平面3自由度并联机构滑模变结构控制研究

郭 燕,王 琰,恽奕翀

(南京科技职业学院 电气与控制学院,南京 210048)

并联机构(Parallel Mechanism)是一种由大于或等于两个独立支链连接动平台和定平台的闭环机构.相对于传统的串联机构,并联机构具有多维运动空间、承载能力高、结构刚度强、高精度和易于动态控制等优点,在高精密并联机床、生物工程、机器人、承重机构学等领域得到了有效应用和广泛研究[1-2].相对于多自由度的并联机构,3自由度并联机构(3-DOF Parallel Mechanism)对称性强,结构简单易实现,控制求解简便,使其在整个并联机构构型分析的研究占40%左右.平面3自由度并联机构是应用最多的一种平面并联机构构型,占3自由度并联机构应用的一半左右[3].平面3-RRR并联机构可以达到较大的运动行程,适用于宏微相结合的控制领域,应用前景广泛.但是由于并联机构存在运动间隙和摩擦磨损,导致其控制精度降低,运动误差增加,因此如何提高平面3-RRR并联机构的运动精度依然是学者们亟待解决的问题[4].文献[5]基于正运动学理论,研究了平面并联机构的奇异性和非线性的问题,为平面并联机构的控制研究奠定了基础.文献[6]通过对平面3-RRR并联机构运动杆件的有限元分析,基于机构运动学的控制规律,采用压电陶瓷(PZT)对机构的运动杆进行了控制研究.文献[7]研究了一种基于平面3-RRR并联机构的定位平台,通过Matlab和Labview设计闭环控制系统,控制精度得到了一定的提高.文献[8]以平面3-RRR刚性并联机构为研究对象,基于机构自激振动理论,并采用整形信号对机构的电机进行仿真和控制研究.文献[9]基于平面3-RRR柔性并联机构,采用非线性PD算法同步补偿电机的摆动,有效控制了机构的自激振动.为减小平面3-RRR并联机构的运动误差,本文设计了一种基于低通滤波器的滑模变结构控制(Sliding Mode Control,SMC)算法,并对机构的位移轨迹跟踪误差进行了仿真分析和实验研究,有效改善了机构的控制精度.

1 3-RRR并联机构模型

1.1 机构描述

平面3-RRR并联机构可以实现两平移一转动的运动特性,即沿X,Y轴的平移和绕Z轴的转动,其机构如图1所示.平面3-RRR并联机构主要由动平台ABC、定平台PQR和3条对称的运动支链构成,动定平台是规则的等边三角形,每条支链都由3个转动R副组成,并通过转动R副与动定平台相连接,实线表示机构运动的初始位置,虚线表示机构运动后的实际位置.为了便于后续的动力学建模分析和计算,在定平台PQR建立静坐标系o-xy,在动平台ABC建立动坐标系O-XY,其中o与P点重合,O为等边ΔABC的中心.

假设等边ΔABC的外接圆半径为R,等边ΔPQR的外接圆半径为r.动平台ABC的一边AB与x(X)轴的初始夹角为ψ,动平台的转动惯量为Jd,质量为md.杆件PD,QE和RF与x(X)轴的夹角分别为θ1,θ2,θ3,杆长分别为a1,a2,a3,质量分别为m1i,质心坐标分别为(X1i,Y1i),θ1,θ2,θ3为机构运动的输入角.杆件DA,EB和FC与x(X)轴的夹角分别为φ1,φ2,φ3,杆长分别为b1,b2,b3,质量分别为m2i,质心坐标分别为(X2i,Y2i),其中i=1,2,3.

1.2 机构动力学分析

建立机构的动力学方程不仅是机构动力学分析的基础,而且是机构运动轨迹跟踪控制的重要组成部分.对于并联机构的动力学建模,常用的分析方法有L法(Lagrange Formulation)、L-D法(Lagrange-D’Alembert Principle)、N-E法(Newton-Euler Formulation)和微分几何法.由于拉格朗日法采用广义坐标来描述机构的动能和势能,无需求解速度和加速度等变量,即可得到表示机构动能、势能和广义力关系的独立运动方程.考虑到平面3-RRR并联机构的特性,本文采用拉格朗日法来求解其动力学方程.为了便于分析和建模,提出如下假设：① 忽略各杆件运动副的摩擦和杆件的弹性变形;② 机构各杆件的质量均匀分布,约束力为理想约束力;③ 将各转动R副的质量集中于杆件质心.

图1 3-RRR并联机构示意图Fig.1 Diagram of 3-RRR parallel mechanism

拉格朗日方程的表达式为

(1)

式中：L=T-V,T为系统动能,V为系统势能;τi为机构各杆件的广义驱动力.由于平面3-RRR并联机构的在Z轴方向仅存在转动,没有移动.因此,机构的系统势能V=0.式(1)简化为

(2)

由于平面3-RRR并联机构的对称性,本文取其中的一条支链PDA为研究对象,根据矢量约束关系式可得

(3)

化简为

(4)

式中：坐标(xMi,yMi)分别为点P,Q,R的坐标;坐标(xO,yO)为中心点O在静坐标系o-xy中的相对坐标,i=1,2,3.

根据质心坐标的几何关系,可得杆PD和杆DA的质心坐标关系式为

(7)

式中：J1i为杆PD的转动惯量;J2i为杆DA的转动惯量.

动平台的动能为

(8)

杆件的动能为

(9)

则机构的总动能为

(10)

对式(10)进行求导,可得

将式(11)和式(12)代入式(2)化简可得

(13)

可将式(13)表示成简化形式的拉格朗日方程[10]：

(14)

2 SMC系统设计

2.1 控制器的设计

SMC可以在线实时修正机构的不确定参数,且对外界摄动不灵敏,可用于非线性系统.但是由于并联机构系统的滞后和惯性,会形成控制系统的不连续开关特性,使得在控制信号上叠加一个锯齿信号,造成抖振现象,从而影响机构的轨迹跟踪精度.本文在传统SMC的基础上,通过在控制器的输出端引入低通滤波器,可以平滑滤波控制信号,有效消除控制信号中的高频信号,从而系统削弱抖振.

假设系统的实际位移信号为q(t),理想位移信号为qd(t),则系统的位移误差信号为

(15)

选用的滑模函数为

(16)

式中：Λi=diag(λi1,λi2,…,λin),i=1,2,j=1,2,…,n.

设计的Lyapunov函数为

(17)

对式(17)求导,可得

(18)

采用低通滤波器的函数表达式为

(19)

式中：λi>0,本文取λ1=λ2=λ3=25.根据控制中框图滤波器与输入输出信号前后的关系,可得

(20)

式中：Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).将式(20)代入式(14)可得

(21)

将式(21)代入式(18),可得

(22)

则有

(23)

因此,式(23)可表示成

(24)

为更好地削弱抖振,将符号函数sgn(s)取代双曲正切函数tanh(s).所以本文设计的控制律为

(25)

(26)

(27)

式中：ξi≥0,i=1,2,…,n.则式(24)化简为

(28)

由式(28)可知,基于低通滤波器的SMC满足滑模控制的三大要素,且控制器是稳定的[11].

2.2 控制系统总框图

并联机构控制系统设计的常见策略是：利用SimMechanic的接口作用,将三维建模好的机构实体导入Matlab软件中,生成Matlab可识别的控制模型;然后在仿真模型中添加对应的检测、时钟、显示和驱动等模块,建立并联机构的控制系统.但是,由于并联机构是一个耦合性较强的非线性系统,若采用传统的控制系统设计方法,机构的某些特征不能被精确地转换为Matlab仿真模型,使得系统的控制效果降低.System Function(简称S-Function函数)是Simulink机构控制系统仿真特有的模块,可以根据用户求得的机构动力学方程,来编写控制系统的控制对象程序.本文采用S-Function函数编写机构的动力学方程和系统的控制律,使并联机构的控制模型更接近机构的实际情况.

平面3-RRR并联机构的控制系统总框图如图2所示.图中,S-Function1为第2节建立的机构动力学方程,S-Function为系统的滑模控制器,Transfer Fcn为低通滤波器,Desired为系统的理想输入信号,Clock为计时器,Mux为信号拟合器,Derivative为微分器,ut,tol,qd和y分别是滤波前、滤波后、理想位移和实际位移信号.

3 控制仿真

由图3和图4可知,系统在滤波器前端的信号抖振十分剧烈,信号重叠现象非常明显,经低通滤波器将高频抖振信号处理后,信号重叠现象得到了显著改善.由图5～图8可知,对比于未添加滤波器的条件,系统在添加滤波器的状态下运动更加平稳,系统的位移轨迹跟踪精度更高,且随着滤波的进行系统的轨迹跟踪误差逐渐减小,控制效果更佳,添加滤波器的滑模控制稳定性较好,在响应速度方面较优.

图2 控制系统总框图Fig.2 Block diagram of control system

图3 滤波前信号Fig.3 Pre-filter signal

图4 滤波后信号Fig.4 Filtered signal

图5 未添加滤波器的位移跟踪曲线Fig.5 Displacement tracking curve without filter

图6 添加滤波器的位移跟踪曲线Fig.6 Displacement tracking curve with filter

图7 未添加滤波器的位移跟踪误差曲线Fig.7 Displacement tracking error curve without filter

图8 添加滤波器的位移跟踪误差曲线Fig.8 Displacement tracking error curve with filter

4 结语

基于3-RRR并联机构模型,采用拉格朗日法得到了机构的动力学方程,为控制系统仿真提供了参考控制对象.基于S-Function函数建立了系统的控制框图,并对机构添加滤波器前后的位移跟踪误差进行了仿真分析和实验研究.仿真结果表明,添加滤波器的SMC控制器可以达到并联机构轨迹跟踪误差小的要求,且响应速度快.相对于未添加滤波器的情况,其具有鲁棒性强和跟踪精度高的优点,为并联机构的控制策略研究提供了一种参考方案.