正轴测投影的基本方程组及其应用

王伯年， 王宏光， 葛长清

（1. 上海理工大学，上海 200093；2. 上海第二工业大学，上海 211209）

轴测投影在技术制图（机械制图和建筑制图等）、电脑图形学、绘画与广告等诸多领域均有着重要的应用，尤其在新版高中数学中，将轴测投影列入教学内容，使得学习与应用轴测投影的对象大为增加，其重要性更显突出。

自1853 年发现Pohlke 定理以来，轴测投影在理论与应用方面已取得了长足的进展，已出版了一些与之有关的专著或其他著作[1-4]。然而，有关轴测投影的一些重要问题，如对正轴测投影可以合理任选2 个给定参数的问题，对斜轴测投影可以合理任选4 个给定参数的问题，似乎已有的分析尚不够充分和完备，有的还有些失误。其实，任一问题涉及n 个参数，而有k 个方程约束这些参数的取值时，首先应合理选定(n k− )个参数，再用这k 个约束方程将其余的k 个参数予以确定。从此基本观点出发，轴测投影6 个轴测参数确定的问题，即可迎刃而解。

对于正轴测投影，投影面的法线方向就是投影线的方向，这导致其轴间角仅是轴向伸缩系数的函数，这一特点是斜轴测投影所不具备的。因此，本文专论正轴测投影，斜轴测投影的问题将在另文中论述。

1 轴测投影的基本概念与基本问题

研究轴测投影的目的是将三维的几何物体藉平行投影将其投影到单一的投影面上，并要求投影面上的图形具有直观性和度量性。直观性是指看了投影面上的平面图形大致可以了解到三维形体的形状；度量性是指投影面上的平面图形与三维形体之间的几何尺寸有对应关系。

基本上有二种方法可达到以上的目的：基于几何变换的矩阵法[5]和基于投影、坐标系和向量的投影解析法。前者易于陷入数字概念和运算之中，不易分清什么是约束条件和约束方程，不宜为本文所采用：后一方法，直接与轴测投影的目的相通，概念清晰，数学推导也十分简单，是应该采用的方法。

因为轴测投影有度量性的要求，必需首先依靠坐标系建立三维形体的数形结合问题。确定三维形体最简单的坐标系是直角坐标系，设其为o xyz− ，从此坐标系原点o 引一有向线段指向形体任一点p，则op 向量可表示为

上式中 x y z、 、 分别为P 点沿x 轴、y 轴、z轴的坐标，1e 、2e 、3e 分别为各坐标轴的单位向量。式（1）将点p 的坐标与op 向量联系起来。

称上式的p、q、r 为ox、oy、oz 轴的轴向伸缩系数。此外，尚需确定o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′之间的夹角，设在投影面上o′ x ′与o′ y ′的夹角为θ1、o′ y ′与o′ z ′的夹角为θ2、o′ z ′与o′ x ′的夹角为θ3（从一坐标轴逆时针转向另一坐标系的夹角为正，反之为负）并分别称θ1、θ2、θ3为相应坐标轴之间的轴间角。从几何直观可知，应有θ1+θ2+θ3=2π。

如果确定了p、q、r 和1θ 、2θ 、3θ ，那么o xyz− 和o′-x′ y′ z′之间的对应关系也就确 定了，轴测投影的度量性问题和基本问题也就解决了。

2 正轴测投影基本方程组的建立

图上的点o′是原坐标系原点o 的投影点（见图1），投影面与ox、oy、oz 相截的点，既是形体上的点x、 y 、 z，又是它们各自的投影点x′、y′、z′。只要把点o 在投影面上的投影点o′确定了，ox、oy、oz 各自的投影线o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′也就确定了，而且o′ x ′、o′ y ′、o′ z ′的延长线，就是ox、oy、oz 投影后的新坐标轴线。

在△oo′ x (也即△oo′ x ′)中，oo′与ox 的夹角为α1，因o′ x (也即o′ x ′)垂直于oo′，ox 与o′ x ′ 的夹角为( π /2 − α1)。对此直角三角形应有

也即

对于△oo′ y (也即△oo′ y ′)和△oo′ z （也即△oo′ z ′），同理有

式(5) 、 式(7) 和 式(9) 相 加， 并 考 虑 到n ⋅n=cos2α1+cos2α2+cos2α3=1，即可得到

上式是制约p、q、r 取值的一个约束方程。由于sin 1α ≤ ，由式(4)、式(6)和式(8)可知，应有

再考虑到式(10)和式(11)，应有

式(11)和式(12)就是p、q、r 合理取值时，所应遵守的限制条件。 标系xy 、yz 、zx 三个坐标平面上的三个直

图1 建立正轴测投影基本方程组的图示

为确定θ1、θ2、θ3还应考虑在为o − xyz坐角三角形△oxy、△oyz、△ozx 投影到投影面为△o′ x ′ y ′、△o′ y ′z ′、△o′ z ′x ′时的面积关系： 一平面上的图形正投影为另一平面的图形，原图形的面积乘二平面之间夹角的余弦（此夹角又等于此二平面法线的夹角）等于投影图形的面积。 因此，对△oxy 和△o′ x ′ y ′而言，xy 平面与投影面的夹角为α3，因此有

上式中 θ1为o′ x ′与o′ y ′之间的轴间角。由上 式可得

以式(4)、式(6)和式(9)代入上式，得到

对于△oyz 与△o′ y ′z ′、△ozx 与△o ′z ′x ′同理可得

由式(13)、式(14)和式(15)可以看到，对于正轴测 影投，轴向角θ1、θ2、和θ3仅是p、q、r 的 函数，这是正轴测投影异于斜轴测投影的一个显著特点。

因此，式(10)、式(13)、式(14)和式(15)这4 个方程，构成了约束p、q、r、θ1、θ2和θ3取 值的基本方程组。显然，正轴测投影6 个参数中，可以合理地给定的参数数为2。

对式(13)、式(14)和式(15)，分别平方后相加，并考虑式(10)，得到

将上式与式(10)结合，得到

式(16)或式(17)，可以取代上述4 个方程中一个，但它们在形式上均较上述4 个方程更为复杂，而不宜在正轴测投影中采用，这是正轴测投影异于斜轴测投影的另一显著特点。

3 正轴测测投影基本方程组的应用

3.1 正等测轴测投影

正等测轴测投影是国际标准[6]和国家标准[7]重点推荐的3 种轴测投影之一，其含义是

上式给定了二个约束条件，即3 个轴向伸缩系数是相等的。此时，由式(10)可得

同时，此时有θ1= θ2= θ3= θ，由式(13)，或式(14)，或式(15)可得

以上θ 的二值中，θ =120°是应取之值，因3θ=360°才符合θ1+θ2+θ3=360°的几何要求。

3.2 正二测轴测投影

这也是ISO 和GB 重点推荐采用的轴测投影之一，正二测的含义是

以上式代入式(10)，可得

在p、q、r 之值确定后，由式(13)、式(14)和式(15)，可得

由上式可知，所求出的三轴间角之和为360°，这也是考虑到θ 的合理取值而得到的。

3.3 给定二轴向伸缩系数的轴测投影

为简化有关方程的书写与推导，用下标法将式(10)改写为

上式的 i、j、k 下标，按1→2→3→1→2的顺序取值，如i=1， ri= p， rj= q， rk= r；如 i = 2, ri= q , rj= r ,rk= p ；如 i = 3, ri= r, rj= p, yk= q 。 给定 ri和 rj时，按式(24)应有

当 ri、 rj、 rk确定后，对于轴向角，可用式(13)、式(14)、式(15)的统一关系式求出

上式下标 i、j、k 的含义与对式(24)所述的相同。

3.4 给定二轴间角的轴测投影

当θi和θj给定时，对于θi按式(26)应有

由上式可得

对于θj，与式(26)相应有

由上式可得

式(27)等于式(28)，化简后可得

上式是给定 θi和θj后，求出 rj的解析解。rj求出后，可按式(27)求出 ri，再按式(25)求出 rk。至于θk，即可按

求出，也可更简单地按θk= 2π − θi−θj求出。

3.5 给定一轴向伸缩系数和一轴间角的轴测投影

对于式(26)，有3 种给出此2 参数的方法：

（1）给定θi和 ri

此时，有

由上式可得

解上式可得

ri和 rj已知后，由式(25)求出 rk2；然后由相应式(26)的公式求出θj和θk。

（2） 给定θi和 rj

与导出式(31)的方法相同，可得

（3） 给定θi和 rk

由式(26)可得

化简上式可得

由上式可得

由以上分析可以看出：在给定2 个参数的各种情况下，确定正轴测投影的其他参数，均有解析解。

4 结 论

（1） 基于投影、坐标系和向量的基本概念和基本性质，可以十分简单地推导出约束正轴测投影6 个参数取值的4 个约束方程，并由此得到求解正轴测投影诸参数的基本方程组。

（2） 对于正轴测投影，可以合理地任意给定2 个轴测参数，其余的4 个参数可由基本方程组确定。

（3） 本文给出了在给定2 个参数的各种情况下，确定其他参数的解析解，这些解非但推导正确，并通过数值计算证实了这些解析解的正确性。

[1] [前苏联]格拉祖诺夫. 轴测投影学[M]. 徐良佐译. 北京： 高等教育出版社, 1956. 77-82.

[2] 徐宏文. 轴测投影[M]. 天津： 天津大学出版社, 1986. 41-46.

[3] 包太兹. 轴测投影理论与应用[M]. 李世铨译. 北京：机械工业出版社, 1988. 41-49.

[4] 叶玉驹, 简召全. 高等画法几何[M]. 北京： 国防工业出版社, 1990. 435-448

[5] David F Rogers. Mathematical elements for computer graphics (2nded.)[M]. New York： McGraw-Hill, 1990. 141-206.

[6] ISO 5456-3： 1996 [E]. Technical drawings-projection methods-part 3： Axonometric representation[S].

[7] GB/T 14692-93 技术制图 投影法[S].