基于微分平滑的欠驱动无人地面车辆的轨迹跟踪控制

广东工业大学 余 章

基于微分平滑的欠驱动无人地面车辆的轨迹跟踪控制

广东工业大学 余 章

本文针对具有非完整约束的欠驱动无人地面车辆（Unmanned Ground Vehicle，UGV）的轨迹跟踪控制问题进行了探讨。通过分析系统的运动模型证明了欠驱动UGV是微分平滑的。采用微分平滑理论设计了欠驱动UGV的一个参考轨迹。然后推导了使该参考轨迹的跟踪误差渐近收敛的控制律。最后通过仿真试验验证了文中方法的有效性。

欠驱动UGV；微分平滑；轨迹跟踪

引言

无人地面车辆（Unmanned Ground Vehicle，UGV）是一种可以自动行驶并且携带工作载荷的地面移动平台，能够按照预先选择的参考轨迹行驶到复杂或危险的地方，从而可以执行特定的任务。其特点是集环境感知、动态决策和规划、行为控制与执行等多种功能于一体。目前，无人地面车辆（UGV）已经广泛应用于生产生活的诸多领域，以帮助人们处理一些繁重的或危险的工作，如核电站灾难发生后的搜索无人地面车辆[1]。

由于UGV只有2个控制输入，但是它的平面运动具有3个自由度，因此UGV的轨迹跟踪控制具有欠驱动特性。欠驱动系统的控制特点是可用较少的输入来控制其在相对维数较高的广义坐标空间内的运动。欠驱动系统在减轻重量、降低造价、节约能量以及增强系统灵活性等方面有其独特的地方。

不同于全驱动控制，在欠驱动控制下不是所有运动轨迹都是可行的。Fliess和Levine等在文献[2]中提出了微分平滑的概念。微分平滑系统对于规划可行的参考轨迹很有作用，因为如果它的平滑输出已知，则可以先在输出空间中进行轨迹规划，然后将可行轨迹通过代数运算映射到适当的输入空间，再设计合理的轨迹跟踪控制律来达到这个轨迹的跟踪。后面将探讨欠驱动UGV系统的平滑性及其平滑输出，并利用微分平滑理论来得到欠驱动UGV的一个位姿参考轨迹。

滑模控制具有当系统进入滑动模态后对系统参数变化和外界干扰不敏感的优良特性，且控制器的设计过程简洁，算法的运算量小，因此将被应用于后文的轨迹跟踪控制系统的设计中。

1 无人地面车辆（UGV）的运动学模型

图1 UGV的运动学模型

本文将以图所示中的具有非完整约束的UGV为研究对象，该UGV有左右两个驱动轮，以及一个起支撑作用的万向随动轮。两个驱动轮各由一个电机来驱动，如果两个电机的转速不同，则两个轮子会产生“差动”，从而可实现转弯。由于万向随动轮只起支撑作用，既不掌舵也不产生推进力，因此在计算UGV运动学方程时万向随动轮可以被忽略，不会影响运动学方程。

该UGV的控制输入为线速度υ和角速度ω，其状态由左右两个驱动轮的轴中点M（假设此点是UGV的中心）在惯性坐标系中的坐标位置(x, y)及姿态角θ来表示，其中姿态角为UGV的前进方向与X轴的夹角。

下面给出欠驱动UGV的运动学方程如下[3]：

由该运动学方程可见，具有非完整约束的UGV的运动学模型共有2个控制输入（υ和ω），3个状态输出（x、y和θ），故该模型为欠驱动系统，可实现2个状态的主动跟踪，剩下的1个状态则随动或镇定。后文将基于微分平滑理论来研究UGV的轨迹跟踪问题，即通过设计轨迹跟踪控制律(υ, ω)来实现UGV的参考位置(xr, yr)的跟踪，并实现参考姿态角θr的镇定。

2 无人地面车辆（UGV）的轨迹跟踪控制的微分平滑特性及利用

前已述及，UGV是一个欠驱动系统，即系统控制输入向量空间的维数小于系统广义坐标向量空间的维数。为了后文的方便，先给出微分平滑的定义如下。

定义 针对非线性系统：

其中，x为状态变量，u为控制变量。如果能够找到一个输出集合：

而且由输出y及其导数可以得到：

则该系统称为微分平滑系统，并称y为系统的平滑输出。

有了上面的定义铺垫，现在我们来探讨UGV的微分平滑特性，其主要结论以下面的定理形式给出。

定理 UGV运动学模型式是微分平滑的，且平滑输出可以表示为。

证明 由前述可知UGV系统的状态变量为(x, y, θ)，控制变量为(υ, ω)。由式，有：

从以上各式可以得知，系统所有状态(x, y, θ)及控制输入(υ, ω)均可由平滑输出x、y及其导数的函数来表示，因此根据微分平滑系统的定义，定理成立。

上述定理表明UGV的运动控制系统在实施轨迹跟踪控制时具有微分平滑特性，这可使其运动参考轨迹的选择及相应轨迹的跟踪控制律设计得以简化，下面给出一种参考做法如下：选择两个充分光滑的函数和，其中考虑到UGV受到非完整性约束以及为了避免奇异值的出现，要求；再令这两函数

3 轨迹跟踪控制系统设计

为了方便后文的公式推导，将UGV运动学模型式进行转换，有：

本文的轨迹跟踪控制方案由内外嵌套的两个控制子系统构成，位置跟踪子系统为外环， 姿态镇定子系统为内环；外环根据参考位置信号(xr, yr)生成一个中间指令信号作为参考角度信号θr，并传递给内环系统，内环则通过准滑模控制律实现对这个参考角度信号θr的跟踪。控制系统的结构图如图2所示。

图2 UGV的嵌套双闭环的轨迹跟踪控制器结构

3.1 位置控制律设计

下面设计外环的位置控制律υ，以实现输出位置(x, y)跟踪参考位置(xr, yr)。

令跟踪误差为：

则有：

取滑模函数为：

则有：

设计位置控制律为：其中，k1＞0，k2＞0，η1＞0，η2＞0，sat(●)是饱和函数。

采用文献[4]的结论，上述不等式方程的解分别为：

从而Vx、Vy分别指数收敛于零，从而s1、s2分别指数收敛于零，从而xe、ye分别指数收敛于零，这样我们通过设计的位置控制律υx和υy实现了x跟踪xr，以及y跟踪yr。

最后，把位置控制律υx和υy代入式，我们得到实际的位置控制律为：

3.2 姿态控制律设计

下面来设计内环的姿态控制律ω，以实现控制角度θ跟踪位置子系统控制器生成的参考角度θr。

令θe=θ — θr，取滑模函数为s3=θe，则：

设计姿态控制律为：

4 仿真实例

图3 参考轨迹的跟踪

图4 参考位置及位置子系统控制器生成的参考角度的跟踪

由上面的系列仿真图可见，在设计的控制律作用下，UGV的实际轨迹渐进收敛于参考轨迹，UGV的实际位姿状态亦快速收敛于参考位姿状态。

结论

本文分析了欠驱动无人地面车辆的运动模型，证明了它是微分平滑系统并得到平滑输出。基于微分平滑理论选取了欠驱动UGV的一个可行参考轨迹，然后推导了使该参考轨迹的跟踪误差渐近收敛的控制律。最后通过计算机仿真验证了文中方法的有效性。

[1]施皖,毛丽民,俞雷,鲁波．基于热释红外的蚂蚁搜索机器人群智系统设计[J]．电子世界,2014(05)：154-156．

[2]M．Fliess,J．Levine et al．Flatness and defect of non-linear systems：introductory theory and examples[J]．International Journal of Control,2003,61(6)：13-27．

[3]Kanayama Y et al．A stable tracking control method for an autonomous mobile robot[C]．IEEE International Conference on Robotics and Automation,1990：384-389

[4]P．A．Ioannou,Jing Sun．Robust Adaptive Control[M]．Prentice Hall PTR,1996．