基于扰动观测器的机床加工误差迭代学习控制

姜魏梁,招瑞丰

(1.长江师范学院 机器人工程学院,重庆 408100; 2.大连机床集团技术中心 数控车床研究所,辽宁 大连 116620)

伴随科技的快速发展以及国际竞争的日趋激烈，制造加工精度水平提升成为当下国家经济发展的重要目标之一.体现制造加工精度水平的高精度加工机床一直被国外垄断，自主研制高速、高精度加工机床是当前打破国外技术垄断、加速经济发展的重要手段.数控机床具有如下优点[1-2]：① 加工速度快，缩短加工节拍；② 加工精度高，可连续进行生产劳动；③ 能够加工复杂零件.数控机床已广泛应用于汽车、航天、医疗器械、煤矿机械等领域，是国民经济发展的重要组成.在机床加工过程中，加工轨迹跟踪误差是影响加工精度的重要因素，实现机床轨迹跟踪误差的控制显得尤为重要.当机床进给控制系统沿复杂加工面运动时，运动轨迹偏离实际轨迹误差就会增大.因此，研究机床精度控制方法，对于提高产品市场竞争力具有重要意义.

随着数控技术的改进，其加工产品精度要求也随之提高.许多学者对数控机床加工精度控制方法展开了研究.例如：文献[3-4]研究了数控机床进给伺服系统自适应滑模控制方法，给出进给伺服系统数学模型，采用自适应滑模控制器对外部干扰进行补偿，通过仿真验证机床进给控制系统误差跟踪效果，从而提高了机床进给控制系统跟踪精度.文献[5-6]研究了数控机床轮廓误差BP神经网络PID控制方法，分析了单轴伺服系统控制理论，建立轮廓误差数学模型，设计BP神经网络PID控制器，通过仿真验证机床轮廓误差输出精度，降低了机床加工产生的轮廓误差.文献[7-8]研究了数控机床高速进给下的综合控制方法，采用模态滤波器与零相差综合控制方法，根据零极点抵消原理，消除二阶模态对伺服带宽的限制，得到零相位跟踪器，从而降低数控机床高速进给的跟踪误差.但是，机床运动加工轨迹在突然改变时，对产品加工误差较大.对此，建立机床跟踪误差简图模型，给出机床跟踪误差矢量方程式.采用二阶方程式推导机床进给驱动动态特性，在比例微分控制器基础上增加扰动观测器，并对控制稳定性进行证明.采用数学软件Matlab对机床进给跟踪误差进行仿真实验，与改进前跟踪控制误差进行对比分析，为提高机床进给加工误差控制精度提供理论依据.

1 机床跟踪误差

机床跟踪误差是指每个驱动轴的期望位置和实际位置的差值,如图1所示.在机床多轴运动控制系统中,跟踪误差是影响机床加工精度的重要因素.

在坐标系x1Ox2中,采样时刻t处加工零件上点的参考位置由xd=[xd1xd2]T表示,而x=[x1x2]T表示进给驱动的实际位置.每个驱动轴的跟踪误差定义为

(1)

坐标系x1Ox2在xd处,其轴方向矢量为x1和x2,它们分别与参考位置xd相切且正交.因此,跟踪误差矢量ew相对于x1Ox2表示为

图1 跟踪误差平面简图Fig.1 Tracking error plane diagram

(2)

式中:θ为两坐标系的夹角.

2 驱动系统动力学

进给驱动系统的动态特性可以采用二阶方程式[9]表示为

(3)

式中:M=diag(m1,m2);f=[f1f2]T;d=[d1d2]T;F=[F1F2]T;m1,m2为工作台的质量;f1,f2为摩擦力;d1,d2为有界扰动;F1,F2为驱动力.

每个驱动轴由典型的伺服电动机驱动,其动态特性[10]为

(4)

式中:H=diag(h1,h2);C=diag(c1,c2);K=diag(k1,k2);φ=[φ1φ2]T;τ=[τ1τ2]T;i=[i1i2]T;h1,h2为电动机惯性;φ1,φ2为电动机对驱动轴的旋转角度;c1,c2为粘性摩擦系数;τ1,τ2为进给驱动扭矩;k1,k2为扭矩常数;i1,i2为电动机电流.

根据式(3)和式(4)可以推导出

(5)

3 跟踪控制器设计

3.1 反馈控制器设计

尽管有关进给驱动的动力学理想上是二阶线性系统,但实际上它具有若干非线性参数.因此,需要一个非线性控制器,通过选择合适的控制输入将系统动力学转换为线性动力学.利用工业应用中的典型比例微分控制器[11],对系统进行如下变换，得

(7)

控制器输入方程式为

(8)

可以推导出

(9)

变量v设计为虚拟输入,其表达式为

(10)

3.2 扰动观测器设计

式(9)中的未知扰动估计为γp,对扰动观测器进行更新,其方程式[12]为

(11)

式中:zl,ze为位置和速度;zp,zs为位置误差和速度误差;γp为未知干扰;kv1,kv2,kd1,kd2为增益系数.

对于每个驱动轴i,考虑以下Lyapunov函数[13]:

(12)

式中:γqi为干扰观测器估计误差.

从式(9)和式(11),推导出的导数如下:

式中:

(13)

3.3 迭代学习控制

线性定时长单输入单输出迭代学习控制系统,其离散时间形式的输入-输出关系表示为

(14)

式中:t为时间;j为迭代次数;(Pib-1)为稳定模型;xij(t)为控制器输出;vij(t)为控制器输入;λi(t)为外源信号.

迭代学习控制的更新规律公式[14]为

(15)

式中:qi(b-1)和Li(b-1)分别为滤波器和学习函数.

学习函数通过改善控制输入来提高系统跟踪能力,而滤波器用于提高系统在高频不确定性下的稳定性.迭代学习函数的目标是使实际位置与期望位置收敛,关于每个驱动轴定义误差en的元素可以表示为

(16)

4 误差仿真及分析

双轴进给驱动系统如图2所示,为了验证机床双轴进给驱动系统采用扰动观测器的迭代学习控制效果,采用Matlab软件对机床进给驱动系统跟踪误差进行仿真,运动轨迹如图3所示.仿真参数设置如表1所示,x1方向仿真结果如图4和图5所示,x2方向仿真结果如图6和图7所示.

由图4和图5可知:采用PD控制方法,机床进给驱动跟踪误差最大值为2.49×10-2mm;采用扰动观测器的迭代学习控制方法,机床进给驱动跟踪误差最大值为1.36×10-2mm,误差降低了45.4%.对比图6和图7可知:采用PD控制方法,机床进给驱动跟踪误差最大值为2.77×10-2mm;采用扰动观测器的迭代学习控制方法,机床进给驱动跟踪误差最大值为1.62×10-2mm,误差降低了41.5%.同时,驱动轴运动轨迹在拐角处产生的误差最大.因此,采用扰动观测器的迭代学习控制方法,在运动轨迹发生突变的情况下,能够提高机床驱动轴轨迹跟踪精度.

图2 双轴进给驱动系统Fig.2 Dual-axial feed driving system

图3 驱动轴运动轨迹Fig.3 Drive shaft motion track

表1 PID控制系统仿真参数Tab.1 Simulate parameters of PID control system

图4 x1轴方向误差(改进前)Fig.4 x1 axial error (before improvement)

图5 x1轴方向误差(改进后)Fig.5 x1 axial error (after improvement)

图6 x2轴方向误差(改进前)Fig.6 x2 axial error (before improvement)

图7 x2轴方向误差(改进后)Fig.7 x2 axial error (after improvement)

5 结论

针对机床进给驱动轴运动轨迹跟踪误差较大问题,采用扰动观测器的迭代学习控制方法,并对控制效果进行仿真验证,主要结论如下:

(1) 机床进给驱动系统采用传统PD控制方法,其跟踪误差较大,而采用扰动观测器的迭代学习控制方法,其跟踪误差较小.

(2) 机床进给驱动轴运动过程中,在轨迹突变的情况下,往往产生的误差较大,在设计过程中,应该尽量避免.

(3) 该控制器中的扰动观测器能够估计未知的不确定性,在运动轨迹发生突变情况下,对控制系统做出快速反应,降低轨迹跟踪误差.