球头铣刀多轴铣削加工的切削刃微元点轨迹模型

,,,,宛山

(东北大学 机械工程与自动化学院,沈阳 110819)

球头铣刀多轴铣削加工是目前加工自由曲面的主要方式之一,广泛应用于航空航天、汽车、模具等领域[1-4].铣削力是研究铣削加工过程的重要物理量,而瞬时未变形切削厚度是铣削力模型的重要组成部分.因此,研究球头铣刀切削刃微元点的瞬时未变形切削厚度模型具有重要意义.

目前,在球头铣刀铣削力的研究中,一般将切削刃微元点轨迹简化为圆,然后利用空间几何关系建立瞬时未变形切削厚度模型,例如:平移切削厚度建模法、正弦积法.在相关学者[1-6]的研究基础上,在一定的条件下,通过这种假设得到的铣削力模型尚可满足应用需求.但随着加工精度要求的提高和铣削研究的深入,建立更为精确的铣削力模型成为当前研究的重要问题.然而,解决该问题关键就是建立精确的瞬时未变形切削厚度模型.

近年来,铣削研究的相关学者又掀起了如何建立精确的切削厚度模型研究.Azeem等[2]详细讨论了球头铣刀水平切削、非水平切削和旋转切削的切削刃微元点轨迹,建立了相应的数学模型,并以此为基础得到了适用于球头铣刀多轴铣削的瞬时未变形切削厚度通用模型.Zhu等[7]根据坐标变换矩阵和进给矢量的参数化表达,推导了任意时刻切削刃微元点空间位置的计算模型,并将此模型作为计算瞬时未变形切削厚度、讨论刀具与工件切触情况的基础.闫雪等[5,8]针对立铣刀水平铣削,分析了铣刀切削刃上任意点(切削刃微元点)的运动轨迹,提出了一种基于切削刃运动轨迹进行补偿的切削厚度计算方法,不仅可以得到更准确的切削厚度计算结果,而且简化了计算过程.梁鑫光[9]针对传统切削厚度计算方法存在的原理性误差,分析了球头铣刀球面切削刃的三次摆线轨迹,推导了计算多轴铣削切削厚度的精确表达式.贺小东等[10]针对立铣刀的水平铣削,通过描述切削刃的真实摆线运动轨迹,建立和求解了未变形切削厚度的超越方程,得到了准确的切削厚度计算表达式.

综合上述研究可以看出,获得精确的瞬时未变形切削厚度的前提是建立准确描述切削刃微元点的轨迹模型,而且鲜有针对球头铣刀多轴铣削的切削刃轨迹和精确的未变形切削厚度的研究,主要是由于切削刃轨迹复杂的时空特性,使其未变形切削厚度的计算基本采用简化的传统近似建模方法.为此,本文提出一种适用于描述球头铣刀多轴铣削加工过程中切削刃微元点空间轨迹的方法,即结合空间坐标变换、刀具几何模型和空间位置矢量推导得到描述切削刃微元点轨迹的矢量模型,从而为获得精确的未变形切削厚度模型和简化其计算过程奠定基础.

1 工件和刀具的坐标系

工件坐标系和刀具坐标系之间的变换关系是定量描述切削刃微元点轨迹的前提,为了准确地描述球头铣刀多轴铣削加工过程中刀具相对于工件的位置和姿态,分别建立工件坐标系、刀具坐标系和用于中间变换的参考坐标系,如图1所示.

图1 工件、刀具和参考坐标系Fig.1 Workpiece,cutter and reference coordinates systems

图1中:ow-xwywzw为工件坐标系;po为球头铣刀刀尖的位置坐标;nf为刀尖进给方向的单位向量;no为刀轴方向(位姿)向量.po,nf和no均为工件坐标系下的矢量形式.

or-xryrzr为辅助建立工件和刀具变换关系的参考坐标系,以刀尖为坐标系原点or,刀轴方向为zr轴方向,刀具进给方向nf在垂直于zr轴平面内的投影方向为xr轴方向(当投影为一个点时,则以上一个刀位点的xr轴方向作为当前刀位点的xr轴方向),yr轴方向根据笛卡尔坐标系的右手定则确定.坐标系or-xryrzr相对于工件坐标系按数控程序控制的刀具位置和位姿运动.

oc-xcyczc为刀具坐标系,以刀尖为坐标系原点oc,刀轴方向为zc轴方向,相切于任一刀刃曲线并垂直于刀轴的方向为xc轴方向,yc轴方向根据笛卡尔坐标系的右手定则确定.坐标系oc-xcyczc为刀具的局部坐标系,不仅相对于工件坐标系按数控程序控制的刀具位置和位姿运动,还相对于参考坐标系or-xryrzr绕zr轴旋转.

根据坐标系or-xryrzr和oc-xcyczc的建立原则可知,平面xrorzr和xcoczc位于同一平面,并且xr轴和xc轴之间的夹角θ与刀具转速、时间有关.

根据图1和上述的坐标系建立过程,可由矢量po,nf和no计算得到坐标系ow-xwywzw和or-xryrzr之间的变换关系,即坐标系or-xryrzr下矢量到坐标系ow-xwywzw下的变换矩阵为

(1)

式中:nf-nf·no·no为进给方向在垂直于zr轴平面内的投影方向向量.

(2)

坐标系or-xryrzr和oc-xcyczc之间的变换矩阵为

(3)

结合式(1)和式(3),可得工件坐标系ow-xwywzw和刀具坐标系oc-xcyczc之间的变换矩阵为

(4)

2 切削刃微元点的空间位置矢量和轨迹模型

2.1 切削刃微元点的空间位置矢量模型

切削刃微元点的轨迹,其实质就是切削刃上点的空间位置随时间变化所形成的空间轨迹.因此,为了建立准确的切削刃微元点轨迹模型,首先需要建立切削刃微元点的位置矢量模型.图2为球头铣刀球面切削刃上任意微元点e在刀具坐标系oc-xcyczc下的空间位置关系示意图.

图2 刀具坐标系下切削刃微元点的空间位置Fig.2 Spatial position of tooth element in cutter coordinates system

图2中:R为刀具半径,mm;n为刀具转速,r/min;κ为切削刃微元点e的轴向位置角,rad;j为切削刃编号;ψ为切削刃微元点e的螺旋滞后角,rad.根据图2可知,只需确定κ和ψ即可写出微元点e的位置矢量表达式,κ和ψ与切削刃曲线密切相关.

球头铣刀属于典型的回转刀具,其切削刃曲线是由某一点作螺旋运动而形成的曲线.根据切削刃曲线特征,主要有等导程和等螺旋角球头铣刀2种.鉴于刀具加工制造的工艺性和经济性,目前常用的球头铣刀主要采用等导程切削刃曲线.因此,本文针对等导程球头铣刀建立切削刃微元点的空间位置矢量模型.

根据图2的几何关系和等导程螺旋线形成原理,可直接写出切削刃微元点e的空间位置矢量形式为

(5)

由于点e位于等导程螺旋线上,因此螺旋滞后角ψ可由轴向位置角κ表示为

(6)

式中:P=2π·R/tanβ为导程,β为公称螺旋角,rad;N为刃数.

结合式(5)和式(6),可进一步得到以轴向位置角κ为参数的任意切削刃微元点空间位置矢量

(7)

2.2 轨迹模型

刀尖和刀位轨迹,即式(1)中的po和no是确定切削刃微元点轨迹的必要条件.然而,多轴铣削的数控程序往往是以一系列离散数据组成,如图3所示.因此,需要经过插值计算才能得到连续的刀尖和刀位轨迹.

具有多轴铣削功能的数控系统,例如SINUMERIK 840D sl数控系统,其插值一般采用线性插值的方式.因此,任意时刻的刀尖位置,即刀尖轨迹po可表示为

图3 SINUMERIK 840D sl系统的多轴铣削数控程序Fig.3 Multi-axis milling NC codes in the control system SINUMERIK 840D sl

(8)

式中:f为进给速度,mm/min;ti-1为刀尖位置ci-1对应时刻,s;t为ti-1和ti之间任意时刻,s.

与计算po不同,计算描述刀具位姿的no.首先,需要线性插值得到机床各旋转轴的角度,然后,结合机床的旋转运动关系确定其计算表达式.换言之,no的计算与机床结构或运动学密切相关.本文以回转摆动形式的五轴联动加工中心为对象,如图4所示,阐述任意时刻no的计算方法.

图4 五轴联动加工中心Fig.4 5-axis CNC universal machine

图4中:坐标系om-xmymzm为机床坐标系;B,C是带正负方向的旋转轴角度,rad.根据线性插值,五轴联动加工中心任意时刻的旋转轴角度为

(9)

式中:Bi,Ci为数控程序每行代码中控制旋转轴角度的离散数据,即刀位控制数据.

根据图4所描述的机床结构和旋转轴运动关系,即旋转轴C依附于旋转轴B,据此刀具位姿no可表示为

(10)

对于式(3)中xr轴和xc轴的夹角θ,可根据图1和图2中的几何关系和参数表示为

(11)

(12)

结合式(1)～式(12),可得到任意切削刃微元点e的轨迹模型为

(13)

3 轨迹模型的仿真分析和验证

为了验证本文研究的正确性和可靠性,首先，利用C++编程语言和OpenGL 4.5图形接口开发实现了基于所建模型的切削刃微元点轨迹仿真.然后，以刀具半径为R=4 mm的等导程球头铣刀为对象,建立其1∶1的几何模型并标记切削刃上任意点,即利用几何方法实现离散跟踪被标记点在不同时刻的空间位置.最后,进行仿真轨迹和跟踪数据的对比分析,作为判断本文研究正确性的依据.

本文所选用的刀具如图5所示,其具体参数如表1所示.选取的切削刃上各标记点在刀具坐标系下的坐标值如表2所示.确定各相关参数和标记点后,模拟仿真主轴转速为6 000 r/min、进给速度为3 200 mm/min的叶轮开粗铣削过程,可得到切削刃微元点的仿真轨迹和某一时刻的标记点位置状态，如图6所示.为了便于对比分析,提取某一时间段的切削刃微元点轨迹和该时间段内标记点所有的离散位置数据,整理得到在工件坐标系下各坐标分量相对于时间的变化关系,如图7所示.

图5 球头铣刀和其几何模型Fig.5 Ball-end milling cutter and the geometric model

表1 球头铣刀几何参数

表2 标记点在刀具坐标系下的坐标Tab.2 Coordinates of marked points in cutter coordinates system

根据图6和图7,可以看出仿真得到的切削刃微元点轨迹在任意时刻都能和标记点具有较高的重合度.由此可以证明本文所建立的切削刃微元点轨迹模型和开发的程序正确、可靠,而且适用于球头铣刀多轴铣削加工.

图6 切削刃微元点轨迹仿真Fig.6 Trajectory simulation of tooth element

图7 仿真轨迹和标记点位置随时间的变化关系Fig.7 Change relationship of simulated trajectories and marked-points’ coordinates with time

4 结语

通过对球头铣刀多轴铣削加工过程中工件和刀具坐标系变换关系、切削刃微元点空间位置矢量和刀具轨迹的分析与定量描述,建立了准确描述切削刃微元点轨迹的矢量模型.并通过对比分析轨迹仿真和标记点的跟踪结果,验证了所建模型和研究方法的正确性.

本文建立的模型不仅适用于球头铣刀多轴铣削加工的切削刃微元点轨迹描述,更重要的是该模型以矢量形式准确描述了切削刃微元点位置在参与切削过程中复杂的时空变化.因此,本文的研究对进一步建立准确的未变形切削厚度和深入研究球头铣刀多轴铣削加工具有重要意义.

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