RBF神经网络算法的非线性积分滑模控制机械臂运动轨迹误差研究

董 君,陈 立

(1.吉林省经济管理干部学院 公共教育学院,长春 130012; 2.福州大学 机械工程及自动化学院,福州 350108)

机械臂是能够模仿人手和臂的某些功能,用以抓取、移动工件或操作工具的自动执行装置[1].机械臂早期采用顺序控制,随着计算机技术的发展,机械臂朝着智能方向快速发展,其应用领域也越来越广泛,如太空、海洋、医学及农业等.机械臂不仅降低了劳动者的生产强度,而且还提高了加工产品的精度和生产率,创造了巨大的经济效益.机械臂在实际生产应用中,其控制系统会受到外界多种不确定因素的干扰,造成机械臂控制定位精度下降.因此,对机器人控制技术的研究具有重要的意义.

机械臂在执行特殊任务时,其跟踪轨迹的精确定位控制非常重要.当前,许多研究人员对机械臂运动轨迹的控制方法进行了研究.例如:文献[2-3]研究了机械臂自适应神经网络控制虚拟方法,在ADAMS软件中建立机械臂三维模型,引用神经网络设计机械臂末端控制器,将三维虚拟模型输入到Matlab软件中进行联合仿真,从而直观地展示神经网络的控制效果;文献[4-5]研究了机械臂模糊PID控制方法,运用模糊的数学方法对PID参数进行在线调整,将采集到的误差和误差变化率反馈到控制对象,从而提高了机械臂运动轨迹的跟踪精度;文献[6-7]研究了机械臂自适应滑模控制方法,设计了全局滑模控制器,采用切换增益抑制机械臂运动的振动幅度,通过仿真验证滑模控制机械臂运动轨迹跟踪误差,从而提高了机械臂轨迹的定位精度,跟踪效果较好.但是,以往研究的机械臂在受到外界不确定因素干扰时,运动轨迹的定位精度较低.对此,本文以双关节机械臂为研究对象,建立其简图模型；分析RBF神经网络算法结构,定义了运动轨迹产生的误差函数；推导出RBF神经网络算法非线性积分滑模控制方程式,引用李雅普诺夫函数对机械臂运动的稳定性进行了证明；将运动参数输入Matlab软件中进行误差仿真,并与PID控制方法进行比较,为深入研究机械臂运动轨迹的定位控制提供了理论依据.

1 机械臂动力学模型

根据拉格朗日定理可知,n关节机械臂的动力学方程式[8]为

M(q)q″+C(q,q′)q′+F(q′)+G(q)+τd=τ

(1)

式中:q,q′,q″∈Rn分别为机械臂关节角位移、角速度和角加速度;M(q)∈Rn×n为正定惯性矩阵;C(q,q′)∈Rn为哥氏力和离心力矩阵;F(q′)∈Rn为黏性摩擦力矩;G(q)∈Rn为关节重力项;τd∈Rn为外部随机干扰项;τ∈Rn为驱动力矩.

本文研究的对象是双关节机械臂,其简图如图1所示，q1,q2分别为连杆1、连杆2的角位移,m1,m2分别为连杆1、连杆2的质量,l1,l2分别为连杆1、连杆2的长度.

图1 双关节机械臂运动简图Fig.1 A schematic diagram of a double jointmechanical arm movement

2 RBF神经网络算法结构

RBF神经网络算法模拟人脑中局部调整、相互覆盖接收域的神经网络结构,具有单隐层的3层前馈网络,能够逼近任意连续函数的精度[9].RBF神经网络算法是3层前向网络,输入到输出的映射是非线性的,隐含层到输出层的映射是线性的.采用RBF神经网络算法可以快速学习,并且避免局部极小值问题,可以提高控制系统的精度.多输入单输出的RBF神经网络算法结构如图2所示.

图2 RBF神经网络算法结构Fig.2 RBF neural network algorithm structure

在RBF神经网络算法结构中,网络的输入向量为X=[x1,x2,…,xn]T,设RBF神经网络算法的径向基函数向量为H=[h1,h2,…,hm]T,其中hj为高斯基函数[10]:

(2)

式中:cj为网络节点的中心矢量；bm为网络节点函数宽度.

设网络的基宽向量为B=[b1,b2,…,bm]T,网络的权向量为W=[w1,w2,…,wm]T,其中bj为节点的基宽度参数.因此,RBF网络性能指标函数如下:

(3)

式中：y(t),ym(t)分别为网络实际输出值和理论输出值.

3 RBF神经网络算法非线性积分滑模控制

3.1 自适应RBF神经网络算法滑模控制

在本文中,选择径向基函数神经网络算法,结合滑模控制鲁棒项函数来处理控制系统的稳定性.自适应径向基函数的框图神经网络如图3所示.在这个方案中,修正了RBF网络的权重和高斯函数的中心、宽度,主要是为了保证控制系统的稳定性.除此之外,还使用滑模控制鲁棒的术语函数来保证非线性和外部扰动存在的稳定性、鲁棒性.

图3 RBF神经网络控制结构Fig.3 RBF neural network control structure

RBF神经网络算法的输出向量[11]为

y(x)=WTh(x)+ε

(4)

式中:h=[h1,h2,…,hm]T;W为优化权值;ε为最小逼近误差向量.

输出RBF近似值设计为

(5)

由式(4)和式(5)得

(6)

当t→∞,采用自适应鲁棒控制定律可以保证系统控制误差趋于0.定义跟踪误差向量和滑模控制函数方程式如下:

e(t)=qd-q

(7)

s(t)=e′+λe

(8)

式中:e(t)为机械臂跟着误差；qd，q分别为实际运动轨迹和理论运动轨迹；λ=diag(λ1,λ2,…,λn)为对角正定矩阵,定义一个误差测度s(t)用来评价控制性能的稳定性.当滑模控制面s(t)=0时,根据滑模控制理论,滑模控制采用以下微分方程:e′=-λe,系统的滑模控制由矩阵λ决定.当误差测度s(t)更小,整体控制稳定性更好.

为了减小稳态误差,对传统滑模控制函数进行改进,在式(8)中加入积分项,即非线性积分滑模控制方程式为

(9)

式中:μ=diag(μ1,μ2,…,μn)为对角正定矩阵.g(e)定义函数如下:

(10)

式中:β为设计参数.

因此,式(1)可以变换为

Ms′=M[e″+λe′+μg(e)]=

M[qd″+λe′+μg(e)]-

Mq″=y(x)-Cs-τ+Td

(11)

式中:

对于n关节机械臂动力学方程,其自适应控制法则[12]为

(12)

τs=-Kssgn(s)

(13)

式中:Ks=ε0+τd.

由式(6)、式(11)和式(12)得

(14)

将自适应控制法则(12)应用于动力学方程(1),可以分别得到估计值M(q),C(q,q′),G(q)和F(q′):

(15)

采用滑模控制补偿器(13),在线RBF自适应更新法则为

(16)

式中:φw,φc,φd为正对角矩阵;ki为适应率.

3.2 控制系统稳定性分析

机械臂闭环控制系统如图3所示,根据李雅普诺夫候选函数[13]可知

(17)

因此

V′(t) =-sTKs+sT(ε+Td)-s(ε0+τd)+

(18)

根据机械臂运动特性[8]可知

(19)

(20)

所以

(21)

选择K和s满足以下不等式:

(22)

则V′(s)≤0.

因此,根据李雅普诺夫判别定律可知,RBF神经网络算法非线性积分滑模控制系统是稳定的.

4 误差仿真及分析

本文以双关节机械臂为研究对象,采用Matlab软件对机械臂运动轨迹的跟踪误差进行仿真验证.机械臂运动仿真参数设置如下:机械臂期望运动轨迹为q1=q2=0.5cos(πt),初始条件为q(0)=[0 0]T,滑模控制参数为K=diag{25,25},λ=diag{6,6},φw=diag {15,15},外界干扰参数为τd1=τd2=0.8cos(πt),机械臂关节参数为l1=1.8 m,l2=1.2 m,m1=3 kg,m2=2 kg,g=10 m/s2,仿真时间为t=4 s.在无外界因素干扰的情况下,机械臂运动轨迹跟踪误差分别采用RBF神经网络算法非线性积分滑模控制和PID控制，仿真结果如图4所示.在外界不确定因素的干扰情况下,机械臂运动轨迹跟踪误差分别采用RBF神经网络算法非线性积分滑模控制和PID控制，仿真结果如图5所示.

由图4仿真结果可知:在无外界干扰情况下,机械臂采用RBF神经网络算法非线性积分滑模控制产生的最大误差为0.45×10-3rad,机械臂PID控制产生的最大误差为0.55×10-3rad,两者差别不大.但是,采用PID控制输入力矩波动幅度较大,机械臂抖动现象相对严重.因此,采用RBF神经网络算法非线性积分滑模控制方法较好.由图5仿真结果可知:在外界干扰情况下,机械臂采用RBF神经网络算法非线性积分滑模控制产生的最大误差为0.45×10-3rad,机械臂PID控制产生的最大误差为2.2×10-3rad,两者差别较大.同时,采用PID控制输入力矩波动幅度更大,机械臂抖动现象特别严重.综合比较可知,机械臂采用RBF神经网络算法非线性积分滑模控制方法,能够避免外界因素的干扰,从而实现机械臂运动轨迹的精确定位.

图4 机械臂角位移和力矩仿真结果(无外界干扰)Fig.4 Results of angular displacement and moment simulation of mechanical arm(no external interference)

图5 机械臂角位移和力矩仿真结果(有外界干扰)Fig.5 Results of angular displacement and moment simulation of mechanical arm(external interference)

5 结语

本文研究了机械臂RBF神经网络算法非线性积分滑模控制方法,建立了两关节机械臂运动简图,给出了机械臂运动的几何参数,分析了RBF神经网络算法结构参数,推导了机械臂RBF神经网络算法非线性积分滑模控制方法.同时,对机械臂运动的稳定性进行了证明.在Matlab软件中对机械臂轨迹跟踪误差进行仿真,并且与PID控制方法进行了对比.仿真结果显示，在外界不确定因素干扰的情况下,机械臂采用RBF神经网络算法非线性积分滑模控制方法,不仅运动轨迹跟踪误差较小,而且还能降低机械臂在轨迹踪过程中的抖动幅度.

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