基于像素聚类的空间变化表面材质建模

冯 洁，李 博，周秉锋

基于像素聚类的空间变化表面材质建模

冯 洁1,2，李 博1，周秉锋1,2

(1. 北京大学王选计算机研究所，北京 100871； 2.大数据分析与应用技术国家工程实验室，北京 100871)

针对空间变化表面材质的反射属性提出了一种基于图像的轻量化建模方法。仅需利用消费级手机，在环境光和点光源下分别对平面材质样本拍摄一幅图像，即可计算重建其表面的双向反射分布函数(svBRDFs)参数图、法向量图、切向量图等材质属性。其中对BRDF参数的拟合采用了一种基于像素聚类的策略，即假定具有相似外观和结构特征的像素属于同种材质、共用一组参数，从而大幅降低参数拟合的难度。在此基础上，通过一种新的迭代多步优化方案对全局和空间变化的参数进行拟合，产生高分辨率的BRDF参数纹理图。该方法不依赖特殊设备，也无需采集海量数据，就能够为包括金属材质、各向异性材质等在内的多种类表面材质产生高质量的BRDF参数图，以及高真实感的基于物理的绘制结果，因此更易于实现和应用。

表面材质建模；空间变化材质；基于图像的绘制；双向反射分布函数；像素聚类

计算机图形学中，基于物理的绘制方面已经有了大量的研究，但其反问题，即从已绘制或拍摄的图像中恢复物体表面的物理属性，仍然是一个不适定问题。另一方面，真实物体的表面材质往往呈现空间变化的属性，即在表面不同位置上具有不同的反射属性，这也增加了材质建模的难度。这类材质一般采用空间变化的双向反射分布函数(spatially varying bidirectional reflectance distribution functions，svBRDFs)进行描述。svBRDF常采用参数纹理图的形式进行存储，其为紧凑而灵活的存储方式，便于进行绘制和编辑。

现有的基于图像的双向反射分布函数(BRDFs)获取方法对硬件设备都有不同程度的要求，对表面材质的适用范围也有所不同[1]。因此，表面材质建模方法需要在数据获取代价、方法的通用性及重建结果质量等各方面之间找到平衡。近年来研究者们提出了一系列轻量化的表面材质获取和建模方案[2-4]。为了简化问题，许多工作集中于平面上的空间变化材质建模，并通过对材质进行分类或线性组合提高建模的效率。现有工作中存在的局限性一方面是对硬件和拍摄环境的要求，另一方面是对某些类型的材质无法有效重建，如非重复性纹理材质、各向异性材质等。

本文针对平面材质样本，提出了一种轻量化的空间变化材质建模新方法。其建立在像素聚类的基础上，即：材质样本图像中具有相似外观和结构特征的像素被记为一类，且被假定属于同种材质、共用同一组BRDF参数。随后，通过一种迭代的多步优化过程，可以拟合出各类材质的BRDF参数。

本文方法可广泛用于捕获多种类型表面材质的反射属性，包括金属表面及各向异性表面材质，而输入最少仅需要每种材质样本在不同光照下的2幅图像。输入图像的获取也不需要专用设备，可使用普通消费型相机或智能手机进行拍摄。表面材质的建模结果以高分辨率的svBRDF参数纹理图的形式存储，可直接应用于表面材质的绘制。为保证材质建模结果与真实世界中的物理反射属性相符，还利用几幅校准图像对相机及光源进行校准，从而减少图像拍摄环境带来的误差。本文提出的空间变化材质建模流水线简便易用，可以产生高真实感的基于物理绘制的表面纹理。

1 相关工作

传统的BRDF测量方法依赖于特制的设备，例如角度反射测量仪(gonioreflectometers)[5-7]，或其他专用测量系统[8-9]。近年来，研究者们提出了多种基于图像的表面材质建模的工作，只需要利用通用型相机即可重建物体的几何形状和表面材质模型[2,10-11]。文献[1]对此进行了较为完整的综述与分类。本文着重研究的是表面材质快速建模的轻量化方法，因此将重点关注采用较少材质样本图像或简化图像采集设备(如手机)的相关工作。

一些方法采用移动设备采集的视频对表面材质进行建模。如文献[12]中提出了2种启发式算法进行表面材质建模，其输入为手机或平板电脑拍摄的表面材质视频(以手机闪光灯或平板液晶屏作为光源)。HUI等[13]采用了相似的系统配置，实现了一种基于字典的BRDF建模。但上述方法均无法重建各向异性表面材质。ALBERT等[4]的工作利用了第二条视频流来获得更广泛的观察范围，从而改进复杂表面材质的重建质量。

基于视频的表面材质重建方法通常需要从记录的视频中抽取多达数百幅的图像作为输入。为了降低图像采集的复杂度，AITTALA等[3]提出了一种轻量化的方法，仅需输入在自然光和闪光灯下拍摄的2幅图像即可。该方法将图像分割成正方形小块，并利用不同块之间的相似性，计算出高质量的BRDF参数图。然而，该方法的相似性策略只能应用于具有重复性纹理的表面材质。本文采用了类似的系统设置。

近年来，卷积神经网络(convolutional neural networks，CNN)也被用于解决表面材质建模问题。其通常需要一组图像用于预测空间变化的BRDF参数。如AITTALA等[14]提出了一种基于神经网络的风格化纹理迁移方法。LI等[15]通过训练一个CNN实现了从单幅图像中重建svBRDF的方法。随后该工作被扩展到可以支持任意分辨率和数量的输入图像[16]。在另一项工作中，LI等[17]将表面材质分为几个类，并通过一个分类器对各类材质分配权重从而进行混合。

2 方法概述

图1为本文的主要工作流程。给定一个平面材质样本，可使用通用相机或智能手机在固定的位置对其拍摄2幅图像：一幅在自然漫反射光照环境下拍摄，称为环境光图像；另一幅是在点光源下拍摄，称为点光源图像。

图1 本文基于图像对及像素聚类的空间变化材质建模方法主要流程

环境光图像用于检测材质样本中的相似部分，并据此将图像像素进行聚类。同时可用于提取图像中由于材质表面凹凸造成的局部对比度等丰富细节。点光源图像直接反映了材质的反射属性，因此，在BRDF建模过程中被用作参数优化的目标。由于数码相机的动态范围有限，对于具有强烈镜面反射的材质，可以在不同曝光时间下拍摄多幅点光源图像，并进行高动态范围(high dynamic range，HDR)重建。

除此之外，本文方法还引入了数张校准图像，包括一幅标准灰板图像及一组色板图像，用于消除与材质反射属性无关因素的影响，如相机响应函数、光照强度等。

于是，上述BRDF拟合问题可以通过最优化方法求解。本文方法将产生高分辨率的反射属性参数纹理图，包括一组svBRDF参数图像、法向量和切向量图、以及2个全局的BRDF参数。这些参数纹理图可以直接用于在新光照和视点下绘制该平面材质，也可以映射到3D几何模型表面以增强其外观真实感。

2.1 硬件配置及坐标系

本文仅需使用一台通用智能手机作为材质样本图像采集设备，并以手机闪光灯作为点光源进行照明。在拍摄环境光图像、点光源图像以及校准图像的过程中，使用了三脚架以保证所有图像的对齐(图2(a))。

在上述硬件配置下建立的系统坐标系，如图2(b)所示。材质样本被假定位于平面上，相机位置则位于轴上的=[0, 0, 1]。相机到平面的真实物理距离⊥通过手工测量，用于相机校准过程中。对于点光源的位置，可取点光源图像中亮度最高的10%像素，并计算加权平均位置作为其取值。另外本文还利用图像中记录的35 mm等效焦距35来计算像素对应的单位物理长度。

图2 图像拍摄环境和系统设定((a)拍摄设备和环境； (b)坐标系设定)

2.2 绘制模型

在点光源环境下，本文采用简单的逐点绘制方式，即

其中，为像素的位置；和分别为指向和的单位向量；(•)为BRDF。需要注意的是，虽然场景辐射度(radiance)与到达相机传感器上某个像素的照度(irradiance)成正比，但在不同像素上该比例因子差异很大，是造成图像四周暗角的原因[18]。因此，为了简便，本文将像素照度看作是入射的场景辐射度，同样记做。此外，为点光源的强度；()=||-||为到点光源的距离；cosθ=()×。于是，本文的目标就是根据材质样本在环境光和点光源下的2幅图像，为每个像素恢复出一组BRDF参数，一个法向量及一个切向量。

本文采用了Disney “principled” BRDF模型的一个简化版本[19]，通过一组直观的、可理解的参数进行控制，参数的取值范围为[0, 1]：

(1)：与材质反照率相关的表面颜色，对漫反射及镜面反射波瓣(lobe)都有影响；

(2)：电介质模型(dielectric)和金属模型(metallic)之间的混合参数；

(3)：镜面反射强度参数；

(4)：将镜面反射的颜色从白色着色为；

(5)：对漫反射和镜面反射波瓣的天顶角响应都有影响；

(6)：材质各向异性反射的程度，取值为0时退化为各向同性反射。

在BRDF参数优化过程中，的初始值被设置为环境光图像的颜色，和分别取初始值0.5，其余参数取0。

2.3 图像校准

为了使计算出的材质表面反射属性与真实世界中的特性相符，避免如相机、光源强度等外界因素的干扰，首先需要进行图像校准。

2.3.1 相机响应曲线的恢复

由于图像中的像素颜色值与场景辐射度并非线性关系，因此需要建立二者之间的映射。为此，本文借鉴了HDR成像算法[20]中的响应函数拟合以及从多幅低动态范围(low dynamic range, LDR)图像中融合生成辐射度图像的方法。生成一幅由20×15个具有随机颜色的正方形色块组成的色板校准图像(图3(b))，将其显示在一块电子屏幕上并代替传统的Macbeth图。在不同的曝光时间下，拍摄若干张该图像照片(图3(c))，而后通过平均滤波器在每个色块中产生一个平均颜色，即获得300个相同曝光下的响应函数采样点(图3(d))。于是通过最小二乘法求解出相机的响应逆函数()，即从像素颜色值到辐射度和曝光时间的映射函数 (图3(e))。与原算法中单个像素的采样相比，经过滤波的采样点对噪声有更好的抵抗性。利用恢复出的函数()，点光源图像可以映射为一幅辐射度图。此外，采用多幅点光源图像可以扩展辐射度图的动态范围。

图3 用于相机校准的图像((a)灰板校准图像；(b)色板校准图像；(c)色板拍摄图像； (d)色板降采样图像；(e)恢复的响应曲线)

2.3.2 点光源强度的校准

由于入射光和反射光强度同时乘以一个相同因子不会影响最终的绘制结果，因此要计算式(1)中的()，需要确定点光源的强度。为此，首先在点光源下对一块标准灰板，即在各光谱上具有近似18%反射率的朗伯反射体，拍摄一幅灰板校准图像。已知灰板的反射率=0.18/π，与光源、视角及空间位置无关，于是可以通过逐像素除法和平均计算得到。

在拍摄材质样本的点光源图像时，需保持相机的感光度(ISO)、光圈、白平衡等条件不变。于是目标材质的反射属性即以灰板具有的、确定的绝对反射值为参考，而则成为一个中间变量。

3 BRDF参数拟合

空间变化材质需要在每个像素上都计算出一组相应的BRDF参数，因此若直接进行参数拟合会面临变量过多的情形。为了减少拟合优化过程的变量数目，首先将图像中的像素进行聚类，同一类中的不同像素可被视为同种材质在不同位置的观察采样，于是可以共用同一组BRDF参数。再经过一个迭代计算过程，逐步对各组BRDF参数以及法向量图进行优化。

基于参数间的依赖关系，每次迭代计算分为3步：①根据图计算高度图及法向量图；②拟合全局变量和；③在每类内优化其余BRDF参数。每次迭代结束时，对空间变化的参数图进行高斯模糊，而同一类的参数平均值作为下一次迭代的优化初始值。

3.1 像素聚类

多数的空间变化表面材质是具有自相似属性的，即：材质表面可分解为有限个子集，每个子集内具有相同的反射属性。于是，根据反射属性将材质图像中的像素聚类为一系列较小数目的子集{C|=1,···,}，则BRDF参数拟合可在每个子集上分别完成，降低了求解svBRDF模型的难度。在本文中，聚类数目取经验值=500，能够保留足够的细节，且不会带来过高的计算代价。

对像素进行聚类的主要依据除了像素的颜色之外，还采用了一种BRIEF描述子[21]。该算子计算一个比特向量，描述了像素邻域中的结构信息，因此可以使聚类结果更好地抵抗不均匀光照带来的影响。对于每个像素，设其RGB颜色值为ρ，其BRIEF描述子为ρ，二者共同构成一个特征向量。于是，2个像素之间的距离可定义为

其中，||•||和||•||分别为欧式距离和汉明距离(Hamming distance)；为调节2种特征比重的权值，其缺省值取数值属性的平均标准差除以BRIEF比特向量的长度。在此基础上，本文采用了k-prototypes算法[22]来实现像素的聚类。该算法是一种在混合类型数据上做聚类的k-means模拟算法，与标准k-means算法类似，迭代并将每个像素分配到具有最邻近中心点的类中，随后更新所有类的中心点，能够同时处理数值属性与非数值属性。

像素聚类是在环境光图像上完成的。本文先用主成分分析法将RGB颜色转换为3个独立色彩通道，然后在其中一个通道上计算聚类。为了考虑图像中的多尺度结构特征，与文献[3]中的像素匹配步骤相似，BRIEF描述子的长度分别取48，80和32，窗口大小分别取33，17和5，高斯模糊的标准偏差分别取4，2和0。注意环境光图像与点光源辐射度图必须在像素级别上对齐，为此需采用三脚架固定相机位置，也可以采用增强相关系数(enhanced correlation coefficient, ECC)最大化算法[23]进行图像对齐。

3.2 计算高度图和法向量图

为了进一步减少数值优化的自由度，本文采用高度图估计的方法计算法向量图，而不是与其他BRDF参数一起进行优化。

首先将上一步迭代过程中估计出的图在灰度空间中进行归一化，使其平均灰度为0.5。然后，将环境光图像除以归一化的得到一幅阴影图，并用解析模型[24]从阴影推导出对应的高度(深度)

为了在不同尺度下恢复高度图，需对阴影图分别进行次高斯滤波，每次采用不同的标准偏差r，按升序排列，得到一系列阴影图{S}，以及增量阴影图{l}，其中

对{l}分别计算(•)，则深度图可以由下式累加得到

注意l保持了平均灰度0.5，因此这里(l)减去1以保证各级别的平均深度值为0，从而可以将各级深度值求和。在计算中共选取了4级高斯偏差，分别为1，2，4和8。

随后，通过在3D等值面上计算法向量，就可以从深度图恢复出法向量图。注意在第一次迭代中，环境光图像与图是相同的，因此所有的法向量初值都是垂直向上的。

3.3 全局BRDF参数优化

当法向量图确定之后，就可以对每个类的BRDF参数进行优化计算。本文注意到和2个参数对材质的反射属性起到决定性的作用，因此将其设定为全局参数。

在计算中，采用了L-BFGS-B算法[25]对上述最优化问题进行求解。

通过观察可发现，在实际应用中，参数的取值极少介于0于1之间。因此将这一参数简化为一个布尔值，通过手工标注来设定，0表示非金属材质，1表示金属材质。

3.4 空间变化BRDF参数优化

因此，切向量可以由参数决定，并与其他4项参数一起参与()的计算。对于每个像素分类，可以通过最小化绘制图像的平均拟合残差求解出上述参数，即

在计算中，拟合残差|()−0()|采用伪胡伯损失函数(Pseudo-Huber loss)进行计算，以保证接近0时有较好的连续性。

4 实验结果

本文实验使用HUAWEI Honor 9智能手机对多种不同材质样本进行了拍摄和建模，图像分辨率为3968×2976。拍摄时的色温、ISO和曝光时间利用手机的内置程序进行手动设置。为了进行图像校准，在拍摄灰板图像、色板图像以及点光源图像时，ISO和色温保持不变。

图4给出了几组用本文方法计算得到的表面材质建模结果，其中包括每种材质的，，，以及法向量图、切向量图等参数纹理图。每种材质样本在相同光照下进行重绘制的结果也与输入的点光照图像进行了对比。可以看到本文重建结果很好地保留了空间变化材质的反射属性及细节特征，重绘制的结果与真实图像吻合。

如图5所示，可将计算的表面材质模型映射到三维物体上，并在不同光照下进行绘制，生成具有照片真实感的三维场景视图。场景的绘制使用了开源3D绘制软件Blender，及其基于物理的渲染器(https://www.blender.org/)。这一场景中包含了多种不同材质，如金属、陶瓷、丝绸、木材等等。场景的光照采用了一幅HDR的环境图像以及若干点光源。绘制结果反映了材质的镜面反射以及各向异性反射等属性特征。

图4 利用本文方法对多种空间变化材质进行建模计算获得的svBRDF参数图以及重绘制结果

图5 从输入图像对进行材质建模并重绘制的结果((a)输入环境光图像；(b)输入点光源图像； (c)重绘制点光源图像；(d)三维场景绘制)

5 结束语

本文提出了一套对空间变化表面材质进行建模的流水线，其输入仅需智能手机拍摄的2幅样本图像。该方法很好地平衡了算法的复杂度与结果的置信度，因此为表面材质建模的研究和应用给出了一个新的解决方案。

目前本文方法对材质还存在一些假设条件，特别是将一些参数假定为全局变量。在应用中，将设为全局参数，会带来过度约束从而损失一些细节。因此未来工作中可考虑更复杂的像素聚类方法，如多层次细节的聚类，从而使一些关键参数可以在较粗糙的层次上进行拟合。

此外，当材质的环境光图像中有明显的阴影时，容易对像素聚类和法向量计算产生误导，从而降低材质模型重建的准确度。因此未来另一个改进方向是消除阴影带来的影响。

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A svBRDF modeling pipeline using pixel clustering

FENG Jie1,2, LI Bo1, ZHOU Bing-feng1,2

(1. Wangxuan Institute of Computer Technology, Peking University, Beijing 100871, China;2. National Engineering Laboratory for Big Data Analysis and Applications, Beijing 100871, China)

We presented a lightweight pipeline for modeling spatially varying bidirectional reflectance distribution functions (svBRDFs) of planar materials, which only required a mobile phone for data acquisition. With a minimum of two photos under an ambient and a point light source, the proposed pipeline produced svBRDF parameters, a normal map, and a tangent map for the material sample. The BRDF fitting was achieved via a pixel clustering strategy to reduce the complexity, namely, the pixels with similar appearance and structural characteristics were assumed to be the same material. Then, with a multi-stage optimization scheme, the parameters were fitted and formed a group of high-resolution BRDF texture maps. This method was not reliant on special equipment or massive data collection. The result shows that the proposed method is easy-to-use and capable of producing high-quality BRDF textures for a wide range of materials, including metallic or anisotropic materials.

surface material modeling; spatially varying material; image-based rendering; bidirectional reflectance distribution function; pixel clustering

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021010094

A

2095-302X(2021)01-0094-07

2020-08-05；

5 August，2020；

2020-08-28

28 August，2020

国家重点研发计划项目(2018YFB1403900)；国家自然科学基金项目(61872014)

：National Key Research and Development Program of China (2018YFB1403900); National Natural Science Foundation of China(61872014)

冯 洁(1977-)，女，四川内江人，工程师，博士。主要研究方向为基于图像的建模与绘制、数字几何处理、虚拟现实等。E-mail：feng_jie@pku.edu.cn

FENG Jie (1977–), female, engineer, Ph.D. Her main research interests cover image-based modeling and rendering, digital geometry processing, virtual reality, etc. E-mail：feng_jie@pku.edu.cn