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Schwarz-Christoffel保形映射的解析和数值方法实现

时间:2024-09-03

颜昌元,欧阳培昌,孔翠香,占小根

Schwarz-Christoffel保形映射的解析和数值方法实现

颜昌元,欧阳培昌,*孔翠香,占小根

(井冈山大学数理学院,江西,吉安 343009)

利用对称性和Mathematical软件,探讨了正多边形到圆盘空间的保形映射,并用双曲函数的泰勒展开式,粗糙得到该映射的数值计算方法。鉴于上述映射存在严重的crowding缺陷,本文引入Schwarz-Christoffel 数值映射方法,借助SC保形工具箱,实现多边形到圆盘区域保形映射。该方法具有高精度、计算快捷、适应面广的特点,在工程计算和美学领域具有良好的应用价值。

保形映射;Schwarz-Christoffel数值映射方法;双曲拼贴

0 引言

若定义在一个开集上的映射是一对一和全纯的(holomorphic),则称是保形映射(conformal mapping),也称为保角映射或拱形映射[1-2]。尽管在一个非空开集不能恒定地定义一个一对一的保形映射,但由于逆映射-1是全纯的,这意味着,一个函数是保形的当且仅当它是双全纯地图形[3-4]。任何一对相交于某一点的曲线,在保形映射作用下,图像曲线将以相同的角度相交(这正是保角映射名字的由来)[5]。保形性可以用坐标变换的雅可比导数矩阵来描述。如果变换的雅可比矩阵处处都是标量的旋转矩阵,则变换是保形的[6]。

直观地讲,保形映射是一个局部保留角的函数,它保持角度和无穷小的形状,保证图形在该映射作用前和作用后,图形的轮廓不变。保形映射用复数来描述,会非常优美。复平面上一个区域的保角映射是一个解析(光滑)函数,则导数在区域内永不消失。因保角性,平面上正方形网格在保角映射下,会生成曲线正交网格。由于一个拉普拉斯方程的解在共形映射后,仍然是变换后的方程的解,这使得共形映射在热传导、电磁理论、空气动力学等领域具有重要的应用价值[7]。

Gauss在1851年提出共形映射的思想,而Riemann在他的博士论文中给出了一个现称为黎曼映射定理的著名结论:在任何两个单连通区域,存在一个的共形映射。Schwarz和Christoffel在1867和1869年各自独立地证明一个在实用领域具有重要意义的Schwarz-Christoffel 保形映射:存在一个把上半平面映射到简单多边形内部的保形映射[8]。Schwarz-Christoffel映射是黎曼映射定理的具体化和加强版。

一般来说,建立一个单连通区域到另一个单连通区域的具体保形映射公式是极为困难甚至不可能的,但Schwarz-Christoffel映射告诉我们,多边形到多边形之间的保形映射一定存在解析描述(见下节中定理1)。由于Schwarz-Christoffel映射理论的重要性和广泛的实用价值,人们对其进行持续和深入的研究,目前在数值上已经建立了快速适定的计算方法[9-12]。

本文将在第一节将介绍单位圆盘到正多边形的保形映射。第二节介绍Schwarz-Christoffel映射定理,并综述目前影响力较大的计算软件,粗略梳理Schwarz-Christoffel数值算法的工作要点。关于双曲拼贴(hyperbolic tiling)的生成方法可以参考文献[13-17],本文将以双曲拼贴网格作为保形映射的测试和演示案例,分别在第一节和第二节,用图形案例演示Schwarz-Christoffel映射的保形计算效果。在第三节,将简要概括本文工作要点,介绍本文的研究意义及拟开展的工作。

1 单位圆盘到正多边形的保形映射

由于正多边形的对称性,寻找正多边形到圆盘空间的保形映射形式,是一个很吸引人的课题,荷兰绘画大师Escher曾完成一幅在正方形内部具有无穷相似对称性的方极限(Square Limit)作品[14]。本节将探讨最简单的正多边形到圆盘空间的保形映射的解析形式。

令=(│=+2+2<1)表示单位圆盘,m表示正边形,我们用Mathematical的计算给出单位圆盘到m的保形映射为

上面的函数由近似的泰勒展开式表示,计算上存在突出crowding效应[18],映射后的正多边形图案存在非常明显的扭曲效应,并且随着边数的增加,图形扭曲得更加厉害,详细结果见图1及其说明。

图1基于方程(1)中映射的保形映射计算效果示意图

映射(1)只是近似的保形映射,且只能处理正多边形区域,我们将在下一节给出精确实用的多边形到圆盘区域的Schwarz-Christoffel数值方法。

2 Schwarz-Christoffel映射数值方法

Schwarz-Christoffel映射指将上半平面空间2={│=+>0}映射到多边形区域。由于上半平面区域2可经由保形变换

映射到单位圆盘空间,因此本文等价地只给出单位圆盘到多边形区域的Schwarz- Christoffel映射方法。

设是复平面上由顶点v,v,…,v(按逆时针方向排序)确定的多边形的内部区域,其中απ是顶点v的内角。我们特别要求的外角和是360度,即

由此有下面的Schwarz-Christoffel映射定理。

定理1 设是任一把单位圆盘映射到多边形区域的保形映射,则

该定理证明参阅文献[9-10,18]。由于无法预知z的信息,人们无法直接使用映射(4)。预点z散落在单位圆盘上。构造Schwarz-Christoffel映射的关键一步是寻找预点z的准确位置,该问题即著名的Schwarz-Christoffel映射参数问题,一旦该问题得到解决,(4)中的参数和,以及保形映射和它的逆映射都可以相应解决。

求解映射(4)中有两个值得注意的地方:一,除了一些非常简单的多边形外,这个公式需要一个没有闭合形式的积分。二,一般情况下,预点z并无解析解决办法,数值上,它涉及求解一组非线性方程组。上述问题的解决在计算科学得到长足发展的近期,才成为可能。

随着计算机计算进步和数值算法的研究积累,目前人们建立了若干经济实用的软件,诸如SCPACK,ZIPPER,SC等等。本文将应用SC实现保形映射(4)的求解。SC是基于MATLAB语言,用于求解Schwarz-Christoffel映射的一个交互式数值分析和科学计算软件,它的交互性和强大图形功能,使得计算比以往更容易和更灵活。

本文求解映射(4)所调用的函数共涉及SC工具箱中的polygon,diskmap和evalinv这三个函数,它们的具体使用方法请参阅SC的帮助文献[18]。

图2和图3是本文的计算效果示意图。图2中,考虑的是正多边形到单位圆盘的Schwarz-Christoffel映射结果。第一排给出的是庞加莱空间中具有(3,4,3),(4,4,4),(8,5,3) 和(12,2,3)对称性的拼贴图,第二排是对应拼贴网格图映射到正三,正四和正八和正十二边形区域中的结果。可以看到图2中映射结果不存在像图1中的crowding扭曲现象,不管是最简单正三边形还是较为复杂的正十二边形,映射结果都非常理想(本文的计算结果精确到小数点后八位数,足以满足大多数工程场合需求)。

图2 基于方程(4) 中Schwarz-Christoffel数值映射方法的计算效果示意图

图 2中,第一排从左到右分别是双曲空间庞加莱模型中具有(3,4,3),(4,4,4),(8,5,3) 和(12,2,3)对称性的拼贴图。第二排从左到右分别是对应上一排拼贴图映射到正三、正四和正八和正十二边形区域中的结果。

图3 基于方程(4) 中Schwarz-Christoffel数值映射方法的计算效果示意图

图3中,第一排从左到右分别是双曲空间庞加莱模型中具有(6,4,2) ,(5,15,2)和(9,2,3)对称性的拼贴图。第二排从左到右分别是对应上一排拼贴图映射到双等边三角形叠加、五角星和钻石区域中的结果。

在图3中,我们测试了Schwarz-Christoffel映射(4)在更复杂区域的效果图。第一排给出的是分别具有(6,4,2),(5,15,2)和(9,2,3)对称性的拼贴图,再把上述拼贴分别映射到双等边三角形叠加、五角星和钻石区域中,可以看到映射结果非常理想(特别是对于复杂的五角星案例)。

3 小结

利用正多边形对称性,本文用Mathematical求解正多边形到单位圆盘的解析型保形映射,并利用泰勒展开式和双曲函数给出该映射的计算方法。计算结果如图1显示,该方法存在突出的crowding效应。针对上述缺陷,本文给出数值Schwarz-Christoffel映射方法,并借用现有的SC工具箱,实现其计算细节。计算结果显示从图2和图3,本文方法精确快速好用,即便是对于复杂如五角星或钻石型区域,也能理想地避免crowding效应。

数值Schwarz-Christoffel映射方法在空气动力学、电磁理论和热传导等领域具有重要的实用价值。本文给出Schwarz-Christoffel映射方法的实现细节,对非数学专业的工程领域学者具有一定参考价值。另外,从计算结果可以看到,数值保形映射具有良好的美学意义,我们将在今后挖掘Schwarz-Christoffel保形映射的美学价值。

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Analytical and Numerical Method Implementation of Conformal Schwarz-Christoffel Mapping

YAN Chang-yuan, OUYANG Pei-chang,*KONG Cui-xiang, ZHAN Xiao-gen

(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

Using symmetry and Mathematical, this paper investigates the conformal mapping between circle disc and regular polygons. The mapping is roughly realized by the Taylor expansion of Hyper function. Because this method has serous crowing defect, we introduce numerical Schwarz-Christoffel mapping method and use SC tool to realize it. The latter method has the characteristics of high precision, fast calculation and wide adaptability, which has good application value in engineering calculation and aesthetics.

conformal mapping; numerical Schwarz-Christoffel mapping method; hyperbolic tiling

TP391

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2019.05.001

1674-8085(2019)05-0001-05

2019-03-13;

2019-05-20

国家自然科学基金项目(11461035,11761039);江西省教育厅科技计划项目(GJJ160749);吉安市科技局(吉市科计字[2014]36号12);(JZB1303);井冈山大学校级课题(JZ1802)

颜昌元(1980-),男,湖北洪湖人,助教,硕士,主要从事有限群研究(E-mail:yanyuan05@outlook.com);

欧阳培昌(1980-),男,江西赣州人,副教授,博士,主要从事计算机可视化研究(E-mail: g_fcayang@163.com);

*孔翠香(1978-),女,陕西渭南人,讲师,硕士,主要从事计算机应用、计算机网络研究(E-mail:jxjgskcxy@163.com);

占小根(1980-),男,江西上饶人,讲师,硕士,主要从事时间序列研究(E-mail: xiaogenzhan@163.com).

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