随机共振微弱周期信号检测方法

西安石油大学 贾睿哲 陈 英 孙鲁喆 贺 翔 尚 栋 张振南

0 概述

随机共振微弱周期信号检测理论的提出，颠覆了噪声都是有害于待测信号的这一传统理念，并在近几年的微弱信号检测学中逐渐变得重要。它与传统的时域处理法、频域分析法等抑制噪声的方法是不同的[1]。随机共振微弱周期信号检测理论是利用和信号耦合在一起的噪声来增强信号传输能力，甚至是通过添加噪声来提高信号的可检测性能。随机共振系统一般结构框图如图1所示。

图1 随机共振系统的一般结构框图

噪声ξ(t)、微弱特征信号s(t)以及信号处理单元的非线性系统，是三个组成随机共振系统的要素。其中微弱特征信号s(t)可以是任意类型的信号；和待测信号耦合在一起的噪声信号ξ(t)实际上是一种满足一定统计要求的随机信号[2]，既可以是系统本身存在的，也可以是外加的；信号处理单元常采用非线性双稳态系统。被测信号和噪声作为混合输入，经过非线性双稳态系统的处理，产生随机共振效应，把噪声能量转化为信号能量，从而提高系统的输出信噪比。随机共振系统中一个重要的测度就是信噪比，信噪比的强弱，是能否成功检测出微弱周期信号的重要依据。而系统的结构参数、频率、输入信号幅值、噪声强度等都对该随机共振系统有着影响，通过科学的测量和调节这些变量可产生随机共振效应。

1 随机共振系统基本原理

1.1 非线性朗之万（Langevin）方程

非线性朗之万方程描述的双稳态系统就是随机共振系统最简洁明了的定义：

其中，V(t)为非线性对称势函数，即：V(t)=V(-t)。

最简单的势函数是具有两个极小值点一个极大值点的双稳态势函数：

参数a=b=1，噪声强度D=0时的双稳态势函数曲线图如图2所示。其中的极大值点称其为势垒（阈值），其势垒高度为，两个极小值点，称其为势阱，此时的两个势阱深度是相同的。而系统的输出状态处于哪一个势阱是由系统的初始条件决定。

当被测信号幅值A≠0时，非线性双稳态系统的平衡将被打破，也就是说两个势阱的深度将不再相同，势阱按输入信号频率ω发生周期性的倾斜[3]，并且当A的值满足静态触发阈值条件时，系统会跃迁到另一个势阱，这样系统的输出也会出现跳变。

当噪声强度D≠0时，且增大到某一值时，由于噪声和信号的协同作用，势阱倾斜程度不断增大，直到系统输出越过势垒完成两势阱间的跃迁。

图2 a=b=1, A=0, ξ(t)=0时的双稳态势函数

尽管随机共振系统中信号和噪声触发系统跃迁的特性不同，但它们使系统越过势垒（触发阈值）在两势阱间进行切换而引起的效应是相同的。当系统在两势阱之间进行跃迁时，相比于输入信号的幅值，双稳态之间的电压差要大得多，这时输出信号幅值也就大于输入信号幅值，并且系统在两势阱间有规律的切换使得输出的变化量有规律的进行，从而有效地降低了输出状态中的噪声能量，也就提高了系统输出的信噪比，我们称这种现象为随机共振。这也就是说，随机共振的实质是在信号和噪声的协同作用下，使得非线性系统输出得到周期性增强的现象[4]。

系统参数a，b的大小决定了势垒的高度，所以当双稳态系统输入的信号和噪声能量不足以使系统在势阱间跃迁时，可以调节系统的参数a，b来改变势垒高度[5]，以达到系统输入的信号和噪声的能量足以支持粒子越过势垒的目的，这时系统也能产生随机共振效应。

1.2 福克·普朗克（Fokker-Planck）方程

在这里我们对于郎之万方程的研究，并不是简单的想知道输出变量的轨迹，而是想要探究轨迹的统计性质，也就是系统在两个势阱处的概率分布。

福克普朗克（Fokker-Planck）方程[6]是描述双稳态系统的输出变量x(t)的概率分布函数ρ(x, t )所遵循的演化规律，即：

上式的初始条件为。对上式进行数值分析，可以知道：从概率上看，系统输出处在浅势阱的时间远小于处在深势阱的时间。

系统在两个势阱间来回的切换速度影响了随机共振现象的产生[7]，然而系统中的噪声能量影响了该切换速度,当信号幅值为零时，其表达式为：

当信号幅值不为零时，噪声和信号的协同作用使系统完成势阱间的跃迁。这时，系统势阱根据信号的频率进行周期性的切换，并与噪声引起的切换产生协同作用，进而增强了系统输出的周期分量，且提高了输出信噪比。

1.3 信噪比

信噪比（signal-to-noise ratio）是描述信号中有效成分与噪声成分的比例关系参数。不同的应用领域有不同的具体定义。

同时信噪比(SNR)也是随机共振理论中的一个重要测度，它在这里被定义为：输出信号功率谱中信号频率处的幅值与同频背景噪声之比,表达式为：

其中，S(ω)为信号功率谱密度；SN(ω)为噪声在信号频率附近的强度大小。经过仿真实验可以得到，在一定范围内，信噪比先随着噪声强度D的增大而增大，到达最大值时再以指数形式快速衰减[7]。

图3 噪声强度与输出信噪比的函数曲线

2 数值算法及仿真模型

在这里我们可以用四阶龙格-库塔法描述非线性双稳态系统的朗之万方程（式（1））进行求解，其表达式为：

式中表达式为：

本文通过搭建随机共振微弱周期信号检测系统的Simulink模型，如图4所示，绘制非线性系统输入端和输出端的时域图及频谱图并对其进行分析，从而验证了随机共振效应在微弱特征信号检测中的有效性。其中的Random Number模块为均值为零的高斯白噪声，Sine Wave模块为被测信号，Gain,Gain1为势函数的参数，Scope为输出时域图的示波器，把Scope模块换成Spectrum Scope时，输出频谱图。

图4 随机共振系统的simulink仿真结构图

3 数值仿真结果及分析

采用四阶龙格-库塔算法得到是郎之万方程的近似解，本文通过对信号输入和输出进行频谱分析来研究随机共振系统的一些特性。

3.1 时域仿真结果分析

设输入正弦信号，信号幅值A=0.5，信号频率f=0.025Hz，系统参数a=b=1，采样频率fs=5Hz,加入强度D=5的高斯白噪声。用图4的仿真方法得到系统输入端和输出端的时域波形，如图5所示。

加入噪声后，被测信号已被噪声信号完全覆盖淹没，如图5(a)所示，原始信号的特性都已看不出来，而经随机共振系统处理后，原始信号的时域特性又再次显现，如图5(b)所示，并且相比于未经随机共振系统处理的信号幅度还有所增强，此时信噪比提高到了-15dB。

图5 系统输入端和输出端的时域波形

3.2 频域仿真结果分析

设输入正弦信号，信号幅值A=0.1V，信号频率f=100Hz，系统参数a=b=1，添加噪声强度D=0.5V的高斯白噪声。经过仿真得到随机共振系统输入端和输出端的频谱图,如图6所示。

从输入频谱图可以看到，在强噪声背景下，信号的频率已无法分辨出来，而经过随机共振系统处理后，噪声得到了有效的抑制，输出频谱图中我们就可以看出，被测信号的频率也已经显示出来了。

图6 随机共振系统输入端和输出端的频谱图

4 结论

通过分析原始信号的时频特性以及信号和噪声的混合信号经非线性双稳态系统处理后的时频特性，我们可以看到，完全被噪声淹没的被测信号，在经过随机共振系统处理后，原始特性能较好的展现出来，甚至在幅值等方面还有所加强。这就说明随机共振效应在微弱特征信号的检测中有实际应用价值，尤其是在强噪声背景下，我们可以利用噪声能量提高信噪比，进而检测出原始信号。

[1]胡茑庆.随机共振微弱特征信号检测理论与方法[M].北京:国防工业出版社(第1版),2012.

[2]邵菊花.微弱信号检测的随机共振方法与应用研究[硕士学位论文].成都:电子科技大学,2008.

[3]杨祥龙,汪乐宇.随机共振技术在弱信号检测中的应用[J].电路与系统学报,2001,6(2):94-97.

[4]冷永刚,王太勇,郭焱,吴振勇.双稳随机共振参数特性的研究[J].物理学报,2007,56(1):30-35.

[5]胡岗.随机力与非线性系统[M].上海:上海科技教育出版社,1994:300-325.

[6]张美丽,林敏.外加周期信号控制下的随机共振及其应用[J].中国计量学院学报,2011,22(2):154-158.

[7]祝恒江,李蓉,温孝东.利用随机共振在强噪声背景下提取信息信号[J].物理学报,2003,52(10):2404-2408.

[8]陈晨.随机共振微弱信号检测的参数敏感性研究与应用[D].西安石油大学硕士论文,2015-05-20.