基于渐进迭代逼近的矢量地图曲线化简方法

周 晨，陈 伟,2，刘 渊,2

基于渐进迭代逼近的矢量地图曲线化简方法

周 晨1，陈 伟1,2，刘 渊1,2

(1. 江南大学人工智能与计算机学院，江苏 无锡 214122； 2.江苏省媒体设计与软件技术重点实验室(江南大学)，江苏 无锡 214122)

矢量地图化简在地形仿真、制图综合等研究中具有重要应用。针对已有算法难以兼顾化简曲线的整体形态和局部特征点精度的问题，提出一种基于B样条曲线渐进迭代逼近(PIA)的矢量地图曲线化简方法。首先筛选出能保持曲线轮廓、具有最大信息量的特征点列，将其作为初始控制点列，得到相应的非均匀3次B样条拟合曲线；然后根据拟合曲线与特征点的误差进行迭代调整控制点，逐步得到一系列逼近曲线，直至最终满足精度要求。实验表明，PIA方法不仅保持了化简曲线的整体几何形态，而且能在满足全局误差要求的情况下，实现特征点处的高精度逼近。

地图综合；曲线；样条；渐进迭代逼近；化简

在地理信息系统(geographic information system，GIS)中，地图要素按照其对应地图符号的几何属性可以分为点、线、面3类，其中线状要素所占比例最大，如地形等高线、区域分界线、道路、河系等多种类型。对于面状要素，比如湖泊、岛屿、植被、居民地、行政区等，在内部匀质的情况下，人们也往往更关注其外围轮廓线[1]。在GIS矢量空间数据中，一条曲线是经过数字化采样得到一个有序点列，线状要素具有数据量大、形态复杂的特点。根据地图制图学的要求，曲线化简是在尽量保持曲线关键位置精度及几何形态结构的前提下，尽可能多地剔除曲线上冗余或次要的点，以达到减少数据量及适应小比例尺地图显示的需求[2]。因此，位置精度和形态结构保持是矢量地图曲线化简中需要考虑的重要因素。所谓关键位置，是指曲线上能够反映地理特性的点或有特殊含义的地理位置，几何上一般对应为曲线上的特征点。

矢量地图曲线化简是地图自动综合领域的研究热点，也是地图学与地理信息科学界公认的一个难题[1]。国内外学者提出了多种不同的矢量曲线化简方法，主要归纳为2类：基于空间几何化简的算法和基于频域滤波的算法。

基于空间几何化简算法中，绝大部分通过对曲线上点的取舍使曲线得到简化，同时保持曲线的整体形态。1973年，DOUGLAS和PEUCKER[3]提出的一种矢量地图数据的折线简化法，即DP算法，具有保留最大信息量点的特征[4]。几乎同时，RAMER[5]于1972年、DUDA和HART[6]于1973年分别独立提出同样的算法。另外，也有文献提出基于曲线上弯曲结构的取舍的化简算法[7-9]，但目前在弯曲的定义与处理上还不能协调一致[4]。文献[10]对常见的化简算法进行性能比较后发现，DP算法具有最优的整体形态和关键点保持能力，不足之处是不能得到光滑弯曲的化简曲线，给人以生硬的视觉效果。

而基于频域滤波的曲线化简算法，是将原始曲线经Fourier和小波变换等操作，在频域空间中保留曲线的重要特征系数，再通过反变换得到化简后的曲线。文献[11-12]将闭型地图曲线经Fourier变换转换到频率空间，从而实现了从粗糙到精细地重构原始曲线。为了兼容开型地图曲线的化简，文献中首先对原始曲线作镜像对称复制，得到封闭曲线后再作Fourier变换。文献[12-17]将小波分析理论应用到地图矢量曲线的化简及压缩中。需要指出的是，虽然小波具有多分辨率分析的内在属性，可以生成信号的多尺度表达模型。但是在地图曲线化简的特定应用中，曲线上的特征点一般具有特殊含义，在对原始曲线化简或压缩过程中，要求这些点不产生移位，即保证这些位置处的拟合精度[11]。而根据时频变换理论可知，将地图曲线经时频变换后，空间特征点的信息已经被散播在各频段系数中，若要精确重构特征点位置，则需大量增加频域重构项数，而这又与曲线化简的目标发生内在矛盾。文献[13-14]通过多种后处理的方法进行特征点误差修正，但同时又带来算法复杂，适应性不强等问题。

综上所述，在地图矢量曲线化简问题中，已有方法很难兼顾化简结果的全局形态与局部精度。因此，可将地图矢量曲线的化简看作一个B样条曲线拟合问题，引入近年来在计算机辅助设计(computer aided geometric design，CAGD)领域流行的渐进迭代逼近方法，使化简曲线既能保持原始地图曲线的整体形态，又能满足局部拟合精度的要求。

1 相关工作

1.1 Douglas-Peucker(DP)算法

DP算法是比较经典且广为引用的算法，本文对该算法做简要介绍。

对于开型曲线(图1)，起点0和终点P为地理目标的起讫点，其具有重要的地理意义和结构意义，因此是不可移动的特征点。首先将0和P连成直线段，其是该曲线的极限化简状态。计算所有中间点到该直线段的距离，找到最大距离max对应的点P，其对于确保曲线的特征有不可替代的重要性。也就是说，相比其他中间点而言，保留P将使曲线变形最小。

图1 Douglas-Peucker算法

若max小于预设限差，则该曲线用该段基线代替；否则，P作为新的特征点将原曲线作进一步的划分，直到所有子曲线段的最大偏移量均小于为止。将保留下来的所有特征点按序连成折线即为最终的化简结果。通过DP算法保留下来的特征点，均是为确保相应子曲线段的轮廓特征具有最大贡献的点，这是DP算法具有最大信息量的主要原因，从而被广泛地应用[18-22]。

对于闭型曲线，首先用恰当的方法对其一分为二，然后再分别用上述算法进行化简，不再赘述。

1.2 渐进迭代逼近(PIA)算法

渐进迭代逼近(progressive-iterative approximation，PIA)，又称为几何迭代法，是一种具有明显几何意义的曲线曲面逼近方法。从一条初始混合曲线开始，迭代地调整其控制顶点位置，即可使这条曲线收敛到一条插值给定数据点列的曲线。PIA方法肇始于1975年由齐东旭等[23]提出的均匀3次B样条曲线拟合的盈亏修正算法；1979年，DE BOOR[24]也独立提出了这一算法；近年来，国内学者对PIA方法做了深入的理论推广及广泛地应用研究[25-29]。

本文对插值型PIA方法做简要介绍。

给定空间中的一个有序型值点列{Q，=0,1,···,}，其中每个型值点Q赋予一个参数值{t，=0,1,···,}，满足

以该型值点列为初始控制多边形顶点，构造一组初始混合曲线

为了生成第+1次迭代后的曲线，首先计算每个型值点Q与(k)()上对应参数点的差向量

然后，将()加到曲线(k)()的相应的控制顶点上，得到第+1次迭代生成曲线的控制顶点

从而得到第+1次迭代后生成的曲线

由此可见，这个迭代过程将产生一个曲线序列

文献[25]证明了，只要调配基函数是全正基函数，那么这个曲线序列就收敛到一条插值给定型值点列{Q，=0,1,···,}的曲线，即

需要指出的是，虽然选择3次非均匀B样条基函数作为调配基函数，从理论上保证了曲线序列收敛到型值点列。但是在地图曲线化简应用中，并不过分强调化简曲线的插值性。实验结果表明，一般情况下，只需作较少次数迭代(3次左右)即可满足实际化简要求，与PIA方法在某些高精度曲线逼近应用领域(如等距线逼近、工业产品设计等)具有不同之处。

2 矢量地图曲线化简的PIA方法

以DP算法获取的地图曲线特征点为基础，通过引入B样条曲线拟合中的渐进迭代逼近方法，得到一种兼顾全局形态与局部精度的曲线化简方法。

设原始矢量地图曲线由有序点列{P，=0,1,···,}组成，当0=时为闭型曲线，如等高线、区域轮廓线等地图实体；否则，当0≠时为开型曲线，如河流、道路等地图实体。在运用PIA方法之前，首先需要从原始曲线点列中提取特征点，能较好地反映原始曲线的形状信息。尽管在CAGD领域中已提出多种方法用于数字曲线特征点的检测及提取[30-31]，一般可通过计算数字曲线上各点处的曲率来判断其重要性，从而筛选出特征点。但是在数字地图领域，地图曲线具有复杂程度高、在多个尺度上具有振荡性的特点。因此，基于局部信息的曲率估计方法很难有效地提取地图曲线上的特征点。如前所述，DP算法在数字地图综合领域具有持久的生命力，一个重要的原因是其能够有效筛选出各种地形曲线的特征点。因此，本文将利用DP算法获取地图曲线上的特征点。

当0=Q时，取延拓型值点-1=Q1，Q1=1；当0≠Q时，取延拓型值点-1=0，Q1=Q。于是得到以{Q，=-1,0,1,···,+1}为控制点的3次非均匀B样条初始曲线

其中，B()为3次非均匀B样条基函数。

一般说来，由式(8)得到的初始曲线(0)()能够刻画出原地图曲线的整体形态。但由于{Q，=0,1,···,}为原曲线的特征点，往往位于曲线变化比较大的地方，此时初始曲线(0)()与型值的误差较大。为了保持特征点在地图曲线化简过程中的精度，运用渐进迭代逼近方法，通过有限次迭代，得到新的3次非均匀B样条曲线

当满足逼近精度要求时，(k)()即可作为最终的化简曲线。关于迭代次数与逼近误差的关系，将在下节内容中讨论。

3 实验与分析

3.1 实验1：地图曲线化简

实验采用图2(a)所示的一条由1 577个点构成的地图曲线数据，图2(b)为通过DP算法得到的包含85个特征点({Q，=0,1,···,84}，其中0=84)的化简曲线。可以看出，DP算法结果保留了曲线的特征点，一定程度上保持了原曲线的形状，但未经光滑处理，看上去比较生硬。

图3为分别通过Fourier变换和小波变换得到的化简结果。图4分别为弯曲取舍[32-33]和Li-Openshaw算法[34-35]的化简结果。通过Fourier和小波变换得到曲线较为光滑。但化简曲线在某些特征点的误差较大，即产生特征位移现象。而弯曲取舍和Li-Openshaw算法得到的曲线可以保持曲线轮廓的基本特征，但光滑度较差并不能保证化简曲线在特征点处的精度。

图5为PIA方法在不同迭代次数(0次、1次、3次及5次)得到的化简曲线。可知，用3次B样条曲线进行拟合时，其可以反映出原始曲线的整体形态且具有良好的光滑性，但对于特征点的保持能力较差。但通过PIA方法很少的迭代次数，拟合曲线就会逼近特征点，当迭代次数达到5次时，对应的3次B样条曲线(5)()非常接近特征点，几乎达到插值的效果。

图2 地图曲线及其DP算法化简结果((a)原始曲线(1 577个点)；(b)化简曲线(85个点))

为定量分析特征点的逼近误差，定义化简曲线在特征点Q处的逼近误差为

图3 基于Fourier变换或小波变换(db4)的化简结果及局部放大((a) Fourier重构(50项)；(b) Fourier重构(100项)；(c)小波重构(56项)；(d)小波重构(105项))

Fig. 3 Simplification result and local magnification based on Fourier or wavelet transform (db4) ((a)Reconstruction of Fourier (50 items); (b) Reconstruction of Fourier (100 items); (c) Reconstruction of wavelet (56 items); (d) Reconstruction of wavelet (105 items) )

图4 基于弯曲取舍或Li-Openshaw算法的化简结果及其局部放大((a)弯曲取舍(70个点)；(b)弯曲取舍(192个点)；(c) Li-Openshaw(54个点)；(d) Li-Openshaw (90个点))

图5 基于PIA方法的化简结果及其局部放大((a)迭代0次；(b)迭代1次；(c)迭代3次；(d)迭代5次)

分别计算以下3种误差：

(1) 平均误差为

(2) 最大误差为

(3) 标准差为

表1列出了上述化简方法特征点处的误差数据。可以看出，PIA方法在提高化简曲线在特征点处的精度是有效的。每迭代1次，便可使逼近精度大幅提高，同时保持了化简曲线的整体形态。但随着迭代次数的增加，逼近误差明显减小，且特征点数目始终保持不变。在滤波、弯曲取舍及Li-Openshaw方法中，若要减小其误差，则必须增加重构系数或综合后点的数量，与地图曲线化简的初衷有内在矛盾。

此外，表2分别计算了在已知特征点的情况下，PIA方法及传统方法对图2所示等高线化简所需时间结果(相同环境下运行1 000次取平均值)。

3.2 实验2：PIA迭代次数及全局误差分析

为进一步分析PIA迭代次数对化简曲线局部及全局误差的关系，选择典型的116条等高线数据作化简实验。表3显示了6条等高线及其相应的化简结果，可以看出，PIA方法能够得到保持原等高线整体形态的光滑曲线。接下来将定量分析使用PIA方法所得化简曲线的局部及全局误差。

表1 不同方法的逼近误差(×0.01)

表2 不同化简算法重构所需时间(ms)

表3 116条等高线中6条等高线及PIA方法化简结果

首先计算PIA方法在不同迭代次数(1～10次)下全部等高线化简结果在特征点处的平均误差(表4)。可以看出，随着迭代次数的增加，化简曲线在特征点处的误差逐渐减小，其局部保持能力不断增强。图6为迭代次数与误差之间的关系。可以看出，3次迭代后特征点的各逼近误差仅为初始误差的10%左右，继续增加迭代次数，误差将继续减少。因此，在实际化简应用中，若无特殊要求，迭代次数设为3次即可，或根据精度要求选择迭代次数。

进一步计算化简曲线的全局误差，定义平均全局误差为

图7为116条等高线分别利用5种方法得到化简曲线的全局平均误差。可以看出，利用PIA方法得到的所有化简曲线的全局平均误差中，仅有2条略大于小波变换，其余均小于其他方法。因此，PIA方法在保证局部特征点精度的前提下，并未牺牲化简曲线的全局精度。

表4 116条等高线在PIA方法各迭代次数下的误差(×0.01)

图6 PIA方法迭代次数与误差的关系

图7 等高线化简曲线的平均全局误差

4 结 论

本文将渐进迭代逼近理论首次引入到地图曲线化简领域。针对地图曲线化简的应用需求，本文提出的算法和实验结果表明，渐进迭代逼近理论能够有效地解决化简曲线的整体几何形态和局部特征精度之间的矛盾。

作为一项探索性研究工作，为了将本文提出的方法有效应用到地图数据的表达、分析及处理中，仍有许多问题需要解决。包括海量地图数据的高效处理、地图曲线的拓扑结构保持等问题，尚需进行更深入理论及应用研究。

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Vector map curve simplification algorithm based on progressive-iterative approximation

ZHOU Chen1, CHEN Wei1,2, LIU Yuan1,2

(1. School of Artificial Intelligence and Computer Science, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China; 2. Jiangsu Key Laboratory of Media Design and Software Technology, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China)

Vector map simplification plays an important role in the research on terrain simulation, cartographic generalization, and so on. As it is difficult to balance the overall shape and local feature point accuracy of the simplified curve with the existing algorithms, a vector map simplification method based on progressive iterative approximation (PIA) with B-spline curve was proposed. First, select the feature point sequence that can maintain the contour of the curve with the largest amount of information, and use it as the initial control point sequence to obtain the corresponding nonuniform cubic B-spline curve. Secondly, it obtained a series of curves that were gradually fitting the real one by iteratively adjusting the control points according to the bias between the fitted curve and the feature points until the accuracy requirements were met. The experiments result show that the PIA method can not only keep the overall geometry of the map curve, but also achieve high-precision approximation at feature points while meeting the global bias requirements.

map synthesis; curve; spline; progressive-iterative approximation; simplification

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021060979

A

2095-302X(2021)06-0979-08

2021-01-31；

2021-03-10

国家自然科学基金项目(61602213，61772013)；国家重点研发计划项目(2017YFB0202303)

周 晨(1994-)，男，安徽宿州人，硕士研究生。主要研究方向为计算机图形学。E-mail：6181611034@stu.jiangnan.edu.cn

陈 伟(1986–)，男，江苏宝应人，副教授，博士。主要研究方向为计算机辅助几何设计、计算机图形学等。E-mail：wchen_jdsm@163.com

31 January，2021；

10March，2021

National Natural Science Foundation of China (61602213，61772013); TheNational Key R&D Program of China (2017YFB0202303)

ZHOU Chen (1994-), male, master student. His main research interest covers computer graphics. E-mail：6181611034@stu.jiangnan.edu.cn

CHEN Wei (1986–), male, associate professor, Ph.D. His main research interests cover computer aided geometric design, computer graphics, etc. E-mail：wchen_jdsm@163.com