成功应用了磁悬浮轴承。1997 年高温磁悬浮轴承在美国研究成功，该磁悬浮轴承可在510 ℃高温下为航空电机工作，转速可达22 000 r/min[3]。而我国磁悬浮技术研究起步较晚，20 世纪90 年代末期，中国铁道科学研究院成功研制出单转向架低速常导磁浮试验车，1998 年西南交通大学在青城山建设了一条长425 米的工程试验示范运营线[10-14]。本研究通过Matlab 仿真，对下推式磁悬浮系统进行机理建模并构造控制器，设计一种多自由度、下推磁场磁悬浮系统，仿真结果表明：浮子可以在仅借助磁场力的作用下稳定地悬浮在指定的位置。

1 下推式磁悬浮系统的结构原理

下推式磁悬浮磁源概念如图1 所示。由于环形磁体可以产生较大的谷形磁场，使浮子磁体在垂直方向受到与重力作用相反的斥力，所以物体悬浮高度主要取决于环形磁铁的磁性强弱以及浮子的质量。在水平面上，由于浮子在磁场中受到磁场产生的随机扰动，使得磁场斥力不对称，吸引力大的一边会逐渐增加，吸引力小的一边也会逐渐减弱，而使其背离中心位置运动；浮子在磁场中还受到旋转力矩的作用，使其产生旋转。因此，为了保证浮子在磁场中保持水平稳定，系统需要投入新的微弱的磁场，克服其原先的运动状态，进而达到稳定控制浮子的目的。

图1 下推式磁悬浮系统磁源概念

2 系统模型

2.1 浮子磁体所受磁场力分析

柱形磁铁浮子结构如图2 所示。

图2 柱形磁铁浮子结构

在浮子上面取相对于磁铁固定的任意参考节点A，若磁铁的磁化强度为M（x），x 为浮子上某一点相对于参考点A 的矢量。忽略外磁场强度变化对浮子磁体磁化强度的影响，可得磁铁在磁场中的总势能为：

式中：V 为使x 取遍整个磁体；B 为磁感应强度。

则浮子磁体在磁场中受到平面方向的力为：

2.2 通电线圈磁场分析

为了简化分析过程，将线圈中通入经过功率放大器放大后的直流电流，利用叠加原理，将一个通电线圈产生的磁场看作是单位长度内有限个线圈产生的磁力之和。由毕奥—萨伐尔定律可得线圈产生的磁感应强度为：

式中：μ 为真空磁导率；I 为通过通电线圈的直流电流值；R 为距离通电线圈轴线的距离。

根据通电线圈空间对称原理，选取柱形坐标系进行建模分析。若在原坐标处放置一通电线圈，设其原点坐标为O（r1，φ0，t），则在轴线外一点P（R，φ，z）处磁势为：

式中：b 为通电线圈半径；J 为通电线圈电流密度。

将式（4）代入Maxwell 方程组：

可得：

式中：b 为通电线圈半径；J=ln/t，l 为通电线圈长度，n为线圈匝数，t 为通电时间。

通电螺线管位置示意图如图3 所示。根据磁场叠加原理可得2 个通电螺线管在P（R，φ，z）处XY 方向所产生的磁场强度为：

图3 通电螺线管位置示意图

运动学第二定律：

式中：m 为浮子质量；x 为相对位置矢量；F 为水平方向物体所受的电磁力。

将式（8）求得磁场强度代入式（2），根据式（9）将其积分项Taylor 展开可得归一化方程：

系统开环传递函数为：

根据劳斯判据可知，下推式磁悬浮开环系统中有一个极点在复平面右半平面，故系统开环不稳定，需要引入控制器对系统进行校正。

2.3 环形磁体磁力模型

下推式磁悬浮系统根据2 个柱形磁环之间的磁力作用原理，其内外2 个环形磁铁磁化方向相反，轴线平行，浮子中心偏移模型如图5 所示。

图4 系统零极点与根轨迹图

图5 浮子中心偏移模型

根据图5 可知，浮子在Z 轴方向产生偏移量e。其中，浮子磁力的半径和厚度分别为R1和l1，浮子磁体表面磁面磁荷密度为σ1，环形磁铁的内外半径和厚度分别为R2、R3和l2，环形磁铁的磁体表面磁面磁荷密度为σ2。根据同轴装配磁化方向相反，产生相反斥力，使得垂直方向浮子磁体与重力平衡，进而实现浮子平衡悬浮于空中。图5 中为2 个磁体轴向相对位移即浮子磁体悬浮高度。

忽略浮子磁体相对运动，由参考文献[15]可知浮子表面1 上微元磁荷P 受到环形磁体表面3 上Q 点的微元作用力为：

其中：

则微元在H 方向的投影为：

在Y 方向的投影为：

在Z 方向的投影为：

由式（14）、（15）、（16）、（17）可得系统总轴向力为：

其中

对上式积分，得到总的轴向力为：

根据上式的推导过程，导出浮子磁体和环形磁铁之间的径向磁力为：

当e=0 时，浮子处于同轴中心位置。由于系统机械结构对称，所以浮子磁体处于平衡位置在X 轴和Y轴方向所受环形磁体的力恒为0。

为探究系统浮子悬浮高度与所受磁力之间的关系，对同轴环形磁体系统进行定量分析。根据购置实物，取轴半径及厚度分别为R1=0.039 4（m）和l1=0.007 0（m），环形磁铁的内外半径和厚度分别为R2=0.045 4（m），R3=0.094 5（m）和l2=0.014 0（m）。浮子所受磁力与影响因素的关系曲线如图6 所示。

由图6（a）可知，当浮子悬浮高度小于环形磁体厚度时，其所受磁力逐渐增加；由于极化方向相同不产生H 轴力的投影，当浮子磁体悬浮高度增加，浮子磁体刚好离开环形磁铁时，此时浮子磁体所受磁力最大。当浮子悬浮高度大于环形磁体厚度时，空气阻力不断加大，浮子所受磁力不断减小，最终趋于0。

图6（b）为探究不同类型浮子悬浮高度与所受磁力之间的关系，将高度浮子磁体重复进行图6（a）实验。根据图像可知，当悬浮高度小于环形磁体厚度时，浮子所受磁力差别较大，随着悬浮高度的不断增加，其差异不断减小，最终均趋近于0。由此可见，浮子磁体类型对系统整体探究并无明显影响。

图6（c）为不同半径环形磁铁对比实验。根据实验曲线可知，虽然不同半径的环形磁体随着高度增加磁力均趋向于0，但在相同高度下磁力相差均较大，故可得到环形磁体半径对系统有着较大影响的结论。

图6（d）为不同程度偏差量所受纵向力比较分析。当偏心时，对系统进行定量分析。由于浮子磁体在空间发生偏移，所以空间机械结构并不对称，浮子在Z轴上随着悬浮高度的改变将会受到随高度改变的纵向力作用。这也是造成系统不稳定的重要因素之一。由于浮子在不同悬浮高度会受到不同悬浮力作用，在无校正干预下不会自动恢复到平衡位置，所以浮子会向某一方向做加速运动，进而加大偏差量e 的值。

图6 浮子所受磁力与影响因素的关系曲线

3 控制器设计

下推式磁悬浮系统主要由控制器、执行器、被控对象及传感器构成，其系统组成如图7 所示，系统机械结构如图8 所示。

其中环形磁铁可产生向上的磁力，用于抵消浮子所受重力作用，使浮子可以稳定悬浮。系统执行器为功率放大器，其通过驱动线圈电流大小的改变校正磁场。系统传感器可使用2 个垂直放置的线性霍尔传感器测量浮子位置，并与指定位置数值进行比较，将比较误差传送给控制器，进而实现对系统的闭环控制。

图7 下推式磁悬浮系统框图

图8 下推式磁悬浮系统机械结构

由于下推式磁悬浮系统数学模型较为复杂，在工程实际应用中多采用线性化处理，因此模型误差较大。为保证系统控制效果，控制器多选用灵活性、适应性较高的控制算法。PID 控制调节器对数学模型精度要求较低，技术较为成熟，符合本系统控制情况，因此本系统最终选用PID 控制调节器对系统实现有效控制。PID 控制器的数学表达式为：

式中：Kp为比例调节系数：Ti为积分时间常数；Td为微分时间常数。

根据系统组成框图在Simulink 下建立基于微元分析得数学模型的仿真系统如图9 所示，Signal Builder 模块在t=2 s 时引入冲击干扰信号如图10所示。

图9 Simulink 仿真系统图

图10 冲击干扰信号

为了使系统响应快速，并且具有微小超调量，需合理选择PID 控制器的参数，这里分别采用4 组PID控制参数进行仿真实验，系统仿真响应曲线如图11所示。PID 控制参数及控制效果如表1 所示。

根据表1 和图11 可知，增大调节微分时间，可以减小系统超调量达到较理想效果，若继续增大，系统将会出现高频振荡，并且微分环节可以实现系统的预判。若减小调节积分时间，可以减小系统的静态误差，即较少超调量甚至达到无超调，并且对于磁悬浮来说，减小积分时间，可以避免在较大的外部干扰下，浮子运动超出控制范围。但是，过于增大积分时间会给磁悬浮系统带来滞后性，甚至会造成积分饱和不能平衡。调整比例系数，系统响应速度随着比例系数的增大而逐渐增加，过量调节比例系数会使系统出现振荡现象，若继续增大会使系统发散，失去控制。因此，实现系统快速响应，比例作用是不可缺少的环节。

图11 系统仿真响应曲线

表1 PID 控制器参数整定及控制效果

4 结 语

本文对下推式磁悬浮系统的工作原理及模型进行了分析。采用微元法构建下推式磁悬浮系统数学解析式模型；通过等效磁荷理论分析了浮子磁体在平衡位置所受的磁力；利用劳斯判据分析系统开环不稳定性；设计PID 控制器对系统进行控制，并说明PID各参数之间的影响关系。本研究结果表明，PID控制器可有效快速使浮子处于稳定状态，达到设计要求。