采用混合算法优化的并联机械臂能量消耗与误差仿真研究

陈丽敏,孟令新,王大镇

(1.长春职业技术学院 工程技术分院,长春 130033; 2.新乡职业技术学院 数控技术系,河南 新乡 453006;3.集美大学 机械与能源工程学院,福建 厦门 361021)

机械臂类似于人的手臂,是机器人主要执行机构.机械臂应用非常广泛,不仅应用在传统的加工制造业中,而且在海洋探测、宇宙探索中也有其身影[1].机械臂运动涉及机械、电子及控制等多方面学科.机械臂属于非线性和强耦合机械动力学系统,要达到较高的定位精度,不仅需要较好的控制方法,也需要合理的设计机械臂几何参数.目前,机械臂正在向人工智能方向发展,在代替人类手工劳动时,也消耗了大量能量.因此,研究机械臂能量消耗问题,对于节约资源、保护环境具有重要的意义.

随着机械臂技术的改进,产生了大量的研究理论和方法.例如:文献[2]针对飞机结构件加工设计了并联机器人,建立其动力性模型,利用弹簧自重优化机构参数,从而平衡了并联机械臂驱动力;文献[3]对煤炭采样机械臂传动系统优化进行了研究,并用Matlab和ADAMS进行联合仿真,从而降低了机械臂质量,提高了传动系统的平稳性;文献[4-5]采用遗传算法优化RBF神经网络,将优化后的RBF神经网络应用于机械臂运动轨迹跟踪控制,从而提高了轨迹跟踪性能.以往研究理论主要集中在机械臂控制精度上,对机械臂能量消耗研究很少,从而造成了能量资源浪费.对此,本文采用混合算法对并联机械臂机构进行参数优化,主要是设计出机械臂的最佳参数,在满足机械臂动力学条件下,消耗的能量最小.在优化过程中,建立了并联机械臂简图模型,采用差分进化算法融合粒子群算法作为优化工具,引用PID控制方法,将优化结果输入到Matlab软件中进行仿真验证,对仿真结果进行相互比较,为并联机械臂运动时的能量消耗研究提供了参考依据.

1 并联机械臂运动分析

1.1 并联机械臂简图

并联机械臂简图模型如图1所示,运动平台如图2所示.

在图1中:αi为主动关节旋转角度;βi为被动关节旋转角度;Ai为基体位置;Mi为运动平台位置;i=1,2,3;r1,r3,r5为主动连杆长度;r2,r4,r6为被动连杆长度;γ1,γ2,γ3分别代表角度BPM1,BPM2,BPM3;P(xm,ym)为末端控制器在坐标系{xyz}中的位置.

AiBiCi为每个基体到平台的关节位置,每个关节的位置由笛卡尔坐标x和y定义,驱动关节A1,A2,A3的旋转角度分别为θ1,θ2,θ3.

图1 并联机械臂简图模型Fig.1 A schematic model of parallel manipulator

图2 机械臂的运动平台Fig.2 Manipulator platform

1.2 齐次变换矩阵运动方程式

根据DH方法[6],结合图1,并联机械臂逆运动学方程式如下:

(1)

式中:bxi=nicosγi;byi=nisinγi;φ为运动平台与x轴之间夹角.

式(1)的逆运动学解给出如下:

(2)

式中:

机械臂每一个主动连杆都可能产生“+”或“-”的解,因此,并联机械臂会产生8种逆运动学解或者运动模式,如图3所示.

图3 并联机械臂8种运动模式Fig.3 Eight motion modes of parallel manipulator

根据齐次变换矩阵[7]可知,连杆ri角速度方程如下:

(3)

式中:

点Ai为固定点,其线速度为0.但是,点Ai局部线速度矩阵为

(4)

2 优化目标

2.1 设计变量

并联机械臂能量的消耗主要转换为连杆运动的动能,而连杆的动能主要与连杆质量、连杆长度、平台质量及平台半径有关.

机械臂连杆质量求解公式为

(5)

式中:di为连杆横截面直径;ri为连杆长度;ρi为材料密度.

机械臂平台质量求解公式为

(6)

式中:dmp为横截面直径;rmp为平台长度;ρmp为材料密度.

假设连杆的长度和平台的长度已知,则机械臂优化设计变量参数为X=[d1,d2,d3,d4,d5,d6,dmp].

2.2 目标函数

优化目标为并联机械臂主动执行器能量消耗,其计算公式为

(7)

式中:t为连杆运动时间;PT为瞬时电功率.

瞬时功率PT的求解公式为

(8)

式中:Ia为电机电流;Ve为电机电压;Ra为电枢电阻;La为电枢电感.

优化的目标是使机械臂执行器消耗的电能最小,电能消耗计算公式为

最小化

(9)

2.3 约束条件

机械臂连杆关节运动角度必须满足以下约束条件[8]:

(10)

机械臂连杆和平台横截面积直径必须满足以下约束条件:

(11)

3 混合算法

3.1 差分进化算法

差分进化算法和遗传算法相似,包括变异、交叉与选择操作,具体过程如下:

(1) 变异操作.假设种群中的个体为xi,经过变异后生成新的个体为vi,则vi表达式[9]为

vi=xi+F1(gi-xi)+F2(xr1-xr2)

(12)

式中:i∈[1,2,…,N];r1,r2∈[1,2,…,N];N为种群大小;F1,F2为缩放因子.

(2) 交叉操作.将变异后的个体vi与原来个人进行交叉操作得到新的个体[9]为

(13)

式中:q为随机数,q∈[0,1];λ为交叉概率因子;jq为随机整数,jq∈[0,D],D为粒子维数,可以确保ui中至少有一维来自变异个体vi,避免与父代个体xi相同.

(3) 选择操作.差分进化算法通过比较ui和xi,选择出较优值进入下一次迭代中.

3.2 粒子群算法(PSO)

粒子群算法通过移动每个个体粒子来搜索空间内的最优解,每个粒子都具有速度和位置两个属性.粒子速度vi,j根据个体最优值和全局最优值进行不断的更新,其更新迭代公式[10]为

式中:i=1,2,…,N;j=1,2,…,D;N为种群大小;D为粒子维数;ω为惯性权重,ω∈[0,1];c1,c2为学习因子,c1,c2∈[0,2];q1,q2为随机数,q1,q2∈[0,1].

为了平衡局部、全局搜索的能力,采取线性方式修改惯性权重系数ω:

(16)

式中:ω0为初始权重;ω1为最终权重;k为当前迭代次数;Tmax为最大迭代次数.

3.3 混合优化算法

根据以往研究经验,对不同算法进行融合,取长补短是解决优化问题的有效方法,特别是在复杂问题优化中表现得更加明显.对此,本文采用差分进化算法融合粒子群算法,具体操作过程如下.

(1) 对种群大小N进行初始化.

(2) 随机选择两个与个体xi的互不相同的个体xr1,xr2,采用差分进化算法变异方式生成个体pi,

(17)

式中:F1,F2为缩放因子.

(3) 将pi输入到PSO速度更新迭代式(15)和式(16)中,从而更新粒子在t时刻的位置xi(t).

(4) 更新当前个体最优值pi与全局最优值g.

(5) 对当前全局最优值g采取差分进化算法进行操作:

(18)

若g′适应值f(g′)优于g的适应值f(g),则g′置换g,否则返回(2)中.

采用混合优化算法对机械臂运动参数进行优化,初始条件设置:种群大小为300,最大迭代次数为1 000,初始权重为ω0=0.90,最终权重为ω1= 0.4,学习因子为c1=c2=2,随机数为q1=q2=1,交叉概率为0.02,变异概率为0.75,优化后的横截面积直径如表1所示.

表1 机械臂连杆与平台横截面直径优化值Tab.1 Optimization value of cross section diameter ofmanipulator connecting rod and platform mm

4 机械臂PID控制及仿真

4.1 PID控制

PID控制是当今经典的控制方式,主要由比例、积分和微分3个部分组成,其控制微分方程式[11]如下:

(19)

式中:u(t)为控制对象的输出信号;e(t)为输出与输入之差信号;Kp,Ki,Kd分别为比例增益系数、积分增益系数及微分增益系数.

本文采用经典的PID控制对机械臂进行动力学控制,其控制方式如图4所示.

图4 机械臂动力学PID控制Fig.4 Manipulator dynamic PID control

4.2 能量与误差仿真

假设并联机械臂各连杆长度为15 cm,运动平台为等边三角形,其边长为8 cm,运动平台各连杆长度为5 cm,材料密度ρ=2.7 g/cm3,机械臂运动轨迹为x=10cos(πt/2),y=10sin(πt/2).假设机械臂在运动模式1条件下,根据PID控制方法,将机械臂优化数据导入到Matlab软件中进行仿真,并联机械臂主动连杆能量消耗如图5所示,被动连杆运动轨迹跟踪误差如图6所示.其他7种运动模式条件下仿真结果与运动模式1相似,本文不再作仿真验证.

根据图5仿真曲线可知:在相同运动模式状态下,优化前,主动连杆运动所需要功率不稳定,消耗能量大;优化后,主动连杆运动所需功率相对稳定,消耗能量小.根据图6仿真曲线可知:在执行相同的轨迹跟踪任务时,优化前,被动连杆运动轨迹所产生的误差大;优化后,被动连杆运动轨迹产生的误差小.因此,综合比较可知,采用混合算法优化后的并联机械臂连杆机构,在相同的控制条件下,不仅能够节约能量,而且提高了运动精度.

图5 运动模式1条件下各主动连杆能量消耗Fig.5 The energy consumption of each active link under the condition of motion mode one

图6 运动模式1条件下各主动连杆轨迹跟踪误差Fig.6 The trajectory tracking error of each active link under the condition of motion mode one

5 结论

(1) 应用了混合算法优化了并联机械臂几何参数,并对能量消耗进行了仿真.改进了单一算法的缺点,从图5仿真结果看出混合算法优化后的能量消耗有所降低.

(2) 从图6可以看出优化后的并联机械臂运动轨迹追踪精度要优于优化前,改变了传统方法的不足.

(3) 对于其他7种运动模式,同样可以降低能量消耗,提高轨迹追踪精度,也可以将混合算法优化方法应用于其他机械领域优化问题中.

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