模块化多电平直流变压器的傅里叶级数建模与控制器设计

吴兴宇,闵富红,王国宁,王志刚,侯 凯

(1.南京师范大学南瑞电气与自动化学院,江苏 南京 210023) (2.南瑞集团(国网电力科学研究院)有限公司,江苏 南京 211106)

随着分布式能源和直流负荷的快速发展,直流配电系统受到越来越多的关注[1]. 在中压直流配电系统中,直流变压器(DC transformer,DCT)是实现中压直流母线和低压直流母线之间电压转换和电气隔离的核心部件[2-3].

双有源桥(dual active bridge,DAB)变换器结构在低压、小容量领域有着十分广泛的应用[4-8]. 为了适应直流配电网电压等级,提高DCT的电压和容量等级,实现中低压直流母线之间的互联,模块化多电平直流变压器(modular multilevel DC transformer,MDCT)尤其受到关注[9]. 模块化多电平结构采用若干个子模块级联,减小了功率半导体器件的电压应力,便于冗余化设计. 文献[10-16]分析了模块化多电平直流变压器的工作原理、移相调制策略、软开关特性和功率损耗等电路特性. 文献[17-18]采用瞬时功率积分进行功率分析,但是这种分析方法计算量大、过程复杂.

对此,本文从傅里叶级数分析入手,分析MDCT的工作原理,推导出有功功率傅里叶级数求和表达式,并分析其有功功率与功率移相角和电压平衡角的关系. 基于傅里叶级数求和建立MDCT的数学模型,设计了稳定输出电压的PI控制器,仿真验证了控制策略的有效性.

1 MDCT单移相控制的工作原理和功率特性

1.1 MDCT工作原理

模块化多电平直流变压器的拓扑,如图1所示,由中压侧两相模块化多电平(modular multilevel converter,MMC)桥臂、交流高频链(AC high frequency link,ACHFL)和低压侧并联全桥构成. 与传统的模块化多电平变流器类似,MDCT中压侧每相由上、下两个桥臂构成,桥臂是通过k个半桥子模块(half-bridge sub-modules,HBSM)串联电抗器Ld组成的,因此继承了其模块化、可冗余化设计的优点. 低压侧采用h个全桥并联来提高输出电流等级. 交流高频链由h个高频隔离变压器T构成.V1和V2分别为中、低压侧直流电压;I1和I2分别为中、低压侧直流电流;Va为两相模块化多电平交流侧电压;iL为交流高频链的漏电感电流;Vb1～Vbh为全桥交流侧的电压;iDC1～iDCh为全桥直流侧电流;iC1～iCh为全桥直流侧电容电流.

中压侧采用准方波调制策略,MMC各子模块上管的驱动信号定义为Gij,每个子模块上管和下管的驱动信号互补,当Gij=1时,半桥子模块上管导通,HBSM处于投入工作状态;当Gij=0时,半桥子模块上管阻断,HBSM处于切除工作状态;其中i表示桥臂标号,i=1,2,3,4;j表示驱动信号的标号,j=1,2,…k,这些驱动信号的占空比为0.5且每个子模块移相角度为θ,因此桥臂i的输出电压Vai是一个如图2(a)所示的准方波. 单移相控制下MMC的子模块SM1j和SM4j具有相同的开关状态,SM1j和SM2j具有互补的开关状态,每个子模块的驱动信号并非固定不变而是通过均压算法分配. 中压侧上管驱动信号的傅里叶级数时域表达式为:

(1)

式中,N≥0;ω为直流变压器开关角频率.

低压侧各全桥模块调制策略如图2(b)所示,Gu1和Gu2表示全桥两个桥臂上管的驱动信号,这些驱动信号的占空比为0.5且相位相差π,每个全桥桥臂下管的门极信号与上管门极信号互补,其中u表示全桥标号,u=1,2…h. 因此全桥u的交流侧电压Vbu是一个方波,上管驱动信号的傅里叶级数时域表达式为:

(2)

式中,δ为直流变压器的功率移相角.

MDCT在单移相控制下的工作原理与传统的DAB类似,通过调节交流高频链输入电压(Va)和输出电压(Vb=Vb1+…Vbh)的功率移相角δ来实现输出功率的调节,假设MMC各子模块电压相等,忽略器件上的压降,理论波形如图3所示.

根据以上分析的调制策略和开关管驱动信号的傅里叶级数时域表达式,得到高频链的输入和输出电压傅里叶级数时域表达式为:

(3)

根据以上分析,模块化多电平直流变压器的MMC交流侧电压Va为准方波,全桥模块交流侧电压Vb为方波,可以将交流高频链等效为图4(a)所示的等效电路,电感为桥臂电感Ld和全部高频隔离变压器漏电感LT的总和(L=Ld+hLT),式(3)将Va和Vb表示为一系列角频率为直流变压器开关角频率正整数倍的正弦电压之和的形式;又由于不同角频率的正弦电压之间不传输能量,因此图4(a)的某次谐波分量可以等效为图4(b)所示的正弦交流电压源结构,Vx1和Vx2分别代表两个正弦电压源的有效值.

1.2 移相控制下MDCT的功率特性

电力系统的稳态分析理论给出了图4(b)中有功功率的表达式为:

(4)

从电压表达式(3)中得到各次谐波的电压有效值为:

(5)

将式(5)中的各次谐波的电压有效值代入式(4)的有功功率表达式,来确定各次谐波的传输有功功率,叠加得到模块化多电平直流变压器的传输功率表达式为:

(6)

根据式(6)建立的模块化多电平直流变压器的功率表达式,分析其功率特性. 为了简化分析,将传输有功功率进行标幺化处理,基准值有功功率公式如下:

(7)

根据式(6)、(7)可以得到单移相控制下有功功率的标幺值为:

Ppu=P/Pb.

(8)

假设MMC桥臂的子模块数目k=4,傅里叶级数的展开项N=4. 根据上述表达式可以得到单移相控制下有功功率的三维曲线图,处理三维曲面图得到有功功率和θ角的关系图,如图5所示.

由上述功率曲线可知随着θ角的增大,模块化多电平直流变压器的最大传输有功功率下降,当θ≥0.05π时,最大传输有功功率下降明显,因此本文选取θ=0.02π.

2 MDCT的数学模型

根据基尔霍夫电压定律来描述模块化多电平直流变压器的交流高频链,图4(a)的等效电路动态方程为:

(9)

式中,RL为高频隔离变压器漏感的阻抗,由式(3)、(9)可以得到漏感电流傅里叶级数时域表达式:

(10)

根据低压侧全桥模块的电路结构和调制策略,每个全桥电路直流侧电流和电容电流均相等,可得出:

(11)

基于基尔霍夫电流定律得到全桥电路直流侧输出电流iDC(t)、电容电流iC(t)和低压侧输出电流I2(t)满足:

(12)

假设全桥直流侧电容为理想电容,则全桥直流侧电容电压与直流变压器的输出电压相等,那么电容电流可表示为:

(13)

根据式(12)和(13),并结合全桥拓扑结构可得出直流变压器的输出电压和漏感电流的状态方程为:

(14)

将式(2)和(10)代入上式消去高频项,得到模块化多电平直流变压器稳定状态下时域的傅里叶级数表达式:

(15)

在稳态工作点附近引入低频小信号扰动,即V2(t)=V2+ΔV2(t),δ=δ0+Δδ. 可得出MDCT在单移相控制方式下输出电压的动态小信号模型:

(16)

因此,可以得出系统的状态空间方程为:

(17)

根据式(17)的动态小信号模型可以得出移相角δ和直流输出电压Vs的开环传递函数为:

(18)

3 MDCT控制器设计

式(18)建立的模型本质上是一阶惯性环节,控制器需要调节MDCT的直流输出电压,因此使用PI控制器足够完成高性能的低压侧输出电压调节. 根据图6所示控制框图,以及直流变压器的开环传递函数,可以得到前向通道的传递函数为:

(19)

式中,Td为一个开关周期,e-sTd为数字控制器的延迟环节.KP为比例调节系数,KI为积分调节系数,H(s)为控制器.

为了提高系统的开环频率特性,假设KI/Kp=-A来消除系统的极点. 根据经典控制理论要求在截止频率ωc处,开环传递函数的幅值增益为1,稳定状态下相位裕度γ≥40°,来设计闭环控制器. 加入PI控制器之后,根据表1的电路参数,绘制系统的Bode图如图7所示,截止频率为300 Hz,为开关频率的1/10,系统在截止频率处的幅值增益为1,相位裕度为54°,符合控制器设计要求.

表1 MDCT电路参数Table 1 Circuit parameters of MDCT

4 仿真分析

为验证以上理论分析和模型的准确性,本文按照表1中的电路参数,主要采用基于MATLAB/Simulink平台中的SimPowerSystem工具箱中的电路器件进行仿真验证. 按照图1的模块化多电平直流变压器的拓扑搭建仿真主电路,并根据图6的控制框图搭建控制器.

图8为模块化多电平直流变压器的交流高频链的稳态输入、输出电压和漏感电流波形,Va的波形为准方波电压,电压平衡角为0.02π,Vb为方波电压,频率均为3 kHz.Va和Vb之间的移相角产生高频漏感电流iL,仿真所得的高频链电流波形频率也为3 kHz. 图9为MDCT输出电压波形,稳定运行状态下输出电压为600 V,完全满足稳压控制要求,从而验证了傅里叶级数模型和控制器的准确性.

5 结论

本文分析了单移相控制下模块化多电平直流变压器的工作原理,通过傅里叶级数求和将直流变压器的高频电压转化为傅里叶级数表达式,建立了输出功率的表达式,分析了输出功率的特性. 建立了MDCT输出电压与移相角的数学模型,以此为基础设计MDCT的低压稳压PI控制器,并通过仿真验证了该数学模型的准确性和PI控制器的可靠性.