融合全局逼近与局部精化的协同优化方法

陈 亮, 卢威, 黄亚庆

(福州大学机械工程及自动化学院,福建 福州 350108)

融合全局逼近与局部精化的协同优化方法

陈 亮, 卢威, 黄亚庆

(福州大学机械工程及自动化学院,福建 福州 350108)

针对标准协同优化方法存在对初始点选取敏感、优化结果易收敛于局部最优解等问题,通过对松弛因子法特点的分析,给出了一种综合应用固定松弛因子和动态松弛因子方法,融合全局逼近与局部精化的改进协同优化方法,并将Kriging近似模型引入到改进的协同优化方法中,减小了迭代计算量,提高了优化效率,可快速精确地收敛到全局最优解处.通过汽车盘式制动器的优化设计,验证了本文方法的有效性与稳定性.

多学科设计优化; 协同优化; 松弛因子法; Kriging近似模型

多学科设计优化(Multidisciplinary Design Optimization,MDO)方法是由美籍波兰裔数学家Sobieszczanski-Sobiesk提出的,应用于大规模复杂工程系统的设计领域[1].MDO方法是一种通过充分探索和利用系统中相互作用的协同机制来设计复杂系统的方法[2].

MDO优化算法是多学科设计优化领域的研究热点.常见的MDO优化算法可分为单级优化算法和多级优化算法.多级优化算法中的协同优化(Collaborative Optimization,CO)方法因具有高度的学科自治性、学科组织结构和现有工程设计良好的适应性而引起国内外学者的广泛关注[3-4].

然而CO方法仍然存在一些缺陷,系统级优化中的一致性约束采取等式约束使得系统级在优化过程中很可能不存在可行域.由于Kuhn-Tucker条件中的拉格朗日乘子不存在,或者学科间一致性约束函数在最优解处的Jacobian矩阵不连续,使得协同优化方法中系统级优化不能满足Kuhn-Tucker条件[5].若设计空间非光滑,极易使迭代搜索到局部最优处,这些缺陷使得CO方法在计算时存在收敛困难和对初始点选取比较敏感等问题.

针对上述问题,许多学者提出了改进措施,如基于响应面来接近一致性约束函数[6];在系统级目标函数中引入一致性约束作为惩罚函数项[7];对系统级的等式约束进行松弛,将一致性约束由严格等式约束形式改为不等式形式以及动态改写松弛因子，等等[8-9]，这些方法主要是改变一致性约束的表达形式,其优化结果仍受初始点的影响而表现得稳定性不足或精度不够.为此本文在对动态松弛因子法与固定松弛因子法的特性进行分析的基础上,给出了一种融合全局逼近与局部精化的改进协同优化方法,避免了对初始点选取的敏感,能快速精确地收敛到全局最优解,并以汽车盘式制动器为例,验证了该方法的可行性与稳定性.

1 协同优化方法的改进

由于CO算法中系统级优化中的一致性等式约束造成计算困难,故利用松弛因子法将系统级优化改为[8]:

minF(Z)

(1)

子系统级优化为

(2)

松弛因子ε在选定后在优化过程中保持不变,即固定松弛因子.为了增强学科间的一致性,ε的值越小越好,但过小的ε值会致使系统级可行域过小或不存在,而ε值过大则会失去一致性约束的意义.为此基于学科间一致性信息来动态改写松弛因子ε,此即动态松弛法[9].

(3)

图1 动态松弛因子法几何分析图Fig.1 Geometry analysis of dynamic relaxation factor method

另外,式(3)对一致性信息的定义只适用于各子系统设计向量相同,且子系统个数为2的情况,对于多个子系统且子系统设计变量不相同的情况则不适用,使得基于动态松弛因子的CO方法存在局限性.观察协同优化子系统的目标函数可知,当系统级分配的设计向量期望值越靠近子系统的可行域时,各子系统的目标函数值越小,子系统返回给系统级的优化结果越能满足系统级的一致性等式约束,即各子系统目标函数值反映了系统级优化中一致性约束的满足程度,也体现了学科间一致性情况.故本文将一致性信息定义为如式4所示的各个子系统目标函数值平方根和的均值,式中n为子系统的个数.

(4)

3 基于Kriging近似模型的融合全局逼近与局部精化的CO方法

针对CO方法对初始点选取敏感和易陷入局部优化的问题,SCO方法[10]采用全局和局部两阶段优化,能较好地搜索到全局极值点.该方法全局优化阶段需要根据学科间不一致信息值进行松弛因子的切换,可能会引起目标函数的反复震荡现象,造成计算复杂,不利于求解收敛.基于前面分析,本文提出基于Kriging近似模型的融合全局逼近与局部精化的协同优化方法,该方法融合了双阶段优化的思想,但相比于SCO方法,全局优化阶段与局部优化阶段无须进行松弛因子的切换,减少了迭代次数,利于计算收敛,同时子系统分析中引入Kriging近似模型对复杂的目标函数和约束进行简化,降低了计算复杂度,提高了优化效率.其主要思想如下:

在协同优化求解初始阶段,学科间不一致性信息较大,此时采用较小的固定松弛因子不能保证得到充分的系统可行解,易使优化点从非全局最优附近进入可行域,这也是造成标准CO方法的优化结果对初始点选取敏感的原因.而动态松弛因子法能获得较大的可行范围,避免陷入局部最优.使用动态松弛法寻优到全局极值点附近区域的这一过程称为全局逼近寻优阶段.但由于动态松弛法计算精度不高,为了避免全局逼近寻优误差过大,本文在系统级中增加全体一致性约束条件,如式(5)所示.

(5)

式中：δ为全体一致性系数,一般取[0.8,1).全局逼近寻优后,优化点在全局极值点附近,此时的学科间不一致信息较小,取较小的固定松弛因子能使优化点从全局极值点附近区域迅速进入系统可行域,从而快速精确地收敛到全局最优点,这一过程称为局部精确寻优阶段.融合全局逼近与局部精化的协同优化方法的框架如图2所示.在全局逼近寻优阶段选用粒子群优化算法PSO,利用其不计算函数梯度和全局寻优能力强等特点;在局部精确寻优阶段选用序列二次规划算法NLPQL,利用其优化速度快的特点,又避免了其依赖初始点的选择和易陷入局部解的缺点.另外本文选用Kriging近似模型对于线性和非线性问题都具有较高的近似精度.

图2 融合全局逼近与局部精化的协同优化方法框架图Fig.2 The framework of the proposed CO method

4 汽车盘式制动器实例分析

汽车盘式制动器由制动盘和制动钳机构组成.制动时缸筒中的高压油推动活塞,进而推动衬片与制动盘发生摩擦,将汽车动能转化为制动盘的内能,以便汽车减速制动,图3为浮钳盘式制动器结构图,设计变量及范围见表1.

4.1 学科分析

运动学科1:优化目标为“制动时间t最小”.约束条件包括:油缸内油压p0不超过规定范围[pmax];制动片压力q不应超过规定值[qmax];制动矩不大于车轮与路面的附着力矩.φ为附着系数,给定φ=1,r为轮胎滚动半径;W1为单个车轮承受的总重量,单位N;f为制动盘与制动片间的摩擦因数,取0.38.

结构设计学科2:优化目标为“制动盘和制动片总质量最小”.约束条件包括:制动片的压力不应超过其规定值;制动片不与轮毂发生干涉,Dn为轮毂直径;制动片外径不能大于制动盘的直径;油缸不应与轮毂发生干涉,tc为油缸壁厚;制动盘直径不大于规定的最大值Dmax.

表1 盘式制动器设计变量

图3 浮钳盘式制动器结构图Fig.3 Structure of disk brake

热力学学科3:优化目标为“制动盘温度T最小”.约束条件为制动后制动盘最高温度不超过许用值[Tmax].

minf1(x)=t

minf3(x)=T

minf1(x)=m

tc=5 mm

(6)

4.2 盘式制动器多学科优化设计模型

将盘式制动器的优化设计问题分解为系统级与3个子系统级的结构,其数学模型如下所示:

令{R1,R2,Dp,a,θ,p0,D}={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}

系统级优化:

minf(Z)=24t+4m+0.3T

(7)

子系统优化:J1,J2,J3为3个子系统的目标函数,Z*为系统级分配给子系统的期望值;X1,X2,X3分别是3个子系统的设计变量.

(8)

4.3 基于多学科优化软件iSIGHT的自动优化平台的建立

基于iSIGHT建立了一个融合全局逼近和局部精化的协同优化平台,在学科分析中集成ANSYS有限元分析,有限元模型采用SOLID226的热结构耦合单元.用APDL语言求出全部空间离散点处在每一时刻的温度值,找出最高温度T值,输出给热力学科作为其目标函数值.已知制动盘材料为ZG1Cr13,制动片材料为树脂基复合材料,根据制动器几何尺寸,使用APDL语言求出整个制动器质量m值,输出给结构设计学科作为其目标函数值.

自动优化流程为:①对盘式制动器进行参数化建模;②进行网格划分;③有限元仿真分析;④输出仿真计算结果至优化框架中;⑤对输入的设计变量等相关参数进行优化并判断是否收敛,收敛则输出优化解,否则更新设计变量返回第1步.为了降低子系统分析计算的复杂度,减少优化时间,分别对运动学、结构学和热力学3个子系统采用基于优化拉丁超立方试验设计的取样方法构建了Kriging近似模型.

本文的优化结果与文献[11]的优化结果的对比如表2所示.

表2 优化结果

由表2可知,全局逼近寻优阶段迭代301次后获得逼近全局优化解,将全局阶段的优化结果作为局部精确寻优阶段的初始值进行优化,经过42此次迭代过程得到全局最优解.与文献[10]中采用多学科可行方向法的优化结果对比可以看出,虽然制动器质量m有些许增大,但制动时间t,制动温度T都有改善,其中制动温度T的降低较为明显,说明了本文所提出的方法的可行性与有效性.

5 结语

本文给出了一种融合全局逼近与局部精化的协同优化方法,基于对固定松弛因子法和动态松弛因子法特点的分析,将动态松弛变量法应用于全局逼近寻优阶段,增加全体一致性约束,并选用粒子群优化算法,以获得靠近全局最优解的点,为局部精确寻优阶段提供了良好的初始点.局部精确寻优阶段则采用较小的固定松弛因子,以序列二次规划法NLPQL为优化算法,可快速精确地收敛到全局最优解处.通过汽车盘式制动器的优化实例,验证了该方法的可行性与有效性.

[1] SOBIESZCZANSKI-SOBIESKI J.Multidisciplinary design optimization:an emerging new engineering discipline[C]∥Herskovits J.Advances in Structural Optimization,London:Kluwer Academic Publishers,1995.

[2] WECK OD,AGTE J,SOBIESZCZANSKI-SODIESKI J,et al.State-of-the-art and future trends in multidisciplinary design optimization[C]∥48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference,Reston:AIAA2007:2467-2487.

[3] 刘克龙,姚卫星,余雄庆.几种新型多学科设计优化算法及比较[J].计算机集成制造系统,2007,13(2):209-216.

LIU Kelong,YAO Weixing,YU Xingqing.Same new algorithms for multidisciplinary design optimzation and their comparison[J].Computer lntegrated Manufacturing Systems,2007,13(2):209-216.

[4] BERBECEA A C,GILLON F,BROCHET P.Multi-level design of an isolation transformer using collaborative optimization[J].The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering,2014,33(3):1038-1050.

[5] ALEXANDROV N,LEWIS R M.Analytical computational aspects of collaborative optimization for multidisciplinary design[J].AIAA Journal,2002,40(2):301-309.

[6] JANG B S,YANG Y S,JUNG H.S,et al.Managing approximation models in collaborative optimization [J].Structural Multidisciplinary Optimization,2005,30(1):11-26.

[7] LIN J.Analysis and Enhancement of collaborative optimization for multidisciplinary design.AIAA Journal,2004,42(2):348-360.

[8] ALEXANDROV N,LEWIS R M.Analytical and computational aspects of collaborative optimization[R].In 8th Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization,2000,NASA-2000-210104.

[9] LI X,LI W J,LIU C A.Geometric analysis of collaborative optimization.Structural Multidisciplinary Optimization,2008,35(4):301-313.

[10] 李海燕,马明旭,井元伟,等.一种具有全局稳定性的多学科协同优化方法[J].计算机集成制造系统,2009,15(12):2363-2369.

LI Haiyan,MA Mingxu,JING Yuanwei,et al.Improved multidisciplinary couaborative optimization with global stabilty[J].Computer Lntegrated Mabufacturing Systems,2009,15(12):2363-2369.

[11] 胡文婕,陈亮.基于iSIGHT的汽车盘式制动器多学科设计优化[J].农业机械学报,2010,41(5):17-20.

HU Wenjie,CHEN Liang.Multidisciplinary design optimization for auto mobile biake based on iSGHT[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2010,41(5):17-20.

Collaborative optimization method via global approaching and local precision

Chen Liang, LU Wei, Huang Ya-qing

(College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108)

Due that the standard collaborative optimization method is sensitive to the initial point selection and easily converges to the local optimum, an improved collaborative optimization method is proposed based on the feature analysis via relaxation factor method. By combining global approaching with local precision via the fixed and dynamic relaxation factors, the Kriging approximation model is introduced to reduce iterative computation and improve optimization efficiency for global optimum. Therein, the disc brake is used as a case to illustrate the feasibility and stability of the proposed method.

multidisciplinary design optimization; collaborative optimization; relaxation factor; kriging approximation model

福建省自然科学基金资助项目(2014J01184)

陈 亮(1963-),男,教授,博士.E-maiL:cfjfz@qq.com

文献标志码： A 文章编号： 1672-5581(2016)05-0394-05