基于B样条曲线的配气机构凸轮优化与仿真

王亚茹,李 静

(1.吉林工程职业学院 机电工程学院,吉林 四平 136001; 2.长春理工大学 机电工程学院,长春 130022)

发动机主要包括两大机构和五大系统,而配气机构是两大机构之一,主要完成吸气、压缩、做功和排气4个过程[1].随着发动机转速的提高,配气机构运动的磨损和振动噪声也在加剧[2],为了延长发动机的使用寿命,对配气机构整体设计要求也越来越高.配气机构通常由凸轮驱动挺柱进行运动,凸轮轮廓设计的好坏直接影响发动机的综合性能.虽然配气机构结构形式受到发动机整体构造的限制,但是对凸轮轮廓型线的研究还有很大的改进.因此,针对凸轮轮廓型线的研究已经成为配气机构改进的趋势.

传统的配气机构存在气门间隙,当发动机转速提高时,凸轮与挺柱之间会发生飞脱现象,从而产生噪声.为了改善噪声现象,许多研究人员对凸轮轮廓设计展开了研究.例如:文献[3]研究了配气机构凸轮轮廓多目标优化模型,分析了配气机构凸轮轮廓设计要求,构造了多目标优化数学模型,采用Matlab软件编写多目标优化设计程序,结合具体实例进行了仿真,改善了挺柱运动的平稳性.文献[4]研究了提高发动机功率的凸轮型线,分析了从动件运动规律,根据从动件的运动规律设计凸轮轮廓曲线,采用Matlab软件对其进行校核,从而提高了发动机工作功率.文献[5]研究了配气机构跳动问题,建立了凸轮机构模型,采用AVL EXCITE TE软件对凸轮型线进行优化,改善挺柱升程丰满系数,降低凸轮与挺柱接触力,从而解决了气门跳动问题.但是,以往研究的凸轮轮廓在发动机高速运动情况下,挺柱运动精度较低、噪声较大.对此,本文以配气机构运动简图为研究对象,分析凸轮运动变量,定义凸轮轮廓的B样条曲线,确定设计变量并且构造优化目标函数,引用改进粒子群算法对B样条曲线进行优化,将优化结果参数输入Matlab软件中进行动力学仿真,并与优化前仿真结果进行比较,为深入研究配气机构运动的可靠性提供了理论依据.

1 配气机构模型

配气机构简图如图1所示,凸轮轴、摇臂和配气阀均采用刚体.凸轮依据滚子从动件设定一个冲程.当挺柱和摇臂接触,摇臂则绕着枢轴旋转并打开配气阀门.配气阀连接到气门弹簧上从而保证阀门的所有部件均保持接触.配气机构运动接触损失分别发生在凸轮和挺柱之间,对噪声和两个部件之间的应力有很大的影响,应该避免.

本文选择了多体系统的常微分方程,可以表示不同的状态事件.考虑一个系统S={Si}对于i=1,2,…,m,其中模式Si的特征如下:

Si是一组由变量y(i),z(i)和p组成的变量

图1 配气机构简图Fig.1 Schematic diagram of gas distribution mechanism

集,其中y(i)和z(i)是状态变量,依赖于设计参数p和时间t,p和t均是自变量.

常微分方程是一组在时间区间[t0(i),tf(i)]中进行数值积分的.配气机构模型的常微分方程是依据凸轮轴、摇臂中心和主轴等刚体之间不同的接触条件分别设定的,用质量矩阵M来表示.通过设置相应元素之间的接触刚度、阻尼刚度矩阵C和阻尼矩阵D,接触损失被认为是零.若凸轮和挺柱接触,凸轮挺柱应当施加一个激振力F,多体系统的常微分方程[6]如下:

为实现从模式i到模式j的转换,设定了事件函数Ej(i)(z(i)′,z(i),y(i),p,t)以及转换函数:

z(j),y(j),p,t)=0

(3)

如果条件Ej(i)=0在模式i的微分方程的积分中成立,则积分停止并开始在模式j中积分,其中t0(j)=tf(i).传递函数将模式j中的变量与模式i中的变量联系起来,并为进一步的积分设置初始条件.

2 凸轮轮廓设计

在实际工作中,凸轮轮廓曲线根据不同的设计,对凸轮升程、速度和加速度的设定也是不同的.本文采用B样条曲线函数设计凸轮轮廓曲线,由于控制点的两个坐标都是设计变量的一部分,故其具有灵活性.该样条曲线函数的选择简化了确定设计变量的图形化和设计变量与多体系统的激励函数之间依赖关系过程.该函数的另一个优点是控制点的坐标可以按比例控制,此有利于优化算法的实现.此外样条曲线函数的个数s可以轻易增加,同时通过控制相邻样条函数的控制点间的相关性,对样条曲线函数(如平滑函数和可微函数)中连接点的约束也方便实现.

定义1λ∈[0,1],n阶伯恩斯坦多项式[7]中第i项可定义为

(4)

有效伯恩斯坦多项式为

(5)

曲线在平面的参数表示是基于特征和伯恩斯坦2阶多项式在空间向量中的线性叠加Bb2(λr),其中3个控制点Prb=(xrb,Arb)Tb确定了样条曲线函数r=1,2,…,s的线性因子.样条曲线函数的一条线段ar(λr)所描述的凸轮加速度曲线是由B样条曲线确定的[8]:

(6)

式中:xrb为横坐标值(基于角度的);Arb为控制点在加速度轴上的数值.

控制点的x轴坐标满足以下关系:

x(r-1)2=xr0,x00

<…

(7)

3 优化目标函数

3.1 目标函数

3.1.1设计变量

凸轮轮廓设计中使用的控制点Prb的集合引入了阀门运动的一个简单参数化过程.由于代表性控制点选择的灵活性,任何连续的设计都可以通过正确的控制点设置来确定.因此,本文选择坐标作为优化的设计变量.

3.1.2目标函数

优化目标函数f(p)的设计主要是改善气阀门运动的流体动力学特性,通过在阀门升程下区域的最大化来实现的,将进气阀开启时间和阀门关闭时间之间的阀门运动相结合,而不依赖于设计变量的数值,优化目标函数为

(8)

满足于

(9)

式中:f为目标函数;p为设计变量;z和y为多体系统的状态变量;hd为等式约束;gl为不等式约束.

3.1.3约束条件

(1) 工作凸轮轮廓tend末端凸轮的速度vc和升力lc必须等于零，

h1(p)=vc(tend)=0

h2(p)=lc(tend)=0

(10)

(2) 在从动件接触点的凸轮轮廓负半径Rc不得大于负制造半径RF，

s=RB+RF+S

Rc=min(0,R)

g1(p,t)=Rc+RF≤0,t∈[0,tend]

(11)

式中:RB为凸轮基圆半径;S为凸轮升程,且基于角度.

(3) 凸轮和凸轮从动件之间的接触应力受限于材料磨损特性,从Hertz方程[9]可得到平行圆柱体之间的接触力.同时接触应力的求得必须考虑凸轮与从动件之间的法向力fc、凸轮和凸轮从动件材料E的平均弹性模量值,以及接触宽度w:

g2(y,z,p,t)=

t∈[0,tend]

(12)

式中:c2为用户确定的允许接触应力值.

(4) 系统动力学的另一个指标是在弹簧线圈上的作用力fs.通过采用以下约束条件来限制线圈之间碰撞的弹簧线圈振动:

g3(y,z,p,t)=fs-c3≤0,t∈[0,tend]

(13)

式中:c3为弹簧残余应力.

(5) 跳变现象会使配气机构在工作中产生动态问题,例如阀门浮升.因此,凸轮与从动件之间的接触损失必须限制在一定范围之内:

g4(y,z,p,t)=-dc,t∈[0,tend]

(14)

式中:dc为相对位移值.

(6) 必须限制阀门反跳的范围：

(15)

3.2 改进粒子群算法

粒子群算法,也称粒子群优化算法,是近些年开发出的一种新的进化算法[10].粒子群算法根据观察动物集群活动行为,采用群体中个体对信息共享,在问题求解空间中使整个群体运动产生从无序到有序的进化过程,最终获得最优解.在粒子群优化算法中,主要是平衡局部和全局搜索能力.

在凸轮优化过程中,采取惯性权重系数平衡局部和整体搜索能力,粒子群迭代的位置和速度分别为[11]

(16)

(17)

惯性权重系数ω采用线性方式进行修改:

(18)

式中:ω0为初始权重系数;ω1为最终权重系数;iter为当前迭代数;itermax为最大迭代数.

改进粒子群优化算法采用修改约束因子χ的方法,使粒子速度vi+1=χ(vi).修改后的约束因子能够提高粒子群算法的搜索最优值的能力:

(19)

式中:κ值区间为[0,1];χ值区间为[0,1];φ>4.

为了提高粒子最佳的搜索能力,选择约束因子χ与惯性权重系数ω成反比.改进粒子群优化算法速度为

(20)

4 仿真结果及分析

本文采用改进粒子群算法优化凸轮机构,参数设置如下:原始种群数量为100,种群最大迭代次数为500,约束因子为0.46,交叉概率为0.88,变异概率为0.1,κ=1.0,φ=4.5,c1=c2=2,凸轮升程为9.0 mm,发动机转速为10 000 r/min,系统刚度为2 500 N/mm,气门弹簧刚度为25.71 N/mm,系统质量为0.352 5 kg,最小曲率半径为3.62 mm,丰满系数为0.58.改进粒子群优化后的凸轮加速度和对应转角控制点如图2所示.

图2 优化控制点Fig.2 Optimizing control point

采用Matlab软件，对配气机构加速度对应于凸轮转角优化后的控制点进行仿真验证.挺柱加速度如图3所示,凸轮升程变化图如图4所示,凸轮与挺柱的接触力变化图如图5所示.

图3 挺柱加速度Fig.3 Cylindrical acceleration

图4 凸轮升程Fig.4 Cam lift

由图3仿真结果可知:优化后挺柱加速度峰值降低,配气系统振动幅度得到了改善.由图4可知:优化前,凸轮升程最大值为9.5 mm,产生的误差为0.5 mm;优化后,凸轮升程最大值为9.1 mm,产生的误差为0.1 mm,优化后运动误差降低.由图5可

图5 接触力Fig.5 Contact force

知:优化前,在升程过程中,凸轮和挺柱之间的接触力出现零现象,说明凸轮和挺柱出现脱落;优化后,脱落现象得到了控制.综合比较可知,凸轮配气机构采用改进粒子群算法优化后的B样条曲线,能够降低机构振动幅度,避免凸轮与挺柱之间产生飞脱现象,提高机构的运动精度.

5 结语

本文建立了配气机构运动简图模型,分析了凸轮运动动力学特性,采用B样条曲线设计凸轮运动轮廓.确定设计变量,构造了挺柱运动目标函数,对凸轮运动条件进行了约束,引入了改进粒子群算法对B样条曲线进行了优化,得出挺柱运动加速度最优控制点.采用优化B样条曲线设计的凸轮线型后,配气机构运动性能得到了改善,整个配气机构运动精度更高,没有出现飞脱现象,配气机构的振动、噪声也有所下降.

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