基于Lp伪范数和高阶OGS全变分的椒盐噪声去除

程祝媛，倪婉贞，陈颖频

基于Lp伪范数和高阶OGS全变分的椒盐噪声去除

程祝媛1，倪婉贞2，陈颖频2

(1. 福建省新源电力发展集团有限公司，福建 漳州 363000； 2. 闽南师范大学物理与信息工程学院，福建 漳州 363000)

全变分(TV)模型广泛应用于椒盐噪声的去除。然而，TV模型中存在着严重的阶梯效应。近年来，由于低阶交叠组稀疏(LOGS)全变分能够很好地抑制阶梯效应，受到了越来越多的关注，但仍有改进空间。实际上，其只考虑一阶图像梯度的先验信息，而忽略了高阶图像梯度的先验信息。为了进一步提高恢复图像的质量，提出了一种结合Lp伪范数的高阶OGS全变分，在利用高阶梯度的OGS约束更好地描述图像梯度稀疏先验的同时，还利用Lp伪范数的强稀疏诱导能力更好地描述椒盐噪声的稀疏性。该模型采用交替方向乘子法求解，并将模型分解为若干个子问题求解。最后，通过实验验证了该模型的正确性，并结合峰值信噪比、结构相似性度和梯度幅值相似性偏差对模型的恢复性能进行了评价。实验结果表明，该方法相比一些先进的去噪模型具有很强的竞争力。

图像去噪；交叠组稀疏；Lp伪范数；高阶梯度；正则项

在信息化时代，图像是一类重要的传递信息的方式。但图像在生成过程中极易受到各种噪声的污染，故而去噪问题一直是图像处理研究的热点。

椒盐噪声是一种常见的随机噪声，是因光学成像设备故障所导致，图像存在一定的概率被冲击噪声或零值噪声污染特点。常见的椒盐噪声去除方法有：基于中值滤波的去噪方法和基于全变分(total variation，TV)模型的去噪方法，其中，中值滤波的去噪方法虽然能有效地去除椒盐噪声，但同时也在一定程度损伤图像细节[1]。TV正则项被广泛应用于各类噪声(包括椒盐噪声)去除[2]，其优点在于在抑制噪声的同时还能有效保持图像的边缘部分。传统的TV模型包括各向异性全变分(anisotropy total variation，ATV)[3]和各项同性全变分(isotropic total variation，ITV)[4]，其不足之处在于存在严重的阶梯效应[5-6]。为了解决或缓解TV模型的阶梯效应，学者们提出了各种改进模型。如，BREDIES等[7]提出的广义全变分模型(total generalized variation，TGV)，对图像的高阶梯度进行稀疏约束，有效缓解了阶梯效应。SELESNICK和CHEN[8]提出交叠组稀疏全变分正则项(overlapping group sparsity total variation，OGSTV)，其充分考虑了像素点的邻域信息，也能有效缓解TV模型的阶梯效应。WU等[9]从差分算子的结构出发，提出基于四方向分数阶差分算子的全变分正则项，在一定程度上抑制了TV模型的阶梯效应。

椒盐噪声幅度呈现明显的稀疏统计特性。基于此，LIU等[10]利用L1范数对噪声的统计特性进行整体刻画，并将OGSTV引入椒盐噪声建模中，取得良好的去噪效果。同时将椒盐噪声理解为随机变量，整体地对噪声进行处理，避免了对噪声进行逐点监测，因此该模型在效率上也有一定优势。值得指出的是，文献[10]模型仅以L1范数描述冲击噪声的数学统计特性，而L1范数仅仅是L0范数的凸松弛，对稀疏性刻画能力有限。Lp伪范数相比于L1范数具有更加良好的稀疏刻画能力，可用于椒盐噪声的去除，近年来得到了学者们的广泛关注[11-20]。例如，WANG等[17]在数学模型的基础上，用Lp伪范数代替L1范数，描述椒盐噪声的统计特性，提出一种低阶交叠组合稀疏的图像去噪方法(low-order overlapping group sparsity with Lp- pseudo-norm，LOGS_Lp)，取得了较好的椒盐噪声去噪效果。许基隆和陈颖频[21]将Lp伪范数引入ITV去噪模型，提出的基于全变分技术和Lp伪范数的去噪方法(isotropic total variation with Lp pseudo-norm，ITV_Lp)，也证明了用Lp伪范数代替L1范数能够更好地描述椒盐噪声的统计特性。LIN等[16]从图像高阶梯度的稀疏约束出发，将Lp伪范数结合TGV模型，提出一种性能良好的图像恢复算法。

在上述几种基于Lp伪范数的图像恢复算法中，WANG等[17]提出的LOGS_Lp具有较好的去噪性能，但该模型仅对图像的低阶梯度信息进行了交叠组稀疏约束，并未考虑图像高阶梯度的交叠组稀疏先验知识。为了进一步挖掘图像高阶梯度的先验知识，本文在保留了LOSG_Lp模型中的Lp伪范数用于噪声稀疏性的刻画同时，还将图像的二阶梯度进行了交叠组稀疏约束，提出了基于Lp伪范数和高阶交叠组稀疏(high-order overlapping group sparsity with Lp-pseudo-norm，HOGS_Lp)的椒盐噪声去除模型，然后采用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，ADMM)[22]求解。实验结果表明，本文方法相比于已有的去噪方法具有更为良好的去噪性能。

1 预备知识

1.1 Lp伪范数

椒盐噪声是一种具有稀疏统计特性的噪声，采用Lp伪范数能够对稀疏特性进行更好地描述。因此，本文将Lp伪范数引入椒盐噪声去除模型。

图1 3种范数对稀疏性的刻画((a) L2范数刻画的稀疏性；(b) L1范数刻画的稀疏性； (c) Lp伪范数刻画的稀疏性)

1.2 交叠组稀疏全变分正则项

交叠组稀疏全变分正则项定义为

1.3 LOGS_Lp椒盐噪声去除模型

椒盐噪声背景下的LOGS_Lp去噪模型为

LOGS_Lp模型挖掘了Lp伪范数和交叠组稀疏全变分正则项的优点，相比传统去噪算法的性能有了较大提高。由式(3)可知交叠组稀疏全变分模型只考虑了一阶梯度的信息，为了提升去噪效果，本文将低阶交叠组稀疏全变分模型推广至高阶交叠组稀疏全变分模型。高阶交叠组稀疏全变分模型同时考虑了一阶和二阶的梯度信息。另外，本文更加精确地刻画图像稀疏特性，将Lp伪范数引入高阶交叠组稀疏全变分模型中。

2 提出模型及求解

本文将Lp伪范数引入高阶交叠组稀疏全变分模型，提出一种新的去噪模型，即

其中，1，2，3，4为正则项系数。

令0=-，1=K*，2=K*，3=K*K*，4=K*K*，并引入对应的拉格朗日乘子L(= 0,1,···,4)和二次惩罚项，则原问题的增广拉格朗日目标函数为

为求解目标函数，需求解每个变量的子问题。对于子问题，可表示为

由于L(=0,1,···,4)与相互去耦合，可以将的目标函数写为

利用卷积定理，对式(8)做傅里叶变换，得

整理得

其中，1为元素全是1的矩阵。

则有

对于0子问题，其目标函数为

根据Lp收缩方式

0的收缩式为

对于1子问题，其目标函数为

对式(18)增加配方项得

根据交叠组稀疏收缩算子公式[10]，1的更新规则为

同理，2，3，4的更新式为

L0的目标子函数为

利用梯度上升法，可以得到L0的更新式为

L1的目标子函数为

利用梯度上升法可得其更新式为

其中，为学习率。

类似的，拉格朗日乘子变量L2，L3，L4的更新式为

本文提出方法总结如算法1所示。

算法1. HOGS_Lp去噪算法。

输入：观测图像。

输出：去噪图像。

初始化：

=0,=0,L=0,(k)=0,,,,,,=1 (=0,1,···,4)。

1.While>do

2. 利用式(14)更新(k+1)；

3. 利用式(17)更新0；

5. 利用式(23)更新L0；

7.=+1；

9. End While。

10. Return(k)。

其中，设置为10-4。

3 实验结果与分析

3.1 算法性能测试

图2为本文选取的9幅测试图片。需要说明是，为了减小计算量，图片均被人为地下采样为256×256。

实验中，对测试图片分别加入10%，20%，30%和40%的椒盐噪声，将ATV[3]模型、ITV[4]模型、ITV_Lp模型[21]、LOGS_Lp模型[17]和本文所提出的HOGS_Lp模型进行对比，手动调节至使图像恢复质量最佳，每幅图像不同噪声下的最优值见表1，值取在0.40~0.65区间能取得良好的去噪效果。此外，为防止二阶变分过大引起图像模糊，将模型参数调到最优，以便达到最好的去噪效果。并结合峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)[23]、结构相似性度(structural similarity，SSIM)[24]、梯度幅相似性偏差(gradient magnitude similarity deviation，GMSD)[25]进行评价。

图2 测试图片

对比结果见表2~4，为了便于观察，本文将最优指标用黑色粗体标出。从表2~4中可以看出：相对于ATV模型、ITV模型、ITV_Lp模型，LOGS_Lp模型和本文HOGS_Lp模型性能更加优异。以表3 “Chart”为例，LOGS_Lp模型较ATV模型PSNR值高出1.074 2 dB，较ITV模型高出0.932 2 dB，较ITV_Lp模型高出0.328 7 dB；而本文HOGS_Lp模型较ATV模型PSNR值高出1.553 3 dB，较ITV模型高出1.411 3 dB，较ITV_Lp模型高出0.807 8 dB。这证明了交叠组稀疏变分的方法对于去噪算法具有很大改进。另外LOGS_Lp模型只考虑了一阶梯度信息，本文的HOGS_Lp模型则同时考虑了一阶和二阶梯度信息。整体而言，本文模型性能更加优异。例如表2中的“Cameraman”，HOGS_Lp模型较LOGS_Lp模型PSNR值高出0.435 9 dB；表3中的“Chart”，HOGS_Lp模型较LOGS_Lp模型PSNR值高出0.479 1 dB；表4中的“Barbara”，HOGS_Lp模型较LOGS_Lp模型PSNR值高出0.398 8 dB，上述实验结果证明了将低阶交叠组稀疏全变分模型推广至高阶交叠组稀疏全变分模型去噪效果更好。

表1 最优p值记录表

表2 几种算法对不同图像去噪的PSNR (dB)，SSIM和GMSD(噪声水平10%)

表3 几种算法对不同图像去噪的PSNR(dB)，SSIM和GMSD(噪声水平20%)

表4 几种算法对不同图像去噪的PSNR(dB)，SSIM和GMSD(噪声水平30%)

为了更加形象地进行观察，本文做出了30%噪声水平下各种算法恢复的细节图(图3)。图4展示了不同测试图片在不同噪声下PSNR指标的动态迭代曲线(为保证公平性，所有算法的迭代停止阈值=10-4，同时设定最大迭代次数为200步)。

图3 噪声水平为30%的几种算法恢复图像细节比较图((a)噪声强度为30%的污染图像；(b) ATV去噪结果；(c) ITV去噪结果；(d) ITV_Lp去噪结果；(e) LOGS_Lp去噪结果；(f) HOGS_Lp去噪结果)

图4 不同噪声水平下几种算法的动态迭代图((a) 10%椒盐噪声污染House图；(b) 20%椒盐噪声污染Lena图；(c) 30%椒盐噪声污染Cameraman图；(d) 40%椒盐噪声污染Boat图)

从图3中可以看出ATV模型恢复出的图3(b)仍有较多噪声干扰，通过观察ITV模型恢复出的图3(c)可以发现图像边缘保护度较差。再观察ITV_Lp模型恢复出的图3(d)可以发现，在高污染噪声情况下局部依然受噪声污染。通过对比LOGS_Lp模型和本文的HOGS_Lp模型恢复出的图3(e)和图3(f)可以发现，本文模型在高噪声污染情况下依然具有良好的去噪性能，且在边缘保护方面具有优势。观察图4，可以发现HOGS_Lp模型在不同噪声水平下PSNR值均优于其他模型。

3.2 参数敏感性分析

交叠组合数对算法的去噪效果至关重要，交叠窗的大小既不能过大也不能过小。如果交叠窗过大，会导致非结构化的信息被引入，反之交叠窗过小，则没有充分将邻域相似的结构信息加以挖掘。

为反映参数对算法的影响，以图5中Lena为测试图，在噪声不同的情况下，分别取值为2~6，然后调整参数使算法指标达到最优，并记录PSNR的动态迭代曲线，如图5所示。从表5可以看出组合值取3或5时PSNR，SSIM，GMSD可以同时到达最优。可见，交叠的参数需要进行合理的选择。通过上述实验可以看到，如果图像中光滑区域较多，则值宜取大，若纹理成分较多，则值宜取小。

表5 不同噪声水平时组合值K与PSNR，SSIM， GMSD关系表

4 结束语

本文从交叠组稀疏正则项出发，结合Lp伪范数的优点，将二阶OGS引入椒盐噪声去噪模型中，提出新的椒盐噪声去除模型。可以得到如下结论：

(1) 在给定的测试图片中加入不同水平的噪声，采用本文的HOGS_Lp模型，大部分情况下可以获得较其他模型更好的去噪效果。

(2) 在不同噪声水平下，相比ATV模型、ITV模型、ITV_Lp模型，LOGS_Lp模型和本文HOGS_Lp模型性能更加优异，证明了交叠组稀疏变分的方法对于去噪算法具有很大改进。

(3) 在不同噪声水平下，本文HOGS_Lp模型的各项指标均高于LOGS_Lp模型，证明了考虑高阶图像梯度的先验信息能够进一步提高图像质量的恢复。

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Salt and pepper noise denoising using high-order overlapping group sparsity with Lp-pseudo-norm

CHENG Zhu-yuan1, NI Wan-zhen2, CHEN Ying-pin2

(1. Fujian Xinyuan Power Development Group Co., Ltd., Zhangzhou Fujian 363000, China; 2. School of Physics and Information Engineering, Minnan Normal University, Zhangzhou Fujian 363000, China)

The total variation (TV) model is widely employed to remove salt and pepper noise. However, there is a serious staircase effect on the TV model. Recently, low-order overlapping group sparsity (LOGS) has received increasing attention due to the great performance in the suppression of the staircase effect. It is necessary to point out that there is still room for the improvement of LOGS total variation denoising model. In fact, the LOGS-based denoising model only takes into account the prior of the first-order image gradients and ignores the prior of the high-order image gradients. To further improve the quality of the recovery image, the author proposed a high-order OGS with the Lp-pseudo-norm. On the one hand, the overlapping group sparsity constraint of the high-order gradient can better describe the prior sparsity of image. On the other hand, the Lp-pseudo-norm was adopted to describe the sparsity of the salt and pepper noise, because of the strong sparsity inducing capacity. The alternating direction method of multipliers was employed to separate the proposed model into several sub-problems for the solving process. Finally, the numerical experiments were carried out to verify the proposed model, while the peak signal to noise ratio (PSNR), structural similarity (SSIM), and gradient magnitude similarity deviation (GMSD) were incorporated to evaluate the recovery performance. The experimental results prove that the proposed method is more competitiveness than some state-of-the-art denoising models.

image denoising; overlapping group sparsity; Lp-pseudo-norm; high order gradient; regular term

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021010023

A

2095-302X(2021)01-0023-09

2020-07-09；

9 July，2020；

2020-08-24

24 August，2020

福建省教育厅中青年教师教育科研教育项目(JAT190378)；闽南师范大学高级别项目(GJ19019)；福建省重大教改项目(FBJG20180015)；闽南师范大学校长基金项目(KJ19019)；闽南师范大学教改项目(JG201918)；福建省自然科学基金项目(2020J05169)

：Educational Research and Education Project for Young and Middle-Aged Teachers of Fujian Provincial Department of Education (JAT190378); High-Level Project of Minnan Normal University (GJ19019); Major Educational Reform Project of Fujian Province (FBJG20180015); Principal Fund of Minnan Normal University (KJ19019); Educational Reform Project of Minnan Normal University (JG201918); Natural Science Foundation Project of Fujian Province (2020J05169)

程祝媛(1986–)，女，四川广安人，高级工程师，硕士。主要研究方向为数字图像处理。E-mail：389769299@qq.com

CHENG Zhu-yuan (1986–), female, senior engineer, master. Her main research interest covers digital image processing. E-mail：389769299@qq.com

陈颖频(1986–)，男，福建漳州人，讲师，博士。主要研究方向为图形图像处理、计算机视觉等。E-mail：110500617@163.com

CHEN Ying-pin (1986–), male, lecturer, Ph.D. His main research interests cover graphics and image processing, computer vision, etc. E-mail：110500617@163.com