基于损伤曲率模态的简支梁损伤识别

袁雪松， 刘廷余， 赵丽洁

（1.河北工程大学土木工程学院，河北 邯郸 056017；2.河北德鹏机械设备有限公司，河北 邯郸 056017）

0 引言

结构在长期服役过程中会因各种原因出现损伤，结构损伤识别一直是土木工程领域很重要的研究课题［1］。基于动力特性的损伤检测方法有无损性和不影响结构正常使用的优势，被广泛应用于损伤识别研究。基于结构动力响应的损伤识别方法应用较多的有固有频率、单元模态应变能、柔度矩阵、曲率模态等［2-4］。其中，曲率模态是一个能够较好反映结构局部特征变化的模态参数，不少学者基于此方法展开研究［5-8］。

在易获取结构原始数据的情况下，通过对比结构损伤前后的模态参数变化可以很好的识别损伤的部位，而实际工程中很多结构的原始数据是无法获取的，针对实际工程中难以获取结构损伤前物理信息的问题，很多学者采用多项式拟合的办法获取结构未损伤状态的响应参数。徐典［9］通过二次多项式拟合未损伤状态的结构柔度曲率曲线，根据损伤前后曲线包围的面积定性的分析损伤程度。徐飞鸿［10］利用三次多项式拟合简支梁损伤前的曲率模态曲线，并通过多项式回归建立了损伤程度和损伤有效面积的相关函数，该方法能很好的识别跨中单元的损伤，由于曲率模态指标对振型节点的损伤单元标定效果不足，难以利用此方法进行振型节点附近的损伤定量分析。唐盛华等［11］利用二次多项式拟合简支梁在均布荷载下的挠度曲率曲线，并假定节点曲率为单元曲率平均值的方法近似的计算损伤单元程度。徐宏文等［12］采用多项式拟合模态曲率曲线，对薄板进行多点损伤识别，取得了良好的损伤定位效果。在目前的损伤定量研究方法中，存在计算繁琐、精度不足等问题，建立适用于工程实际的简易、高效、精确的损伤识别方法是十分必要的。

文中以简支梁为研究对象，通过结构位移计算［13］的方法以解析的形式分析了损伤前后节点曲率模态值的变化规律，建立了单元损伤程度与曲率模态值之间的关系式。为了解决工程中无法获取结构损伤前曲率模态的问题，提出利用matlab中函数拟合构建完好曲率模态曲线的方法，先利用损伤状态的曲率模态曲线对结构损伤位置进行初步判断，将曲线上畸变处的节点值剔除，然后利用剩余的点进行正弦函数拟合，并将拟合的正弦曲线视为结构未损伤状态的振型曲率曲线，以此获取简支梁未损伤的曲率模态值，实现仅利用损伤状态的振型信息即可实现简支梁的损伤识别。

1 曲率模态损伤识别理论

首先通过结构位移计算分别计算出损伤前后简支梁在一阶振型分布惯性力作用下节点的位移值。

如图1所示，一等截面简支梁模型中，存在一处长度为的损伤，损伤单元左端距简支梁A点距离为d，损伤通过折减该处的抗弯刚度来模拟，令损伤处的刚度为kEI（0＜k＜1）。

图1 简支梁模型

如图2所示，令单位力F=1分别作用在简支梁h、i、j节点上，以A点为原点建立平面直角坐标系，可分别求出的数学表达式A1-B3为：

图2 图Mp及图

式中，m=1、2、3；L为简支梁的跨度；d为损伤单元距简支梁A端的距离；ε为损伤单元的长度。

由欧拉梁的振动理论可知简支梁的一阶振型函数曲线为正弦曲线，故简支梁的曲率模态曲线也是正弦曲线，根据材料力学弯矩与曲率的关系，可知简支梁在分布惯性力作用下的弯矩图曲线也是正弦曲线。假定损伤前后在分布惯性力作用下的弯矩不变，为方便计算不妨令弯矩图的函数表达式为：

损伤后h、i、j节点的振型位移值为：

曲率模态值可以通过位移模态值通过中心差分法近似计算求出，则损伤前节点处的曲率模态值为：

1.1 损伤定位

观察式（10）和式（11），当单元发生损伤后，φ″iu≠φ″id，且损伤后节点的曲率值变化与k值即单元损伤程度相关，可以利用曲率模态差指标进行损伤定位：

式中，φ″id表示结构损伤后节点的曲率模态值；φ″iu表示结构损伤前i节点的曲率模态值。

通过绘制曲率模态差指标的图形，观察图形上发生突变的位置来判断简支梁发生损伤的部位。

1.2 损伤定量

单元损伤程度可由损伤定位指标中已求出的简支梁各个节点的损伤前后的曲率值通过式（15）和式（20）计算求得。

2 曲率模态曲线的拟合

2.1 损伤后的曲率模态

为了利用曲率模态差指标进行损伤识别，需要获取结构损伤前、后的曲率模态值。

实际工程中，损伤状态梁的曲率模态值可直接利用所测得的位移振型值通过中心差分法计算得出：

式中，φd（i）表示损伤状态i节点的位移振型值；δl表示节点与节点的间距。

2.2 正弦函数拟合结构完好曲率模态曲线

在无法获取结构初始参数时，损伤前的曲率模态曲线可以利用损伤后的曲率模态值利用matlab软件中的函数拟合构造得出。

由结构动力学［14］理论可知，等截面细长简支梁自由振动的一阶位移振型函数为：

式中，A1为常数；L为简支梁的跨度。

对位移振型函数求二阶导数求出振型曲率函数为：

由式（23），简支梁未损伤状态的曲率模态曲线为正弦函数曲线。因此，可通过matlab软件中的三角函数拟合构造出简支梁未损伤状态的曲率模态曲线，获取损伤前的曲率模态值。

损伤后的曲率模态曲线在损伤单元处产生畸变，将损伤后曲率模态曲线畸变处的点去除后，利用剩下的点进行正弦函数拟合，并将拟合曲线视为简支梁未损伤状态的曲率模态曲线。对于简支梁结构，令拟合函数为：

式中，A为待定常数；L为简支梁的跨度，在简支梁跨度已知的情况下，只需确定待定常数A即可拟合出完好的曲率模态曲线，在matlab中可通过负相关系数判断拟合效果。

综上，基于损伤曲率模态曲线的简支梁损伤识别的具体步骤如下：

（1） 利用中心差分法计算损伤状态的第一阶振型曲率并绘制曲率模态图形。

（2） 剔除曲率模态曲线上畸变处的点，利用剩下的曲率模态值进行正弦函数拟合，将拟合曲线视为简支梁未损伤的曲率模态曲线。

（3） 利用曲率模态差损伤定位指标图形判断最终的损伤单元。

（4） 利用式（15）和式（20）计算损伤程度。

3 简支梁算例

3.1 模型

以一混凝土简支梁有限元模型为例，验证所提指标的有效性。如图3所示简支梁有限元模型，简支梁的跨度L=6m，截面尺寸b×h=0.2m×0.3m，混凝土强度等级取C35，弹性模量E=3.15×1010N/m2，泊松比v=0.2，质量密度ρ=2500kg/m3。将梁沿纵向划分成30个单元，31个节点，每个单元长0.2m。

图3 简支梁有限元模型

实际工程的损伤一般表现为刚度的降低，质量一般不变。设置简支梁发生多点损伤的工况，损伤通过降低单元的弹性模量模拟。具体损伤工况见表1。

表1 简支梁多点损伤工况

3.2 简支梁多点损伤识别结果

从图4中可以看出曲线在单元12和24处发生了明显的畸变，初步判断单元12、24为损伤的单元。剔除损伤单元节点的曲率模态值，利用剩下的点进行正弦函数拟合，拟合结果如图5所示，将图5中拟合的曲线视为简支梁损伤前的曲率模态曲线。

图4 工况2曲率模态

图5 工况2拟合曲线

曲率模态差指标识别结果见图6，判定最终的损伤单元为1、12、24，与假定的损伤单元一致。对比图4与图6两种指标的损伤定位识别效果，曲率模态指标不能识别到简支梁1号单元的损伤，而曲率模态差指标对1号单元的损伤具备一定的标定效果。图7为损伤程度识别结果，以单元1的损伤程度识别为例进行误差分析，工况1、工况2、工况3损伤程度识别结果分别为 0.09479、0.3013、0.3976，误差分别为 5.22%、0.45%和0.60%。

图6 曲率模态差识别结果

图7 损伤定量识别结果

4 结论

（1） 曲率模态差指标比曲率模态指标具备更高的损伤标识能力，虽然对振型节点单元的损伤存在标定不足的问题，但结合损伤定量指标进行综合判断后，可以有效识别出简支梁多处单元的损伤。

（2） 提出利用函数拟合构造简支梁未损伤曲率模态曲线，该方法无需结构的原始模态信息，弥补了工程中结构原始数据不易获取的缺陷问题。

（3） 文中建立的损伤定量计算方法不仅方便快捷，而且在无噪声水平下具备较高精度，无论是跨中单元还是振型节点附近的单元，该方法都能够准确识别损伤程度。