基于Ritz法的纤维增强复合薄板阻尼分析与预测

牛 义,刘权利,常永乐,杜欢欢,闻邦椿

(1.东北大学 机械工程与自动化学院,辽宁 沈阳 110819;2.新松机器人自动化股份有限公司,辽宁 沈阳 110819)



基于Ritz法的纤维增强复合薄板阻尼分析与预测

牛 义1,刘权利2,常永乐1,杜欢欢1,闻邦椿1

(1.东北大学 机械工程与自动化学院,辽宁 沈阳 110819;2.新松机器人自动化股份有限公司,辽宁 沈阳 110819)

基于Ritz法,考虑了纤维方向及激励频率的影响,对纤维增强复合材料构成的薄板结构的非线性阻尼参数进行了分析与预测.分别推导了纤维增强复合薄板总的应变能与耗散能的表达式,明确了采用Ritz法获得该结构系统阻尼参数的原理;编写了MATLAB程序,并提出了预测纤维增强复合薄板非线性阻尼参数的流程;以玻璃纤维/树脂复合薄板为例,在不同的纤维方向和激振频率下,对其非线性阻尼参数进行分析与预测,并与测试获得的阻尼结果进行了对比,验证了该分析方法的正确性.

Ritz法; 非线性阻尼; 纤维增强复合薄板; 阻尼分析

纤维增强复合材料是由纤维与基体材料构成的先进复合材料,具有重量轻、比强度高、比模量大、抗振性能好、性能可设计性强等许多优点.随着其在航空、航天、船舶、汽车等领域的逐步推广与使用,其动态性能越来越受到人们的关注.阻尼参数是该类型复合材料及其结构件动态性能中的一个关键指标,是复合材料结构动力学建模、响应预估和优化设计等环节中,必须准确输入的参数.但与传统材料的阻尼机理不同,纤维增强复合材料的阻尼参数呈非线性特点,与纤维取向、纤维/基体的界面条件、外界激振频率、模态振型等密切相关,同时还与结构变形、边界条件、环境温度等因素有关.到目前为止,学术及工程界尚未建立一种完备而有效的非线性阻尼特性分析与预测方法，因此关于阻尼特性的研究还应进一步深入.

目前人们正尝试从纤维与基体相互作用的微观结构、材料的非线性本构方程、非线性几何方程等方面着手,研究该类型结构系统的阻尼耗能机理以及分析方法.在建立微观模型方面,ABOUDI[1]根据体元近似理论,提出了含有4个子细胞的单胞微观模型,并利用该模型获得了硼纤维/树脂、玻璃纤维/树脂和石墨纤维/树脂复合材料的非线性应力-应变曲线.KALISKE等[2]也建立了由一个纤维单元和三个基体单元组成的单胞微观模型,并分析了纤维增强薄板的阻尼特性.在建立宏观模型方面,ADAMS等[3]在1975年首先提出了单向纤维增强复合材料阻尼的宏观力学模型,后来称之为Adams-Bacon阻尼准则.该准则认为在一个单向薄层中所损耗的能量是薄层内径向拉伸、横向拉伸和剪切应力各自独立耗能的总和.因此,复合材料阻尼能力就可定义为损耗能量与储存的应变能的比率.NI等[4]通过考虑对称铺设的复合梁结构的正应力、正应变、剪应变以及弯扭耦合的影响,对Adams-Bacon阻尼准则进行了改进,将复合结构系统的非线性阻尼参数视为纤维材料方向角的函数,提高了阻尼参数的预测精度.YIM[5]基于弹性-黏弹性经典层合板理论,在不同的纤维材料方向角下对该类型复合梁结构的阻尼进行了分析.BERTHELOT[6]考虑了剪切变形的影响,基于有限元法获得了单向纤维铺设的复合梁试件的阻尼参数.研究结果表明：复合材料结构的阻尼性能与纤维的方向角、纤维的铺设形式、振动频率、模态振型等参数密切相关.MAHI等[7]基于有限元法和应变能法建立了具有正交各向异性的玻璃纤维复合梁结构的阻尼模型,利用该模型进行仿真研究发现,不同层叠顺序的复合梁结构在纤维方向为0°和90°时,阻尼性能差别不大,但serge composites和taffeta composites两种层叠铺设方式要比编织铺设方式具有更好的阻尼性能.YOUZERA等[8]利用高阶Zig-zag理论建立了纤维增强复合简支梁的解析模型,引入了非线性频率-幅值和非线性相位-幅值方程,并计算获得了非线性阻尼参数.

另外,国内一些学者和研究人员也对纤维增强复合材料及其结构的阻尼特性开展了卓有成效的研究.李明俊等[9]将各向异性设计引入到纤维增强复合材料结构的分析过程中,以半无限简支板为例,对其阻尼特性进行了分析和计算.分析研究表明:该结构内部柔性层对阻尼的影响要比应力耦合对其影响大得多,且高阶模态会增加结构的阻尼能力.张少辉等[10]应用基于应变能的有限元方法研究了纤维增强层合板的阻尼特性,并通过模态分析方法计算获得了该类型结构的损耗因子.漆文凯等[11]应用耗散能原理建立了复合材料层合板的阻尼模型,考虑了应变能、耗散能和结构模态阻尼的关系,采用有限元法编制了相关的模态阻尼计算程序,并将数值分析结果与试验结果相比较,验证了阻尼计算程序的有效性.

本文基于Ritz法,考虑了纤维方向及激励频率的影响,对纤维增强复合材料构成的薄板结构的非线性阻尼参数进行了分析与预测.首先分别推导了纤维增强复合薄板总的应变能与耗散能的表达式,明确了采用Ritz法获得该结构系统阻尼参数的原理;然后编写了MATLAB程序,并提出预测纤维增强复合薄板阻尼参数的流程;最后以玻璃纤维/树脂复合薄板为例,在不同的纤维方向和激振频率下,对其阻尼特性进行分析与预测,并与测试获得的阻尼结果进行了对比,验证了该分析方法的正确性.本文所采用的方法能够较好地实现对纤维增强复合薄板非线性阻尼参数的预测,可为建立类似结构件阻尼特性分析的方法体系提供参考.

1 纤维增强复合薄板阻尼参数的预测原理

所研究的纤维增强复合薄板是由 层具有正交各向异性特点的纤维和基体材料组合而成的,如图1所示.首先,将其中面作为参考平面,并建立xOy坐标系.a,b,c分别为板的长度和宽度及厚度.每一层位于z坐标轴较低表面hk-1和较高表面hk之间,每层的厚度e均相同.假设纤维方向与x轴的夹角为θ,图中的1代表纤维纵向,2代表纤维横向,3代表垂直于1-2平面的方向.

首先,假设纤维增强复合薄板的纤维纵向弹性模量为E1、纤维横向弹性模量为E2、1-2平面内的剪切弹性模量为G12,纵向应变与横向应变之比的负值为泊松比υ12.平面应力可分为σ1，σ2，σ3，σ12，σ13，σ236个分量，应变可分为ε1，ε2，ε3，γ12，γ23，γ316个分量.由正交各向异性材料平面应力问题的应力和应变关系可知σ3=τ13=τ23=γ23=γ31=0,只有3个应力分量σ1,σ2,τ12不为零.纤维增强复合薄板如图1所示.x轴位于板的中面，zk节k层的下表面z轴坐标，板厚度为h.

图1 纤维增强复合薄板几何模型Fig.1 Geometry model of fiber reinforced composite plate

1.1 总应变能的计算

首先,基于Ritz法获得纤维增强复合薄板振动的位移函数w0(x,y)

(1)

式中:Xm(x),Yn(y)分别为复合薄板在x,y方向的位移函数;Amn为振型系数,可沿x,y方向将薄板分成m,n份.

对于纤维增强复合薄板,其第k层应变能Uk的表达式为

(2)

纤维增强薄板的总应变能U表示为

(3)

对于长度为a,宽度为b的纤维增强薄板,总应变能U在不同方向的应变能可以表示为

(4)

σ1,σ2,σ6与ε1,ε2,ε6的关系为

(5)

式中:σ6=τ12；ε6=γ12;Qpq为刚度系数.在式(5)中,Qpq包括Q11,Q12,Q22,Q66,p,q分别代表矩阵元素所在行、列的位置,即p=1,2,6,q=1,2,6.Q11,Q12,Q22,Q66具体的表达式为

(6)

式中:υ12=υ21.

1.2 耗散能的计算

(7)

(8)

基于Ritz方法,可以获得单层应变能的表示式为

(9)

(10)

(11)

式中：ek为第k层的厚度.

(12)

式中：εxx,εyy,γxy,分别为纤维复合材料在纵向上、横向上及厚度方向上的应变.

接下来获得复合薄板在xOy坐标系中应变的转换方程,该方程可通过纤维复合材料在纵向、横向和薄板厚度方向的应变表示为

(13)

把式(11)—(13)带入(10)化简,可以获得整个纤维增强薄板的总耗散能ΔU,其表达式为

(14)

1.3 纤维增强复合薄板阻尼参数的计算

对于具有正交各向异性特点的纤维增强性复合薄板,可以忽略其剪切变形的影响,其第k层位移与应变有如下关系

(15)

对于不同的边界约束条件,可以获得Xk(x)和Yk(y)不同的表达式.以一端固定、一端自由的复合薄板为例(悬臂边界条件),对于x=0端固定、x=a端自由的纤维增强悬臂薄板,其Xk(x)和Yk(y)的表达式为

(16)

(17)

式中:ki,γi为纤维增强复合薄板对应的位移调整系数和位移平衡系数,与第i阶固有频率对应，ki,γi的取值见表1.

联立式(3)和式(14),可以算出纤维增强薄板的阻尼比ψ

(18)

2 纤维增强性型复合薄板阻尼参数的预测流程

第1部分明确了采用Ritz法获得了纤维增强复合薄板阻尼参数的原理,接下来本文利用MATLAB软件,编写了相应的计算程序,并提出了预测纤维增强复合薄板非线性阻尼参数的流程,可分为如下几个步骤:

(1) 输入复合薄板的几何参数和材料参数 首先,需要给出纤维增强复合薄板的长、宽、厚度、每层厚度及总层数等几何参数,然后,输入纤维和基体在不同方向的弹性模量、泊松比等材料参数,为后续应变能和耗散能的计算做好准备.

(2) 计算获得应变能和总应变能 由式(15)中位移与应变之间的关系式,并分别在式(16)、(17)中对x,y求导,即得纤维增强复合薄板的应变值.由于每层位移函数的系数均不同,则函数表达式得出的应变值也随之不同,故将每一层计算所得应变值带入式(5)中得到应力值,再将两者带入式(4)即得每一层对应的应变能值,将其叠加后即得总应变能值.

(4) 计算获得阻尼比 将基于Ritz法获得的总的应变能值和总的耗散能的值,带入式(18),得出阻尼比.具体预测纤维增强性型复合薄板阻尼参数的流程，如图2所示.

图2 纤维增强复合薄板阻尼参数的预测流程Fig.2 Predicting process of damping parameters of fiber reinforced composite plate

3 实例研究

本文以玻璃纤维/树脂复合薄板为例,对其阻尼参数进行分析与预测.该类型的复合薄板共有8层,每层厚度为0.25 mm,每层具有相同的厚度和纤维体积分数.其整体长、宽、厚尺寸分别为150 mm×100 mm×2 mm其材料参数为E1=29.9 GPa,E2=5.85 GPa,G12=2.45 GPa,ν12=0.24.

为了验证本文计算方法的正确性,搭建图3所示试验系统来获得该复合材料薄板的阻尼参数.通过压电陶瓷激振器对纤维增强复合薄板进行激励,使用激光多普勒测振仪来测试其振动响应,并通过采集控制器对激励信号和响应信号进行实时采集,进而通过自由振动衰减法来获得的阻尼比.最后通过试验获得了纤维方向为0°,45°,90°时复合薄板在100,200,500 Hz 3种不同频率下的阻尼参数.为了便于比较,将测试结果与本文采用Ritz法获得的纤维增强复合薄板阻尼参数一并列入表2中.

通过与测试结果对比可知,基于Ritz法预测获得的阻尼误差最大不超过10%,这就验证了该分析方法的正确性,可以利用该方法实现对纤维增强复合薄板阻尼参数的可靠预测.另外,对比上述阻尼结果可知,纤维增强复合薄板阻尼与激振频率和纤维方向密切相关,在100～500 Hz内,其阻尼参数随着激振频率的增大而增加,随着纤维方向的增加呈现先增大后减小的变化趋势,即纤维方向为0°时阻尼最小,纤维方向为60°时阻尼达到最大值,纤维方向为30°和90°时阻尼结果相差不多.

表2 不同纤维方向和频率下采用Ritz法和测试获得的阻尼比

注：误差=(A-B)/B

图3 纤维增强复合薄板阻尼参数测试系统Fig3 Testing system of damping parameter of fiber reinforced composite plate

4 结 论

本文基于Ritz方法,考虑了纤维方向及激励频率的影响,对纤维增强复合薄板的非线性阻尼参数进行了分析与预测,具体工作包括:

(1) 使用Ritz法推导并计算具有k层纤维增强薄板的应变能及阻尼比,该方法可以在多层复合板及任意纤维角度条件下进行计算.

给出了预测纤维增强复合薄板非线性阻尼参数的具体流程.主要包括输入复合薄板的几何参数和材料参数、获得应变能和总应变能、获得耗散能及总耗散能、计算获得阻尼比等4个关键步骤.

(3) 以玻璃纤维/树脂复合薄板为研究对象,利用Ritz法计算获得了其阻尼参数,并与测试结果进行了对比,验证了该分析方法的正确性,可以利用该方法实现对纤维增强复合薄板非线性阻尼参数的可靠预测.

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Damping analysis on fiber-reinforced composites thin plate based on Ritz method

NIU Yi1,LIU Quan-li2,CHANG Yong-le1,DU Huan-huan1,WEN Bang-chun1

(1.School of Mechanical Engineering & Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China;2.Siasun Robot & Automation CO.,LTD.,Shenyang 110819,China)

In consideration with fiber orientation and excitation frequency via Ritz method,the damping parameters of fiber reinforced composite thin plates are analyzed and predicted.Firstly,the expressions of the total strain and dissipated energies are deduced.Then,the corresponding theoretical principles of damping parameters are further clarified using Ritz method.Next,the process of predicted damping parameters are speculated based on the self-written MatlabTM programs.Finally,by treating the glass fiber composite thin plate as an example,the nonlinear damping parameters are analyzed and predicted under different fiber orientations and excitation frequencies.In addition,the effectiveness and correctness of the proposed method is verified in comparison with experimental results.

Ritz method; nonlinear damping; fiber-reinforced composites thin plate; damping analysis

国家自然科学基金资助项目(51505070);国家自然科学基金(51375079)；国家重大科学仪器设备开发专项(2013YQ470765).

牛 义(1992-),男,工程硕士.E-mail:443145126@qq.com

TB 535

A

1672-5581(2016)02-0162-06