非稳态油膜力的转子－定子－轴承系统碰摩故障研究

刘桂珍，于 影，于 峰，殷宝麟，闻邦椿

（1.佳木斯大学 机械工程学院，黑龙江 佳木斯 154007；2.东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110819）

随着对旋转机械高转速、高效率的需求，转子与定子的间隙越来越小，导致转子和定子之间的碰摩事故经常发生.动、定件碰摩是旋转机械中最常见的故障之一，也是引起机械系统失效的主要原因之一［1］.

目前对于转子碰摩问题的故障诊断研究，在线性领域中己经相对成熟，而在对其非线性现象的描述、合理非线性数值求解模型的建立及高精度求解方法的研究等方面，还尚待努力［2－10］.

本文以转子－定子－轴承系统作为研究对象，建立了非稳态油膜力作用下的转子－定子－轴承系统碰摩故障的4质量8自由度的非线性力学模型，应用数值分析对其进行研究，得出转子系统在激励频率作为唯一控制参数时系统的轴心轨迹图和分岔图，对该系统响应的非线性行为和故障机理进行分析，从而为该类转子系统故障诊断和系统的安全运行提供理论依据.研究结果表明：将转子－定子－轴承系统作为研究对象的4质量8自由度的力学模型比单纯割裂转子系统为“转盘＋转轴”的2质量4自由度模型更接近于生产实际，理论价值尤为明显.

1 模型与运动微分方程

1.1 Lagrange方程描述

设有n个质点组成的质点系，受完整的理想约束，具有N个自由度，其位置可由N个广义坐标方程来确定.则有

式中：L为拉格朗日函数，L＝T－V，T为系统的动能函数，V为系统的势能函数；qi为系统独立的广义坐标；R为与系统的阻尼相对应的耗散函数；Qi为作用在系统上的广义力；N为系统的总自由度个数.

1.2 运动微分方程

图1所示为转子－定子－轴承系统碰摩故障的力学模型.转子两端由2个相同的滑动轴承支承，考虑转子与定子的碰摩故障，其力学模型可简化，如图1b所示.O1为转子的几何中心，Oc为转子质心，kr为定子径向碰摩刚度系数，ki为转轴支撑处和定子基础的刚度系数，ci（i＝1，2，3）为轴承支撑处和定子基础阻尼系数；e为转子的偏心量；PN为径向碰撞力；PT为切向摩擦力；φ为碰摩点的向径与x轴的夹角；Fx，Fy为油膜力的分量.mi（i＝1，2，3，4）分别为转子、轴承、定子和转轴在轴承处的半集中质量；ω为转子角速度；δ为静止时转子与定子之间的初始间隙.

图1 非稳态油膜力的转子－定子－轴承系统碰摩故障的力学模型Fig.1 Mechanical model of rotor-stator-bearing system with the rubbing fault

假设圆盘不出现回转效应且自转角速度为常数，忽略重力和陀螺力矩的影响，根据非保守拉格朗日方程，推导出量纲为一的非稳态油膜力的转子－定子－轴承系统碰摩故障的动力学方程：

1.3 非稳态油膜力模型

非线性油膜力模型采用短轴承假设下的Capone非线性油膜力模型，该模型有较好的精度和收敛性.在短轴承油膜力假设条件下的无量纲化雷诺方程为：

由式（3）可得量纲一油膜压力为

式中：D为轴承直径.

量纲一非线性油膜力最终可以表示为

1.4 碰摩力的表达式

为研究方便，不考虑摩擦的热效应，并假定转子与定子部件的碰撞力为弹性变形，转子局部碰摩力模型如图1a，b所示.

定子径向刚度为kr，转子与定子间的摩擦符合库仑摩擦定律，即摩擦力与作用于接触面上的正压力成正比.设摩擦系数为f，并设静止时转子与定子之间的初始间隙为δ，则

2 数值模拟与分析

运用四阶Runge-Kutta法对数值进行求解.在计算中为了能够较快地得到稳定解，应将步长选得尽量小且周期足够多.为消除瞬态响应的影响，舍弃前40个周期，计算轨迹图时取后10～20个周期.选取系统参数如下：m1＝4.0kg，m2＝32.1kg，m3＝50.0kg，m4＝20.0kg；c1＝1 050N·s·m－1，c2＝2 100N·s·m－1，c3＝2 100N·s·m－1；k1＝0.25MN·m－1，k2＝0.25MN·m－1，k3＝25MN· m－1，kr＝10MN·m－1；δ2＝0.2mm；η＝0.018MPa；f＝0.2；通过计算得出转子系统的三级固有频率分别为f1＝13.974 7Hz，f2＝43.586 4Hz，f3＝113.109 6Hz，得到系统响应随激励频率变化的分岔图（图2）和轴心轨迹图（图3）.

图2 不同激励频率时的分岔图Fig.2 Bifurcation diagram in the different exciting frequency

图3 不同激励频率时的轴心轨迹图Fig.3 Orbit diagram at the different excitating frequency

由于分岔图无法辨别拟周期运动和混沌运动，为深入了解系统在激励频率的动态响应，观察图2和图3得出以下结论：

（1）当激励频率ω＜600rad·s－1时，系统响应以周期运动为主；当ω＝600rad·s－1时，系统以P3倍周期运动为主；当ω在650～750rad·s－1时，系统以周期运动为主；当ω＝800rad·s－1时，系统以P3倍周期运动为主；当ω＝810rad·s－1，系统处于周期运动；当ω在820～830rad·s－1时，系统处于P2运动；当ω在850～900rad·s－1时，系统处于周期运动；当转动角速度ω处于900～950rad·s－1时，系统处于拟周期运动；当ω≥1 000rad·s－1时，系统处于混沌运动.

因而图2描述的系统运动过程是P1→P3→P1→P3→P1→P2→P1→拟周期运动→混沌运动，属于拟周期分岔.

（2）随着转速的升高，转子轴心位置向上浮动，由于碰摩力与转子涡动方向相反，因而转子涡动一周，转子在间隙中相对定子要来回反弹2次；随着转速的上升，投射线与反射线的夹角逐渐变化，并出现投射线和反射线由未相交到相交的现象，这说明转子系统由正向涡动进入反向涡动；随着转速的进一步增大，油膜涡动使转子系统开始发生局部碰摩，轴心轨迹有明显的拐点（图3e，f所示）.当激励频率大于等于1 000rad·s－1时系统进入混沌运动，此时当由于非线性因素的影响，转子的振幅不会无限增大，而且振动也在一定范围内发生.

3 结论

建立了非稳态油膜力作用下的转子－定子－轴承系统碰摩故障的力学模型，以激励频率作为唯一控制参数，对该系统非线性动力学特性进行了分析，揭示了系统分岔特性和进入混沌的途径.研究结果表明，当激励频率作为唯一控制参数时，系统呈现出复杂的非线性动力学行为，为后续研究大型旋转机械的非线性动力学问题提供了理论依据.

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