不同工况下角接触球轴承力学分析与研究

吴战国，路冠军

(同济大学机械与能源工程学院，上海 201804)

在高速机床、惯性陀螺等机械中，轴承一般在高速(5 600 r·min－1＜n＜11 200 r·min－1，n为转速)以及超高速(11 200 r·min－1＜n)工况下运转.不同于一般的轴承，高转速对轴承内部的载荷分布、接触角以及刚度有着重要的影响，高转速下钢球受到的离心力和陀螺力矩可能引起钢球打滑，造成轴承内部摩擦与温升.轴承的性能更是决定了轴系的刚度与旋转精度.分析不同工况下，特别是高转速轴承内部的载荷分布和大小与轴承的变形与刚度，是研究轴承寿命与主轴特性的基础，也是整个系统稳定工作的保障［1－3］.

本文在刚性套圈理论、赫兹接触理论和套圈控制理论的基础上，对在不同工况下用于角接触球轴承力学研究的数学模型进行了研究，以内圈旋转，外圈静止的角接触球轴承为对象，考虑轴向载荷、径向载荷、离心力、陀螺力矩的影响，以滚动轴承的拟静力学模型为基础，编制计算分析程序，采用Newton-Raphson 方法求解非线性方程组，得到了角接触球轴承内部接触角、刚度以及载荷分布的变化规律，讨论了轴向预紧力和钢球直径对旋滚比的影响，并且将计算结果与Harris 计算结果进行对比.

1 不同工况下的数学模型

不同工况作用下，不同位置的钢球承受的载荷是不同的，本文总结了在三种不同工况作用下，角接触球轴承内部几何变形关系，得到不同工况下角接触球轴承的力学分析模型.

1.1 轴向受载

内圈只承受轴向载荷的情况下，内圈相对于外圈有轴向位移δa.此时每个钢球承受的载荷相同，弹性变形量相同，接触角由α0变为α.可根据内圈的轴向力平衡建立方程，未知数就是变形后的接触角α.

式中:A为加载前内外圈沟道沟曲率圆心距离.

式中:Q为钢球的接触载荷;Kn为钢球与套圈接触变形系数.

式中:Fa为内圈受到的轴向载荷;Z为钢球个数.

1.2 轴向与径向受载

内圈承受轴向载荷和径向荷载，内圈相对于外圈有轴向位移δa和径向位移δr.此时并不是所有钢球承受外部荷载，而且不同位置的钢球承受的荷载大小不一样，因此不同位置钢球的弹性变形量也不相同.由几何变形关系得出，角位置ψj处的钢球弹性变形量δj可由下式得出:

因钢球与内外圈的接触角相等，这样与内外圈沟道的接触载荷也相等.可根据由内圈在轴向与径向方向建立平衡方程:

式中:Qj为角位置 ψj处的接触载荷为角位置ψj处的接触角;Fr为内圈受到的径向载荷.

1.3 轴向与径向受载，内圈旋转

内圈不仅承受轴向与径向载荷，并且高速旋转.此时轴承内部部分钢球除了因弹性变形受到了接触载荷，所有钢球还会受到离心力、陀螺力矩的作用，如图1所示.因为离心力的作用，钢球将向外圈沟道的沟底运动，滚钢球与外圈的接触角将减小，与内圈的接触角将增大.内、外接触角的不一样，与内外圈的接触荷载也将不一样.这种工况下，分析的难度与前两种工况相比将增加.图2表示受载前后，内外圈沟曲率圆心的位置几何关系.

图1 钢球受力Fig.1 Contact force of ball

图2 钢球位移与变形关系Fig.2 Displacement and deformation of ball

图1、图2中:Qij，Qej分别为钢球与内、外圈的接触载荷;αij，αej分别为钢球与内、外圈的接触角;Fij，Fej分别为钢球与内、外圈的摩擦力;Mgj为钢球陀螺力矩;Fcj为钢球离心力;O1，O2为外、内圈受载前沟曲率中心;O'2为受载后为内圈沟曲率中心;Axi，Ayi分别为沟曲率中心轴向、径向距离.

设每个钢球与内、外圈的接触角αij，αej和内圈的轴向与径向位移δa，δr为未知量，推导得到每个滚子与内、外圈的弹性变形量，因篇幅有限，具体推导可参考文献［4－6］.

因滚子受离心力作用，钢球与内外圈的接触角不再相等.在该力学模型中，除了内圈在轴向与径向的力平衡外，还要满足每个钢球的轴向与径向力平衡，可根据方程建立未知数 αij，αej，δa，δr的迭代公式，这样方程才能求解.

对于角位置ψj的钢球轴向与径向力平衡:

式中:Db为钢球直径.

内圈的轴向与径向力平衡:

轴承高速运转时，由滚道控制理论可知，由于离心力作用而使钢球压向外圈，与内圈有脱离趋势，此时由钢球与外圈的摩擦力矩来平衡陀螺力矩.

上述数学模型中出现的接触变形系数Kn可由下式获得:

式中:Ki，Ke为钢球与内、外圈的接触变形系数.

内外沟道的接触刚度Ki，Ke是第一类椭圆积分F 和第二类椭圆积分E 的函数，而它们又是椭圆率k的函数.传统的解法是通过查表获得k的数值，本文使用数值的方法，对k进行迭代，计算精度要高于传统方法.

式中:kn+1为第n +1 次迭代时椭圆率的值;Fn，En分别为第n次迭代第一、二类椭圆积分的值.

2 非线性方程组的收敛

对于内圈同时受到轴向与径向载荷，并高速旋转的角接触球轴承而言，非线性组中方程个数繁多，共有z+4 个方程(z为钢球个数).并且若初值不合适，方程组很可能不收敛.经过分析，未知数可分为钢球与内外圈的接触角和内圈的位移量两类，它们之间的值可能相差几个数量级，若同时求解很可能造成方程组不收敛，所以可对方程组中的方程进行分批求解，将方程(4)钢球的平衡方程作为第一批方程组，将方程(5)内圈的平衡方程作为第二批方程组，同时以静态时内圈的位移量即方程(3)的结果为初值进行迭代，并且加入防松弛系数，图3为程序流程图.

3 算例分析

以角接触球轴承218ACBB 为例.具体参数为:轴承内沟底直径为102.79 mm;外沟底直径为147.73 mm;滚子直径为 22.23 mm;内、外滚道沟曲率半径为11.63 mm;滚子个数为16 个.

应用建立的分析模型，使用MATLAB 编制角接触球轴承工作特性计算程序.因为载荷分布沿着径向载荷方向对称分布，所以以最下端的钢球为起始，逆时针180°范围内的钢球(编号1—10)为研究对象.

载荷分布与刚度是评价轴承性能的重要指标，也是分析轴承其他性能的基础.一般要求内部载荷分布均匀，满足承受载荷的钢球数目最大化;对于高速旋转的轴承，旋滚比也是衡量其性能的重要指标.钢球绕接触面法线的自旋运动会导致摩擦发热，尽可能希望减小旋滚比.

图4—6 是内圈静止或转速不高时，轴承内部的工作特性.图4表明当径向力较大时，适当增加轴向力可以提高轴承的刚度，增加受载钢球的个数，减小钢球的最大载荷，避免某个钢球集中受载，其他钢球闲置.图5和图6表明，轴向力增加，轴向刚度增大，然而径向力增大，会导致轴向刚度减小;径向力增加，径向刚度减小，增加轴向力会增大轴承的径向刚度.

图4 轴向力与载荷分布Fig.4 Axial force and load distribution

图5 轴向力与轴向刚度Fig.5 Axial force and axial stiffness

图6 径向力与径向刚度Fig..6 Radial force and radial stiffness

图7—9是内圈高速旋转时，轴承的工作特性.由于钢球受到离心力与陀螺力矩的作用，使钢球与内外圈的接触角不再相等.图7的结果表明，钢球与内圈的接触角变大，与外圈的接触角变小，并且随着转速的升高，内外圈接触角的差值越来越大.图8和图9表明转速较低时，内圈上受到的最大载荷稍大于外圈;随着转速的升高，外圈上的载荷越来越大，内圈上的载荷有所降低，特别在超高速时，外圈上的载荷显著增加.这是因为离心力作用，使钢球有脱离内圈趋势，向外圈挤压.超高速时，离心力的作用将高于外部载荷对外圈的作用.并且随着转速增加，轴向刚度与径向刚度都会减小.

图7 转速对接触角的影响Fig.7 Impact of speed on contact angle

图8 转速对内圈载荷分布的影响Fig.8 Impact of speed on load distribution of inner ring

图9 转速对外圈载荷分布的影响Fig.9 Impact of speed on load distribution of outer ring

图10表明，轴承内部最上端的钢球旋滚比是最大的，因为这个位置的钢球受到的载荷最小，处于最松的状态，所以高速轴承一定要预紧，保证每个钢球都要承受载荷;同时适当增加轴向力可以降低旋滚比，但是增加轴向力会增大其应力，影响疲劳寿命，所以要根据具体要求在两者之间进行优化.图11讨论的钢球的直径对旋滚比的影响，在超高速的工况下一般外部载荷较低，可以减小钢球直径来降低旋滚比，达到降低摩擦的目的.

图10 轴向载荷对旋滚比的影响Fig.10 Impact of axial force on slide-roll ratio

图11 钢球直径对旋滚比的影响Fig.11 Impact of ball diameter on slide-roll ratio

4 算法验证

以上例的轴承为例，对内圈施加轴向力为17 800 N，径向力为17 800 N 的载荷，针对轴承内部的载荷分布和内圈的位移量，将本文计算结果与Harris 的计算结果进行对比，如表1所示，表中未列出不受载的钢球.

表1 计算结果Tab.1 Calculation results

结果表明，本文的结果与Harris 的计算结果基本一致，说明本文的计算程序是可信的.Harris 的结果是假定受载前后接触角保持不变得到的，因而存在一定的误差［7］.

5 结论

(1)分析了轴向力与载荷分布和刚度的关系，为轴承的轴向预紧提供了依据.

(2)在联合载荷作用下，增大轴向力，轴向刚度与径向刚度都会增加;然而增大径向力，径向刚度会降低.

(3)在联合载荷作用下，内圈旋转，由于离心力作用，钢球与内圈的接触角将增大，与外圈的接触角将减小.

(4)内圈高速旋转时，因为钢球离心力作用，轴承内部的载荷分布发生很大变化，外圈承受的载荷大于内圈，外圈疲劳寿命会远远低于内圈的疲劳寿命.

(5)对于高速轴承，适当增大轴向力，减小钢球直径都能够减小旋滚比，减小滑动摩擦.

(6)与Harris 算法相比，Harris 算法中认为受载前后，轴承的接触角保持不变，而实际工作中，接触角是发生变化的，所以本文算法在载荷分布与刚度方面比Harris 算法准确.

［1］冈本纯三.球轴承的设计计算［M］.北京:机械工业出版社，2002.GANGBEN Cunsan.Design calculation of ball bearing［M］.Beijing:China Machine Press，2002.

［2］邓四二.滚动轴承设计原理［M］.北京:中国标准出版社，2008.DENG Sier.Design theory of rolling bearing［M］.Beijing:China Standard Press，2008.

［3］欧阳土中.滚动轴承动力学分析中的理论问题［J］.轴承，1996(4):14－19.OUYANG Tuzhong.The theorical question on rolling bearing dynamic analysis［J］.Bearing，1996(4):14－19.

［4］唐云冰.航空发动机高速滚珠轴承力学特性分析与研究［J］.航空动力学报，2006，21(2):354－360.TANG Yunbing.Research on aero-engine high speed ball bearing［J］.Journal of Aerospace Power，2006，21(2):354－ 360.

［5］彭波.角接触球轴承分析模型的数值求解［J］.南京航空航天大学学报，2009，41(3):371－374.PENG Bo.Numerical solution of analysis model for angularcontact ball bearing［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2009，41(3):371－374.

［6］张家库.高速角接触球轴承变形和接触角的数值分析与求解［J］.合肥工业大学学报，2008，31(11):1764－1766.ZHANG Jiaku.Numerical analysis of the deformation and angle of contact of the high speed-angular contact ball bearing［J］.Journal of Hefei University of Technology，2008，31(11):1764－1766.

［7］HARRIS T A.滚动轴承分析:第2 卷［M］.第5 版.北京:机械工业出版社，2009.HARRIS T A.Rolling ball bearing analysis:Vol 2［M］.5th ed.Beijing:China Machine Press，2009.