基于非线性效应的页岩气产能预测模型

许莹莹 刘先贵 胡志明 端祥刚 常 进

1.中国石油勘探开发研究院, 河北 廊坊 065007;2.中国科学院大学渗流流体力学研究所, 河北 廊坊 065007

0 前言

页岩气是自生自储于暗色泥页岩或高碳泥页岩中的非常规天然气,分布范围广、储量丰富、开发前景广阔,在我国天然气产量增长的能源结构中占据重要的战略地位[1-2],目前我国在川南长宁、威远以及昭通已建成“万亿方储量百亿方产能”示范区。产能是评价页岩气田开发效果的核心指标之一,已成为页岩气田商业性开发设计方案的一个关键研究热点。

现阶段页岩气井产能评价的技术方法主要包括递减曲线法和产能模型方法。递减曲线方程[3-5]及修正的递减方程[6-7]多对页岩气井定压生产时的生产动态数据进行拟合回归,反演经验方程中的关键参数,获取产量递减曲线以预测页岩气井的产能,但是这种方法一般适用于早期的裂缝系统流动,受限于表征页岩气井定压生产,易受到人为操作因素和气井生产数据无规则性波动的多重影响,给页岩气产量递减经验方程的建立带来一定的不确定性,不能直接将经验方程广泛应用于我国的页岩气藏开采实践中。

基于多孔介质渗流理论建立的产能模型[8-16]是合理预测产能的有效途径和发展方向,能避免油气田产能经验公式的局限性,具体是以高度抽象的页岩气藏开发物理模型为前提,基于多孔介质渗流理论,探究气体在裂缝页岩储层跨尺度多重运移机理,建立页岩气藏渗流数学模型,探究气井的生产动态特征。产能模型考虑的流动阶段更为全面、流动机理更加完善,对制定页岩储层压裂施工设计方案和指导页岩气藏的勘探开发具有理论意义和应用价值。

相比于常规气藏,页岩储层物性致密低渗,基质渗透率一般低于0.001 mD,页岩孔喉细小,多为纳米级孔隙,孔隙度一般分布在2%～10%[17],页岩储层生产后期基质内同时存在连续流、滑移流、过渡流或分子自由流等多种形式复杂的非线性流动[18-22],为产能的精确描述带来了较大的困难。如今多数产能模型表征气体跨尺度产出过程中的非线性效应不全面,忽略了气体高压物性、超临界解吸规律的非线性对产能的影响，导致气井产能评价值偏低,在建立产能预测模型上尚未形成统一的认识。

针对产量递减方程在评价气井产能的适用性上的不足,以及现有多数产能理论模型忽略了气体产出过程中的部分非线性效应等多个关键科学问题,本文基于传统的线性流动产能模型,综合考虑了高压物性非线性高压解吸特征,引入了储层低压下的扩散、滑脱的表观渗透率模型以及次生缝网的应力敏感性,完善并建立了改进的五区复合渗流模型,依次采用Laplace变换、正则摄动变换、Stehfest数值反演以及牛顿迭代方法得到了模型的产能半解析解,通过威远区块某气井的生产数据验证产能半解析解的可靠性、证实了气体综合非线性效应对产量贡献率的重要性,明确了气井生产20年的生产动态规律以及针对性地提出了页岩气井产能优化指导建议,对提高气藏动用率、最终气体采出程度具有一定的理论参考意义。

1 物理模型

由于压裂改造区裂缝分布形态不规则,无法准确获取裂缝非均质性特征参数,因此本文对裂缝系统简化处理以方便计算,假设主裂缝可用平板双翼模型表征[23],裂缝网络与基质区域处理成等效介质。考虑到主裂缝间以及主裂缝外区域存在部分未压裂的储层,不同区域的渗流特征存在明显差异,物理模型选取单条主裂缝的1/4,将该模型分为以下五部分:内区主裂缝、内区缝网区1区、内区主裂缝间基质2区、外区未压裂基质3区和外区基质4区,见图1。

图1 页岩气多簇压裂水平井五区复合简化物理模型图

具体假设如下。

1)页岩气各自从外区3、4区流入内区1、2区,2区内的气体经1区、主裂缝向井筒汇聚,单相甲烷气体在不同渗流场中的运移是一维渗流过程,页岩储层半宽为ye,封闭外边界均质等厚。

2)内区基质2区以及外区基质3、4区内气体高温高压吸附特征可用超临界Langmuir吸附方程解释,游离气在基质中扩散、滑脱。

3)内区缝网1区中游离气向主裂缝的传质方式为考虑缝网应力敏感性下的黏性流。

4)内区主裂缝均匀分布、等长、上下对称,且垂向上完全压开储层,半长为yF,主裂缝宽度为w,主裂缝簇间距为LF,单裂缝的压裂半宽大小为d/2,气体流动行为遵循达西定律。

5)气体在不同渗流区域间的窜流为非稳态流,气体产出过程为等温渗流,忽略重力和毛细管力的影响,气井以定压生产。

1.1 气体超临界吸附—解吸模型

由于常规的Langmuir方程无法拟合高温高压页岩等温吸附规律[24],本文采用基于吸附相体积理论建立的过剩量高压等温吸附模型[25]:

(1)

式中:qad为单位基质体积页岩气超临界过剩吸附量,kg/m3;R为摩尔气体常数，8.314 J/(mol·K);M为甲烷摩尔质量，16 g/mol;psc为地面标准大气压,取值0.101,MPa;Tsc为标准状态的温度,取值273.15,K;Zsc为理想气体的压缩因子,取值1;VL为Langmuir体积,m3/m3;pL为Langmuir压力,Pa;pi为基质压力,Pa(i=2、3、4);ρa为吸附相密度,kg/m3。下标i=2、3、4代表三个基质区域。

1.2 表观渗透率模型

本文采用JAVADPOUR[21]表观渗透率模型描述基质中气体的扩散、滑脱流动规律:

Kia=cgiDμi+FiKi

(2)

滑移速度校正因子:

(3)

水力流动半径:

(4)

式中:Fi为滑移速度校正因子;φi为基质区孔隙度;μi为不同基质区域的气体黏度,Pa·s;Kia为基质区域的表观渗透率,m2;cgi为气体初始压缩系数，Pa-1;Ki为达西渗透率,m2;ri为水力流动半径,m;pavg为气体平均压力,Pa;α为切向动量协调系数,取决于孔隙内壁光滑度，气体类型、温度、压力等,其取值范围为0～1,本文取值0.8;D为扩散系数,m2/s。

1.3 压力敏感效应

缝网中的气体产出时,无支撑剂次生裂缝在应力敏感性的影响下可能存在闭合,次生缝网渗透率会明显降低,为表征次生裂缝的应力敏感性对气体流动能力的影响，本文采用指数形式的应力敏感性经验模型[26]:

Kf=Kfie-γ(ψe-ψf)

(5)

式中:Kf为考虑压敏效应后的内区缝网渗透率,m2;Kfi为初始时刻的内区缝网渗透率,m2;γ为拟渗透率模量,Pa·s/Pa2;ψe为储层初始地层压力,Pa2/(Pa·s);ψf为储层缝网压力,Pa2/(Pa·s)。

2 渗流数学模型

2.1 基质4区渗流方程

4区基质气体沿y方向汇入2区基质,考虑页岩基质中吸附气的超临界解吸、游离气的扩散和滑脱,外边界条件为封闭,内边界压力连续。

根据质量守恒定律可得基质渗流控制方程:

(6)

式中基质综合压缩系数:

Ct4=Cg4+Cd4+Cf4

(7)

气体压缩系数:

(8)

解吸气压缩系数:

(9)

初始时刻外区渗流场压力等于原始地层压力:

p4(t=0)=pe

(10)

外边界:

(11)

内边界:

p4(y=yF)=p2(y=yF)

(12)

式中:ye为页岩储层半宽,m;Cdi为修正的超临界解吸气体压缩系数,Pa-1;Cgi为气体压缩系数,Pa-1;Cti为基质综合压缩系数,Pa-1;Cfi为储层压缩系数,Pa-1。

2.2 基质3区渗流方程

与4区基质气体的渗流规律类似,3区基质中的气体沿y方向以超临界解吸、扩散、滑脱汇入1区,根据质量守恒方程、运动方程和状态方程可推导得到3区基质渗流方程:

(13)

2.3 基质2区渗流方程

考虑基质4区和2区间的气体非稳态窜流,依据质量守恒定律、运动方程建立2区基质渗流方程:

(14)

外边界条件为封闭,内边界压力连续,初始时刻原始地层压力,则渗流方程的约束条件如下。

初始条件为:

p2(t=0)=pe

(15)

外边界为:

(16)

内边界为:

(17)

2.4 缝网1区渗流方程

考虑缝网应力敏感性对1区气体黏性流的影响,外边界与2区流量连续,内边界压力连续。根据质量守恒方程、运动方程和状态方程可推导得到1区基质渗流方程:

(18)

式中:pF为内区主裂缝压力,Pa。

2.5 内区主裂缝渗流方程

气体在主裂缝中流动方式为线性流,基于气体质量守恒定律和运动方程建立主裂缝渗流控制方程:

(19)

考虑气井定井底压力生产,外边界封闭,则主裂缝的初边界条件如下。

初始条件:

pF(t=0)=pe

(20)

外边界:

(21)

内边界:

pF(y=0)=pwf

(22)

式中:φF为内区主裂缝孔隙度;μF为内区主裂缝中气体的黏度,Pa·s;Q1F为内区缝网向内区主裂缝的窜流量,kg/(m3·s);pwf为井底压力,Pa;KF为内区主裂缝渗透率,m2。

由于渗流控制方程中气体高压物性参数随温压条件变化较大,呈现较强的非线性效应[9],引用拟压力和拟时间[27]对控制方程中的高压物性参数的非线性化进行简化处理以便方程求解。

拟压力表达式为:

(23)

拟时间表达式为:

(24)

表1为渗流方程中各参数的无因次定义式[28],根据表1,将渗流控制方程组转化为无因次量纲化的渗流方程,以便于求解无因次产能模型。

表1 无因次参数定义表

进而对无因次渗流控制方程组依次采取正则摄动变换、Laplace空间变换以降低无因次方程组的非线性,并推导得到Laplace内的矩形封闭外边界无因次定压日产量解:

(25)

基于matlab数值编程平台,对该表达式(25)进行Stehfest数值反演得到实空间中的无因次产量半解析解,在此基础上,综合考虑方程中的非线性效应对产量的影响程度,结合牛顿迭代方法,可获得定压生产时的实空间下的产量半解析解。

3 产能预测模型验证

以威远页岩气示范区某多级压裂水平井为例,其相关地质参数和水平井参数见表2(*表示模型拟合参数),通过调整产能模型的相关参数,采用该井的生产动态数据对本文的半解析模型进行了历史拟合验证，以适用于该气井生产动态分析。

表2 气藏地质参数和水平井参数表

模型验证结果见图2。由图2可知,该气井生产过程历时 1 140 d,日产气数据震荡性较大,但总体单调递减规律较为明显,生产800 d时,产气速度由23×104m3/d 降至1×104m3/d,累计产气量0.71×108m3,基本进入气井稳产阶段。模型产气量预测结果见图3,本文产能模型计算的产气量曲线与生产动态数据典型曲线趋势整体上基本一致,模型计算的累产气量为0.779×108m3,气井实际生产1 140 d的产气量为0.764×108m3,相对误差为1.986%,可证实模型的可靠性。如图3所示,在气井投产1 a前非线性效应对产量的贡献程度不明显,但非线性效应随着气井生产年限的增加对页岩气井产量的影响不可忽略,依据模型预测气井生产20 a的最终可采储量(EUR)为1.379×108m3,相对不考虑综合非线性效应计算的1.117×108m3高出23.46%,由此可见当不考虑上述非线性因素之一时,产能模型预测结果偏低,这是由于开发后期低压基质内的微纳米孔隙内的气体分子稀薄效应明显,分子与壁面间的碰撞频率为气体运动的主导运动学机制,气体开始以克努森扩散、菲克扩散以及滑脱流方式进行传质,气体渗流能力明显增强,延缓日产气量递减速率,提高了基质后期供给程度。该产能半解析模型密切依托现场生产信息,考虑的非线性较为完善,计算精度也大幅提高,较符合现场生产实际的产能预测结果,可合理评价预测气井中长期的产能大小和预测EUR值。

a)日产气量拟合曲线

4 气井生产动态分析

气井生产动态特征图版表明气井产量供给主要来源于压裂改造区的裂缝流动以及裂缝系统附近区域的基质传质,见图4。

图4 气井不同生产阶段日产气量与生产时间关系曲线图

页岩储层在经过大规模的水力压裂改造后,近井区域诱导产生的次生缝网与天然裂缝相互交错,形成高导流渗流通道,在压力差作用下裂缝内的页岩气会迅速由裂缝流入井筒内,即为页岩气井生产初期的日产气量快速上升阶段,当投产时间约为38 d时,日产气量达到峰值32.59×104m3。在基质和裂缝内气体的压力梯度作用下,气井进入基质供给阶段,缝面附近的基质中气体开始汇入裂缝,由于页岩储层的低孔低渗特性决定了基质内页岩气向裂缝的供给速度慢,产气量不足以补充高导流能力裂缝中气体产出量,产气速度急速下降,此阶段为产气曲线的递减期。当储层平均压力降至气体临界解吸压力时,解吸作用开始发生,低压下的气体扩散、滑脱等非达西效应明显,对产气量有一定贡献,预计第800天时气井进入持续时间较长的稳产期。

运用该产能模型系统研究该井20 a开发特征。不同生产时间累产气量曲线及不同气体贡献率见图5，年吸附气贡献率与阶段生产时间关系曲线见图6。

图5 不同生产时间累产气量曲线及不同气体贡献率图

图6 年吸附气贡献率与阶段生产时间关系曲线图

从图5～6可以看出,生产时间为1 a时,地层平均压力从 45 MPa 降至33 MPa，生产初期主要产出游离气,吸附气基本不动用,产出的吸附气比例为7.97%,储层气体累积产出量为0.5×108m3,EUR采出程度不超过40%。随着生产时间增加,储层压力降低,游离气被大量采出,吸附气产量逐渐上升,累积吸附气贡献率越高。生产第8年时储层平均压力已大约降至初始地层压力的50%,累积吸附气贡献率达到15%,累产气量超过1×108m3,EUR采出程度为75%,第10年时,储层压力降至21.8 MPa,累积吸附气贡献率接近18%,可采储量可达EUR的80%。当生产至20年时,剩余平均地层压力为17 MPa,压力降幅约为67%,计算的产量值为1.379×108m3,累积吸附气贡献率23.28%。同时年吸附气贡献率曲线表明,年吸附气贡献随着生产时间的延长逐渐升高,第一年吸附气占产量比例低于10%,第12年时年吸附气贡献率超过40%,第18年吸附气贡献率高于年游离气贡献率,第20年最终年吸附气贡献率可为53.71%。由此可见,解吸气只有在后期储层压力较低时对储层生产动态贡献作用明显,后期产能主要依靠吸附气解吸供给。实际生产过程中可充分发挥吸附气潜力,提高日产气量与累计产气量,保障气井长期稳产。

模型计算的产气量与地层平均压力的关系曲线见图7,地层平均压力大于30 MPa时累产气量与地层压力基本呈线性关系,直线斜率约为40.050 9×108m3/MPa,且累产气量和游离气产气量曲线基本重合,产出气体基本为游离气。当地层压力降至30 MPa,吸附气开始动用,对产量的贡献作用增强,文献[28]研究表明页岩气高温高压最大吸附量和临界解吸压力随着实验温度呈单调递增趋势,因此可以认为模型温度为120 ℃时的吸附气临界解吸压力高于12 MPa是合理的,累产气量曲线开始偏离直线段,逐渐向上弯曲,地层视压力越低吸附量曲线和累产气量曲线上翘越明显,平均斜率分别为0.062×108m3/MPa、0.026 1×108m3/MPa。吸附气在产量组成中的占比较为关键,在生产末期即储层压力约为17.36 MPa时,吸附气产气0.32×108m3,约占EUR的23%。

图7 累产气量与地层平均压力的关系曲线图

单位压降下的产气量表征了地层平均压力每降低一个单位压力的产气量,单位压降产气量与地层平均压力关系曲线见图8,可看出,生产初期储层压力高于 30 MPa 左右时,吸附气单位压降的产出量较少,单位压降累产气基本稳定在 0.050 9×108m3/MPa,随着压力降低至甲烷临界解吸压力以下,解吸过程开始，吸附气转变为游离气,储层气体动用率明显提高,致密页岩单位压降产气量迅速上升,且地层平均压力越低,吸附气和游离气的单位压降产气量上升幅度越明显,说明吸附气是储层低压时长期稳产的重要组成部分,生产末期单位压降的累产气量可达 0.075 3×108m3/MPa。

图8 单位压降累产气量与地层平均压力关系曲线图

5 结论

1)基于常规五区复合渗流模型,在基质方程中综合考虑了超临界吸附模型以及扩散、滑脱,在缝网控制方程中考虑了应力敏感性影响,以及分析气体高压物性变化对产量的影响,建立了改进的五区复合渗流模型,弥补了前人产能模型中对气体非线性效应考虑不全面的不足。

2)主要采用Laplace变换、正则摄动变换、Stehfest数值反演和牛顿迭代方法推导得到气井实空间的产能半解析解,对某页岩气井生产数据历史拟合，验证了该产能模型的可行性并拟合回归了部分模型不确定性参数;气体非线性效应对产量的影响随生产年限的增长而增加。当不考虑非线性因素之一时,产能模型预测的结果明显偏低。该产能半解析模型紧密联系现场压裂完井参数和生产数据,考虑的非线性效应更完善,产能计算精度也更高,可合理评价预测气井中长期的产能大小和预测EUR值。

3)气井生产初期地层压力高于临界压力时累产气量主要由游离气贡献,吸附气动用率较低,单位压降累产气量恒定。生产中后期当地层压力降至临界解吸压力以下时,地层压力越低,吸附气解吸越明显,后期吸附气储量动用程度明显升高,单位压降下的累产气量上升明显,储层动用率增强,最终吸附气贡献率为23.28%,年吸附贡献率可超过50%。因此吸附气是储层低压时长期稳产的重要组成部分。