基于球面矢量的四元数姿态插值

时间：2024-09-03

普亚松张文斌郭德伟闵洁

（1.红河学院工学院云南省高校高原机械性能分析与优化重点实验室；2.西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室）

姿态运动轨迹规划是工业机器人一项重要内容。本文提出用单位球面上的三维矢量进行姿态四元数插值，描述了该方法的推导与使用步骤，结合单位球面上的三维矢量，对四元数插值姿态的合成进行说明。算例验证了该插补方法合理可行。

引言：工业机器人末端执行器在工作空间的运动轨迹规划是一项重要的内容，合理的运动轨迹对工业机器人的工作质量、效率和使用寿命有着极大的影响。工业机器人末端执行器的运动轨迹规划分为位移规划与姿态规划，姿态规划比位移规划更为复杂，本文仅对姿态插值规划进行研究。

刚体运动姿态的表示方法主要有旋转矩阵、欧拉角和四元数。四元数描述姿态主要有如下优点：1）避免万向节锁死现象；2）运算效率更高；3）便于提供平滑插值。所以四元数大量运用以各种旋转的场合，目前已成为主流趋向。

姿态插补的一般方法是球面线性插补(Slerp)，该方法推理与运用都比较简单，但不直观形象，四维向量夹角的物理意义不明显。本文采用球面矢量进行四元数姿态插补，用三维矢量直观表达四元数，有助于理解四元数姿态合成的过程，并能够实现姿态平滑插值。

1.四元数与转动

四元数一般表示方法为：

w称为四元数的实部，称为四元数的虚部或向量部。实部为零，即w=0时，四元数称为纯属四元数。

任意两个四元数：

单位四元数可以用转角与转轴表示：

其中θ为转角，为转轴矢量，公式里带入的角度值为转角的一半。如图1a所示，刚体上一点，绕转轴，转动θ角，转动之后新的位置点为，该转动过程用数学方程描述为：，其中S1,S2分别为组成的纯四元数，四元数物理意义明显，一个四元数对应一个转动。

图1

如果被旋转的矢量与旋转轴正交，如图1b所示，则转动过程用数学方程描述为：，此时的四元数格式变为：。正交书写格式可以相应地转换为非正交的格式。

2.矢量法四元数姿态插值的原理与步骤

2.1 姿态与四元数

刚体转动之后，不仅是刚体上质点的位置坐标发生了变化，而且刚体的方位，也即姿态，也会发生相应的变化。一个四元数对应一个转轴与转角，也就意味着发生了一个转动，对应着一个姿态。刚体连续转动，每一个转动对应的四元数分别为，最终合成的姿态qe，。刚体无论发生多少个转动，可视为最后合成一个转动，可由一个转轴与转角一次性转动到位。

刚体姿态插值时，已知刚体初始姿态，可理解为经历一个转动，对应四元数为qs。还知道结束姿态，也理解为经历一个转动，对应的四元数为qe。初始姿态再经历一个过渡转动（对应四元数为qm）之后变为结束姿态，也即，初始姿态的转动再叠加一个过度转动可合成为一个结束姿态的转动，。均匀分配中间过渡转动，能得到一系列的末尾插值姿态qei，。

2.2 单位球面矢量表达四元数

刚体姿态插值时，知道初始姿态与结束姿态，对应四元数分别为qs,qe，可求初始姿态与结束姿态之间过渡转动的四元数qm，，可得到过渡转动qm的转角θ和转轴。

综上所述，初始姿态与结束姿态之间过渡转动的四元数qm，可由单位球面上垂直于过渡转动转轴的两个旋转向量表示。如图2所示，两个旋转向量垂直于转轴，夹角为转角θ，一个向量旋转到另一个向量时，在单位球面上形成一段圆弧，这两个向量及圆弧就表示过渡转动的四元数qm。均匀分配圆弧上的点，则可以得到均匀分配得到一系列过渡转动四元素qmi，与初始姿态叠加之后，得到一系列均匀的插值姿态qei。这样，四元数在超复数空间S3转化为欧氏空间单位球面上的圆弧及其向量，直观形象，有肋于理解姿态插值以及合成过程。

图2