基于状态向量矩阵传递液压缸抗失稳研究

林荣川,郭隐彪,苏 志

(1.集美大学机械工程学院,福建 厦门 361012;2.厦门大学机电学院,福建 厦门 361002;3.福建厦门工程机械有限公司,福建 厦门 361012)

液压缸是机械设备中常用的执行元件,是工程机械设备及运输起重设备常用的执行装置.液压缸可视为承受轴向压缩的细长压杆,当轴向力达到或超过一定限度即临界载荷时会发生失稳,导致灾难性后果.因此,确定许用临界载荷,抗失稳设计是液压缸设计的必要内容.国内外有关学者对液压缸稳定性提出了很多有价值的分析方法.开滦(集团)有限责任公司章之燕[1]根据轴向力运移规律研究液压支架的稳定性,西安理工大学陈世其,王忠民[2,3]利用Hamilton原理,引入状态变量,根据Floquet理论确定了液压缸的不稳定区域,大庆石油学院董世民[4]用挠度曲线方程,华北电力大学郭铁桥[5]用能量法近似计算变截面液压缸压杆的临界载荷,取得丰硕成果.液压缸工况复杂多变,约束条件如果发生变化,则上述方法存在计算繁琐或者误差较大问题.如果把液压缸各段视为细长压杆,其变形量中的挠度和转角,受力状态中的弯矩和剪力都分别表示为1个状态向量,可建立状态向量微分方程,通过各单元传递矩阵的相乘,获得阶梯杆2端状态向量的关系,只需根据边界约束条件,即可求得液压缸临界载荷,具有一定的通用性.

图1 液压缸受力示意图Fig.1 Force diagram of hydraulic cylinder

1 轴向受压液压缸稳定问题的特征方程

图1为液压缸受力示意图,活塞杆可视为整体压杆.缸筒端盖受到高压液压油作用的轴向力P,与铰支座的轴向反力N构成作用与反作用力关系,所以缸筒本身不受压力作用,任意截面的弯矩为零.但液压缸整体失稳时,缸筒也存在转角和挠度变形,考虑到缸筒的变形以及对活塞杆变形的约束,把液压缸视为整体压杆,采用阶梯状压杆力学模型来校核其稳定性.

根据轴向受压阶梯折算法[6],屈曲挠度可以表达为

式中:T为4×4传递函数矩阵.

根据矩阵传递法,可以写成如下形式:

式中:tij为矩阵单元.根据文献[7],在图2中任一断面x处的挠度y、转角θ、弯距M及剪力Q满足方程:

图2 活塞杆受力状态向量图Fig.2 Vector diagram of piston rod

也满足微分方程

令k2=P/EI,方程(2),(3)组成线性代数通解方程组为

式中:A,B,C,D为待定系数,大小与约束条件有关.

把受压杆上端状态向量表示为[yi,θi,Mi,Qi],代入式(4)有

由方程(3)～(5)和连续条件可以得到:

把方程(6)写成矩阵形式为

根据边界约束条件,把方程(7)中的相应元素代入方程(1)可求得其中最小特征值就是临界载荷.不同约束条件下液压缸临界载荷的特征方程如表1所示.

图3 迭代法Fig.3 Diagram of iteration

表1 不同约束的液压缸临界载荷特征方程Tab.1 Characteristic equation of critical load with different constraints

引入稳定性系数a=(kl1)2=Pl12/EI,特征方程可表示为通式:

通过牛顿迭代法可计算稳定性系数a大小,迭代流程如图3所示,其中a0为方程实根初值;n为最大迭代次数,目的为防止迭代公式发散;ε为收敛精度.则液压缸临界载荷可表示为

式中:l为液压缸长度.

不同约束方式的临界荷载表达式见表2所示.

表2 液压缸临界载荷表达式Tab.2 Expression of critical load

2 液压缸MATLAB优化计算

工程上选用液压缸时,一般是根据载荷大小和活动行程从手册中选用标准规格或者定制非标液压缸,实质就是在有设计变量的尺寸限制的前提下,求当轴向力P一定时,活塞杆截面和长度分别取何值时液压缸的体积或质量最小.该问题属于有约束最优化问题.对于液压缸,在考虑轴向稳定性和强度要求的条件下,使用MATLAB优化工具箱可对液压缸优化模型求解.设液压缸长度为l,活塞杆直径为d,活塞杆长度为l1,筒外径为D1,内径为D,壁厚δ=(D1-D)/2,缸筒长度为l2,Pcr为临界载荷.以液压缸截面尺寸参数各杆段长度作为设计变量;以其体积V作为目标函数,以液压缸失稳及尺寸限制为约束条件,在轴向力为Pcr情况下建立优化模型如下:

约束条件:包括强度、稳定性条件、结构尺寸限制[8]等.

缸筒长度约束:s.t.g6(l2)=l2-30D≤0,s.t.g7(l2)=l2+l1-l≤0.

按照上述所建模型的约束函数和目标函数,先建立M文件,再调用MAT LAB优化工具函数fmin con,可对有约束多变量非线性函数的最小值即最优化问题进行求解.

3 试验及分析

以1端固定1端自由的3个液压缸为实验对象,活塞杆直径d=10 mm,伸出长度分别为150,200,250 mm,进行液压缸稳定性试验,实测不同长度下的临界载荷,并与Ritz计算值[9]、本文计算值比较,如表3所示.

取液压缸长度为250 mm,临界载荷为76 kN,用Ritz计算法和本文优化计算的缸筒直径和活塞杆直径见表4.

表3 液压缸临界载荷Tab.3 Critical load of hydraulic clinder

表4 液压缸主要参数计算结果Tab.4 Main parameters of hydraulic cylinder

工程上常用Ritz法计算临界载荷或者校核液压缸尺寸,临界载荷比实际值小,设计尺寸通常比实际值略高,即属于安全裕度偏大的计算,本文优化计算后液压缸主要参数比Ritz法略小约5%,临界载荷比Ritz计算法略大约6%,和试验测量数据比较接近,说明本文优化计算能满足工程需要.

4 结语

轴向受压液压缸稳定性验算是个复杂工程问题,实际尺寸比本文试验模型大,难以用实验手段测出其临界载荷,工程上大都根据经验公式选用液压缸,出于安全考虑,通常安全裕度偏大.本文把液压缸变形量和受力表示为状态向量,建立状态向量的微分方程,根据液压缸不同约束条件,利用传递矩阵法可以方便推导液压缸稳定性普遍方程,该方法也适用于多级液压缸临界载荷计算.结合MATLAB优化设计技术,获取在体积约束条件下液压缸的合理尺寸,通过和Ritz法计算结果比对表明该方法可以作为受压液压缸的稳定性问题的求解手段.随着液压缸使用时间的增多,液压缸筒与活塞之间的间隙变大、活塞杆变形等影响因素增大,许可临界载荷应适当减小.

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