某核设施变截面矩形水箱结构的力学分析

寇子琦， 刘海， 李壮飞， 王滨生， 宋天舒， 侯钢领,3

（1.中核四○四有限公司第二分公司，兰州 732850；2.哈尔滨工程大学，航天与建筑工程学院，哈尔滨 150001；3.哈尔滨工程大学烟台研究(生)院，山东 烟台 265599）

0 引言

矩形水箱结构广泛地应用在航空航天、交通运输、建筑桥梁和化工机械等众多领域。随着工艺改进、结构优化和力学性能提升等方面需要，变截面水箱结构的应用日益广泛[1]。与等截面矩形水箱结构相比，变截面水箱结构具有受力合理、安全可靠、经济性好等优点，但其在变截面处存在应力突变、中心轴不连续等特点[2]，导致该结构理论力学面临诸多困难。矩形水箱结构力学性能分析是该类结构应用和相关行业规范的理论依据[3]。等截面水箱结构的力学分析始于经典的板壳理论。根据水箱结构特点，Faupel应用卡式定理的弹性变形法，提出了刚性框架模型，实现了该结构简化力学分析[4]。针对刚性框架模型仅使用于长宽比大于4的情况，曾昭景等通过边界位移连续，建立了矩形水箱结构的正向板、侧向板的板组合分析模型[5]。该模型具有适合各种长宽比，可以给出在典型荷载作用下的理论近似解等优点。但该方法还没有推广到变截面矩形水箱结构。

针对变截面水箱结构力学分析，国内外众多学者进行了广泛的研究。在理论分析方面，Pope应用结构的对称性，研究了变厚度薄板的力学性能[6]。Gangnon等应用Mindlin板理论，结合有限条方法，考虑剪切变形的影响，完成了变厚度矩形厚板力学分析[7]。Kashtalyan和Nemish考虑了可变厚度正交各向异性板的三维弯曲，并给出了该类结构的双三角级数解[8]。Tash和Neya应用位移势能函数，解决线性变厚度板的力学分析，但没有考虑变截面板的突变性[9]。基于国内外研究成果，针对变截面水箱结构具有变截面处应力突变和中心轴不连续峰分析难点，在曾昭景提出的板组合分析模型的基础上，文中提出在变厚度板的变截面处的上部板、下部板施加不同的附加弯矩，应用经典板理论的分段求解法和转角变形连续性，给出了各种工况及其组合作用下该结构的理论近似解。结合某工程实例，与有限元数值模拟比较，验证文中方法具有较好的计算精度。

1 工程概况

防护水箱是某退役核设施的外围护结构，发挥着生物屏蔽，热屏蔽和承重结构等作用。该结构平面为正方形，箱体由内板、外板和肋板等钢板焊接制成。钢板采用A3低碳钢，材料力学性能采用文献[10]相关规定，基础采用混凝土筏板。外板与外侧防护砂廊接触，内板与堆芯结构相连，该结构剖面图见图1。其中水箱由不同厚度的上部水箱和下部水箱组成，属于变截面水箱结构。上部水箱和下部水箱的截面厚度分别为H1和H2，H1和H2之比约为1:2。水箱各个部件之间采用焊接连接，属于超静定结构。

图1 防护水箱结构示意图

2 变截面水箱结构的理论分析

2.1 水箱结构计算模型

该水箱箱体属于中空结构，如图2所示。与结构整体尺寸相比，中空结构厚度为小尺寸变量。根据文献[11,12]的弯曲等效刚度法，将中空结构等效为板的弯曲刚度。采用公式如下：

图2 箱体板横断面尺寸

式中，E为弹性模量；H为水箱外缘厚度；h为水箱内缘厚度；n为肋板板条数；t为截面肋板板厚；a为板长；μ为泊松比。

应用文献力法分析，将水箱结构等效为板组合模型，4个面沿着各自的棱边切开。相邻板连接处等效为铰接相连和约束弯矩组合，如图3所示。此时，水箱结构是正向板、侧向板的组合，并将水箱结构分析等效为板分析。

图3 水箱结构简化模型

在上部板①、下部板②交界位置，板截面厚度成阶梯型变化，也就是板截面发生变化的地方。以x、x+dx坐标面截出的微元体为例，如图4所示。采取如下等效处理：

图4 变截面微元体

（2） 两截面高度比H1:H2为1:2。则按等截面求解时，只需将左截面施加的合力矩取半。同理，合剪力也是如此。

采用上述等效后，变截面板处转化为经典薄板理论的中性轴偏移型板。因此，分别进行正向板、侧向板的力学分析，并通过位移边界的连续，可以给出变截面水箱结构的理论解。

2.2 正向板位移函数

正向板为两对边简支一边固定和一边自由（SSCF）的连续板，承受线性荷载q（工况1）、侧向沿线分布力矩 M（x）（工况 2）和沿 x=±a/2 承受力矩 M（y）（工况3）3个工况的组合，如图5所示。此时，正向板挠度wf表示为：

图5 正向板受力分解图

（1） 工况1，线性均载q作用。在矩形板承受横向荷载q时，板结构微分方程为：

将横向载荷q（x,y）表示为三角级数成级数形式：

式中，am（x）为 q 在区间[0,d]的傅里叶系数。

应用分段求解法，将正向板分成上板①和下板②两部分单独求解。将式（4）代入式（3），得到分段挠度表达式

式中，Am、Hm。均为待定常数；DⅠ为上板弯曲刚度；DⅡ为下板弯曲刚度。

上述式（5）、式（6）在满足板周边边界条件外[13]，还需保证在y=b处具有连续性，连续性条件见表1所示：

表1 线性荷载下变截面连续性条件

因此，可得到线性荷载作用下SSCF变厚度连续板的挠度表达式。此时，上板①和下板②在x=0,a处的转角分别为：

式（7）、式（8）中的 S0、S01、S1、S2、S3、S4分别为 1、y、的傅里叶展开系数；S02、S03、S5、S6、S7、S8亦为上述 6 个非圆函数在区间[0,c]上对的傅里叶展开系数。

（2） 工况 2，弯矩 M（x）作用沿 y=b、d分布分别承受力矩如图 5（b）所示。其挠度应满足如式（9）齐次微分方程式：

与工况 1 解法相似，可得 MⅠ（x）、MⅡ（x）作用下挠度解分别为

式（10）、式（11）需要满足周边边界条件和变截面处的连续性条件。在y=b处，连续性条件如表2所示。

表2 均匀力偶作用下变截面连续性条件

此时，上板①和下板②在x=0,a处的转角分别为：

下板②边缘转角：

（3） 工况3，受未知力偶M（y）作用。

采用双三角级数解法将力偶M（y）表示成单三角级数形式，既有与工况2过程相似，将式（14）代入（9）式，

式（15）、式（16）需要满足周边边界条件和变截面处的连续性条件。考虑结构对称性，在y=b处，连续性条件如表3所示：

表3 未知力偶作用下变截面连续性条件

基于此，上板①中x=±a/2处的边缘转角为：

下板边缘转角：

2.3 侧向板位移函数

侧向板的受力可以分解为两部分，一是受线性载荷q作用；二是对边简支分布力偶M（y）作用。应用箱体对称，并应用箱体外壁周围均受线性荷载作用，因此侧向壁板受力分解与正向板的工况2、工况3相同。基于此，侧向板挠度wp可以表示为：

2.4 箱体结构的位移函数

在棱边处，正向板的上部总转角和下部总转角分别为：

侧向板的上部总转角和下部总转角分别为：

正向板和侧向板在上部总转角和下部总转角数值相等，方向相反。即有

因此，可以计算给出各个参数。进而可以给出挠度、弯矩和应力等理论解。

3 计算结果验证与力学分析

3.1 计算结果验证

目前，以ANSYS、ABAQUS等为代表有限元软件具有计算精度高，计算速度快、计算稳定性好等优点，可以分析各种复杂形状、复杂工况结构力学性能[14]。

采用ANSYS软件，建立变厚度水箱结构的有限元模型。应用水箱结构的对称性取1/2水箱结构进行分析，采用shell181单元见图6。

图6 有限元模型

限于篇幅，选取下部板y=9.00（路径1）和上部板y=3.43（路径2）作为比较对象。解析解取前四项级数m=n=4，正向板和侧向板的挠度和σx比较结果如图7和图8所示。

图7 正向板的挠度和应力比较

图8 侧向板的挠度和应力比较

比较结果表明，文中方法与ANSYS计算结果在水箱结构的正向板和侧向板的最大误差仅为3.6%，计算精度很好。解析解的值均略大于数值模拟解，这是因为力学模型的相邻板之间采用完全简支的条件假设，而ANSYS模型采用实际情况，考虑棱角对转动有一定的约束，因而使得求解的结果略大于有限元值。同样原因，在棱角附近，理论解与数值模拟误差较大。

3.2 力学性能分析

由于正向板的位移和应力比侧向板大，且限于文章篇幅。在此，仅给出正向板的受力性能。

图9 正向板的挠度和应力分布

正向板挠度从棱角到中间位置、从底部至顶部逐渐增大，最大值出现在箱顶中间位置，近似呈抛物体分布，数值为10.84mm。该计算结果符合三边约束箱体的受力特点[15]。

箱板的应力呈对称分布，其中应力σxf在箱体上部区域为压应力，其余位置为拉应力。σxf压应力最大值位于中心线与变截面交线下面，数值为-14.00MPa；拉应力最大值位于容器棱边与变厚度截面重合位置，数值为38.60MPa。应力σyf在上部、下部的中心位置附件处均有负应力出现，其余位置均为正值。σyf压应力最大值位于下板中心点，数值为-7.45MPa；而拉应力最大值位于箱体底部中心线处，数值为32.62MPa。即容器棱边与变厚度截面重合区域和容器底部中心线区域均为高应力区。

4 结语

根据某退役核设施变截面水箱结构受力分析需要，通过在变厚度板的变截面处的上部板、下部板施加不同的附加弯矩，将变截面板中心轴的不连续等效为附加弯矩，可以较好地解决该类结构变截面处应力突变和中心轴不连续等难点。主要结论有：

（1） 将变截面板中心轴的不连续等效为附加弯矩，解决了该类结构变截面处应力突变和中心轴不连续等难点。因此，通过刚度等效，附加合弯矩、综合剪力等经典板分析方法，可以给出了变厚度水箱体的力学分析解析解。

（2） 应用文中方法，给出了某退役核设施变截面水箱结构的解析解，表明了其挠度和应力分布特点。正向板顶部棱角的中间位置挠度最大，是位移监测监控的关键点。而水箱棱边、变厚度截面区域、和容器底部中心线区域均为高应力区，是应力应变控制的关键部位。相关的研究结论，对水箱结构安全评估、灾害防御和结构健康监测提供了良好的参考价值。

（3） 理论和仿真结果表明，承重水箱关键点位置的应力、应变均控制在允许屈服范围内，但考虑到辐照、腐蚀等环境因素影响，因此在后期施工和维护中应加强对关键点位置的变形和应变检测。