遗传算法优化的运动冗余3-PRRR平面并联机械手控制研究

邓小芳,高 锐,孙贵生

(1.贵州省电子信息技师学院 机械制造工程系,贵州 都匀 558000; 2.重庆理工大学 机械工程学院,重庆 401135)

随着工业技术的发展,并联机械手被广泛应用于医疗、工程和航空等各个领域[1-2].并联机械手的冗余一般分为运动冗余和驱动冗余.当机械手的移动性大于所需的自由度时(Degree of Freedom,DOF),即为运动冗余.反之,当机械手中的执行器数目大于移动性时,即为驱动冗余[3].然而,大多数的研究[4-5]都对驱动冗余进行了讨论,在不增加移动性的情况下,机械手控制的执行器多于所需的执行器.近年来,一些关于运动学冗余的研究已经展开[6-7],这类冗余既可以提高机械手的灵活性,又可以扩大机器人的工作空间.此外,通过有效地增加工作空间中的无奇异区域,运动冗余并联机器人被广泛应用于提高轨迹跟踪性能.Wang等[8-9]研究了3种新型运动冗余并联机器人的奇异性,结果表明,与非冗余度机械手相比,无奇异结构得到了明显的改善.Cha等[10-11]提出了一种避免3-RRR机构奇异性的运动冗余分解算法,并确定了给定轨迹处于无奇异区的运动冗余主动移动关节变量的允许范围.大部分研究工作集中在运动学设计、工作空间和奇异性避免等方面,很少有作者研究运动冗余平面并联机器人的受力能力.文献[12-13]提出了一种在不考虑机械手路径情况下,确定3-RPRR机械手受力能力的优化方法,并与非冗余并联机器人相比,取得了更好的效果.对此,为进一步提高3-RPRR机械手的精确控制,减少末端执行器的致动力矩,本文对3自由度运动冗余3-PRRR平面并联机械手进行了运动学分析,基于雅可比矩阵方法确定了各关节力矩的数学模型,为避免运动过程中出现奇点,采用二进制编码遗传算法对直线运动轨迹的机械手进行了致动力矩优化.在Matlab/Simulink环境下对非冗余3-RRR机械手、1-DOKR、2-DOKR、3-DOKR冗余机械手进行仿真和对比分析.仿真结果表明,采用冗余3-PRRR可有效避免奇点处的致动力矩无限大问题,不同自由度下可进一步减小致动力矩的大小,实现并联机械手的平滑轨迹跟踪.

1 3-PRRR并联机构

本文所研究的3自由度运动冗余3-PRRR平面并联机械手可简化为如图1所示的机械手构形.该机构由3条支链构成,每条支链均由3个转动副(R)和1个移动副(P)组成,与基座固连的为驱动转动副,与动平台(末端执行器)相连的为被动转动副.移动副沿着平台上导轨AiOi(i=1,2,3)运动,3个移动副与水平面的夹角用αi(i=1,2,3)表示;最大允许移动范围用ρi表示.3个转动副之间通过驱动连杆l1i(i=1,2,3)和被动连杆l2i(i=1,2,3)相连,长度均为l,两连杆之间的角度用βi(i=1,2,3)表示,驱动连杆与移动副之间的角度表示为θi(i=1,2,3).

图1 冗余3-PRRR机械手构形Fig.1 Configuration of redundant 3-PRRR manipulator

如果点Ai与Oi(i=1,2,3)重合,则该构造为非冗余3-RRR机械手.通过在3-RRR机械手的支臂上添加额外的移动副关节,推导出冗余3-PRRR机构的基本结构.增加的移动副关节可以连接到任意的基关节,运动冗余(1-DOKR)可在一定程度上减少3-RRR平面机械手的直接运动奇异点数[5].因此,在每种情况下,3-RRR机械手的每条分链都增加了一级运动冗余度,分别为1-DOKR，2-DOKR和3-DOKR.增加的运动冗余使机械手能够避免运动奇异,提高操纵性,扩大其可达的工作空间和灵巧度,并且减少执行器靠近基座时重量导致的动态效应.

2 并联机构致动力矩

雅可比矩阵表示了操作空间与关节空间之间速度与力的传递关系,是并联机构性能分析与评价的基础.在分析冗余3-PRRR机械手构形基础上,为避免机械手运动过程中出现奇异点,采用雅可比矩阵方法获得各关节力矩及驱动力矩.

在静态条件下,在机械手转动和移动执行机构的速度已知时,关节力/扭矩与末端执行器之间的关系可表示为

(1)

对于式(1)中指定的末端执行器作用力F,其广义驱动关节力矩/力由下式给出:

(2)

2.1 非冗余3-RRR并联机构雅可比矩阵

首先对3-RRR非冗余并联机构进行了雅可比矩阵求解,在此基础上推导获得3-PRRR冗余并联机构的雅可比矩阵.

机械手雅可比矩阵的速度方程基于输入q=[θ1,θ2,θ3]T(关节位移)和输出x=[x,y,φ]T(末端执行器姿态)变量随时间变化的微分非线性闭环方程f(q,x)=0获得,可表示为

(3)

整体雅可比矩阵J可以表示为

(4)

式中:JX，Jq分别为正雅克比矩阵和逆雅克比矩阵.

在反位移[3]的基础上,考虑图1所示的非冗余3-RRR平面并联机械手的几何结构,通过定义沿远端连杆的单元矢量ni可获得闭环方程.因此,每个运动链都可以得到以下关系:

(5)

对式(5)的两边进行平方并应用余弦定律得

(6)

对式(6)求微分,可以获得以下雅克比矩阵:

(7)

式中:Z为沿z方向的单位向量.

对机械手的3个支柱用矩阵形式表示为

(8)

上述式(8)类似于式(3),表示非冗余3-RRR平面并联机械手的雅克比矩阵.

2.2 冗余3-PRRR并联机构雅可比矩阵

基于3-RRR雅可比矩阵,根据图1可获得3-PRRR运动冗余并联机械手的闭环方程，即

对式(8)关于时间求微分,可以得到以下雅可比矩阵:

(11)

运动冗余机构的所有3个支柱可以用矩阵形式表示为

1-DOKR:

(12)

2-DOKR:

(13)

3-DOKR:

(14)

式(12)～式(14)与式(3)类似,表示冗余3-PRRR平面并联机械手的雅可比矩阵,并对雅可比矩阵进行了维数均质化[11].当运动平台的速度已知时,所建立的方程允许在非冗余和冗余的情况下，计算转动和移动执行机构的速度.

3 遗传算法优化

根据上文得到的关节力矩变化矩阵,从而得到移动关节力矩位置变化.同时,为了能够确定关节最佳运动位置,使得受可变约束的执行器的力矩最小化,本文采用遗传算法来实现最佳运动位置的优化.通过采用遗传算法中二进制编码字符串,以最小容错作为终止准则,以最小化关节力矩作为优化目标,获得最佳的关节运动位置.

最小化关节力矩作为优化的目标,根据第2部分力矩的求解方法,可将其表示为

(15)

关节移动过程中,受到约束主要为机械手各关节连接的连杆之间是否存在轨迹干涉,约束条件可表示为

(16)

式中:ρi,min和ρi,max分别为保证机械手无连杆干涉轨迹的上、下关节极限.

由于关节力矩是关节变量的高度非线性函数,目前,采用二进制编码遗传算法来获得与最小转矩条件相对应的结构.

采用遗传算法具体的优化过程总共分为8个步骤:

步骤1对于给定姿态,定义机械手几何参数;

步骤2定义轨迹;

步骤3从轨迹的初始点开始;

步骤4在边界内生成冗余移动节点随机位置;

步骤5计算固定平台顶点的新坐标;

步骤6用逆运动学计算每点的雅可比行列式;

步骤7在末端执行器上施加扭矩,根据式(14)计算所需的驱动扭矩;

步骤8使用遗传算法优化程序,使函数f(ρ1,ρ2,ρ3)=τTτ最小化;

步骤9重复步骤4到步骤8的过程,直到轨迹完成.

设定算法的控制参数如下:种群大小为100，进化迭代数为200,遗传复制方法为轮盘赌法;交叉率为0.8;变异率随着进化代数的增加从0.1加速增加到0.2.

4 仿真结果分析

为了验证遗传算法优化的冗余3-PRRR并联机械手对关节力矩的优化效果,采用直线轨迹证明优化的有效性,在Matlab/Simulink环境下分别对非冗余3-PRRR并联机械手和冗余3-PRRR并联机械手进行了致动力矩仿真研究,并进行了对比分析,同时，分析了1-DOKR,2-DOKR和3-DOKR机械手的致动力矩大小.

4.1 非冗余3-PRRR并联机械手致动力矩

假设机械手抓取平台从工作空间中心向工作空间边缘做直线移动,即从点(280 mm,150 mm)移动到点(480 mm,150 mm),移动步长为1.0 mm.机械手恒定几何参数为AiAj=500 mm和CiCj=200 mm,l1i=l2i=200 mm和σ=0°.在机械手平台上施加与运动相反方向的恒力为52 N.

非冗余3-RRR机械手恒定工作空间内的直线轨迹和奇异点如图2所示.对应的移动过程中所需的致动力矩如图3所示.

图2 3-RRR联动的工作空间和直线轨迹Fig.2 Workspace and linear trajectory of 3-RRR linkage

图3 直线轨迹的3-RRR机械手致动力矩Fig.3 Actuating torque of 3-RRR manipulator with linear trajectory

可以看出,机械手在移动过程中,从点(405 mm,150 mm)移动到点(480 mm,150 mm)通过奇异位形.理论上,关节扭矩在奇点处达到无穷大.图3在奇点位置关节扭矩为有限值,在-600～450 N·m范围内变化,因为选择的步长为1.0 mm.如果采用更精细的位移步长,当机械手完全处于奇异状态时,计算将失败.从图3中可以清楚地看出,非冗余机械手将无法执行期望的轨迹,其需要在奇异点处获得无限大的致动力矩.

4.2 冗余3-PRRR并联机械手致动力矩

3-PRRR并联机械手基础关节的位移范围为50～100 mm.当驱动节点的位置发生变化时,定向工作空间和奇异点也同时变化,移动关节工作范围的选择方式为:对于移动关节的所有位置,奇异点落在如图2所示轨迹上的相同区域.

采用相同的直线轨迹,获得了1-DOKR冗余3-PRRR机械手的移动关节最优位置和最优致动力矩，分别如图4和图5所示.其中直线轨迹的关节力矩在每一时间步长上最小.

图4 1-DOKR冗余3-PRRR机械手移动关节最优位置Fig.4 Optimal position of mobile joint of 1-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

图5 1-DOKR冗余3-PRRR机械手致动力矩优化Fig.5 Actuating torque optimization of 1-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

在采用1-DOKR结构时,移动关节的最佳位置为50 mm,奇异点处的最佳位置达到最大值100 mm.在奇异点处,基础移动关节的致动力矩变化范围为-200～150 N·m,对比图3和图5可以看出,冗余机械手的关节力矩远低于非冗余机械手,表明致动力矩被进一步优化.冗余机械手在保持可行的驱动关节力矩的同时,很容易通过奇点结构.与非冗余机械手相比,这种避免奇点的能力是使用冗余机械手的主要优点之一.

进一步研究2-DOKR和3-DOKR冗余3-PRRR机械手的移动关节最优位置，如图6和图7所示，对应的最优致动力矩如图8所示.

图6 2-DOKR冗余3-PRRR机械手移动关节最优位置Fig.6 Optimal position of mobile joint of 2-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

图7 3-DOKR冗余3-PRRR机械手移动关节最优位置Fig.7 Optimal position of mobile joint of 3-DOKR redundant 3-PRRR manipulator

分析可知,在采用2-DOKR和3-DOKR结构时,相同位置处移动关节的最佳位置相比1-DOKR发生明显变化,且对应的奇异点由(405 mm,150 mm)变化为(378 mm,150 mm),表明,并联机械手的奇异位形并非固定不变,随着自由度和结构的变化而变化.此外,随冗余度的增大,并联机械手的致动力矩进一步减小,2-DOKR和3-DOKR结构下致动力矩差异较小,最大致动力矩在-30～30 N·m范围变化.与非冗余平面并联机械手相比,致动力矩仅为原来的5.7%,进一步证明了本文提出的基于遗传算法优化冗余机械手的有效性.

图8 冗余3-PRRR机械手致动力矩优化Fig.8 Optimizing actuating torque of redundant 3-PRRR Manipulator

5 结论

针对传统3-RRR平面并联机械手运动过程中存在奇点,导致致动力矩无限大,无法实现平滑轨迹跟着的问题,采用平面3-PRRR冗余并联机械手构形.建立了两种机械手的雅可比矩阵,获得了机械手的驱动力矩.采用遗传算法对关节力矩进行了优化,在Matlab/Simulink环境下对两种机械手直线运动轨迹的致动力矩进行了仿真.结果表明：运动冗余机械手比非冗余机械臂具有更好的性能,冗余机械手执行器所需的最优力矩远低于非冗余机械手.为了避免选择移动节点变量边界的复杂性,本文提出的方法可用灵巧度约束进行扩展.