彩色半色调墨点边缘羽化的Clapper-Yule扩展模型

何晓敏，王颖，柯能，张逸新

(1.江南大学物联网工程学院，江苏无锡　214122;2.江南大学理学院，江苏无锡　214122)



彩色半色调墨点边缘羽化的Clapper-Yule扩展模型

何晓敏1，王颖1，柯能1，张逸新2*

(1.江南大学物联网工程学院，江苏无锡214122;2.江南大学理学院，江苏无锡214122)

摘要:研究了墨点边缘发生羽化现象(非二值理想墨点)对印品光谱反射率的影响，为色彩预测模型的理论研究提供一个新的思路。采用二维高斯函数模拟墨点表面的形态，利用多重积分计算出墨点羽化后的体积，根据体积的恒常性即羽化前后墨点体积相等，推导出含边缘坡度因子σ的网点面积率以及含墨层相对厚度因子的油墨透射率，由此建立了一个Clapper-Yule扩展模型。模型的数值模拟结果表明墨点边缘油墨铺展所导致的网点物理扩大，增加了油墨对光的吸收，从而降低了最终的光谱反射率。采用Clapper-Yule分程模型对颜色进行预测时需考虑墨点边缘羽化所带来的物理网点扩大，该模型适用于彩色半色调印品的颜色预测与控制。

关键词：印刷色彩学；Clapper-Yule模型；光谱反射率；墨点边缘羽化

1引言

在上述模型[1-9]的建立过程中，通常都假设半色调图像的墨点是厚度均匀且边缘锐利的柱体，然而在实际的印品中，油墨层的厚度往往是随着离开墨点中心的距离增大而非线性减小。考虑到这种现象，Hersch和Brichon[10]等人通过半色调Clapper-Yule光谱模型导出单色印刷及多色叠印时的相对厚度因子d；Mathieu和Hersch[11]将经典的二值(非纸即墨)半色调假设扩展到连续(墨点边缘羽化)半色调墨点，修正了Yule-Nielsen模型以及经典的Clapper-Yule模型，建立了连续半色调光谱预测模型，但是该模型未涉及光在纸内传播路程存在长短不一的问题。

针对上面的问题，本文在包含光的长短程传播的分程Clapper-Yule模型基础上考虑了墨点边缘铺展以及墨层透射率变化对印品光谱反射率的影响，将二维高斯函数作为边缘羽化后的墨点的表面函数，利用多重积分计算出墨点羽化后的体积，根据体积的恒常性即羽化前后墨点体积相等，推导出含边缘坡度因子σ的网点面积率及墨层透射率，由此建立了新的色彩预测模型并通过数值模拟实验表明了新模型具有较高的色彩预测精度。

2墨点边缘羽化模型

在实际印刷中因机械作用以及油墨的流平特性，油墨在纸张上铺展造成网点机械扩大以及墨层厚度随着偏离墨点中心而非线性减小的墨点边缘羽化[12]，图1是的边缘羽化前后墨点的平面示意图[11]。

Fig.1The ichnography of ink dot before and after the feathering

作为近似，本文采用二维高斯函数来模拟墨点边缘的羽化现象，从而构成墨点表面形态与墨层厚度的函数关系。在理想的二值半色调印刷品中，油墨的网点面积率用理论网点面积率a表示。假设加网线数为L，则网点大小Sdot与网点面积率a和加网线数L有公式1的数学关系。图2所示的是不同加网线数对应的网点大小。

(1)

Fig.2　Ideal dot sizes of different screen rulings

f0(x,y)=

(2)

考虑到边缘发生羽化现象，半色调网点的墨层厚度与空间位置的关系采用二维高斯函数来近似描述，如公式3所示。

(3)

其中参数σ取决于墨点边缘的平缓程度，σ越大则

坡度越平缓。坡度因子σ是一个使预测值与实验值差值最小的实验调整参数，本文中σ=0.41。那么羽化后的半色调网点墨层厚度Dσ(x,y)为二值半色调墨点的固定厚度与边缘羽化半色调网点的表面函数二者的乘积，如公式4所示。

(4)

(5)

根据朗伯比尔定律，我们知道墨层厚度会影响油墨的透射率，在本文研究的半色调墨点模型中，由于墨点的边缘发生了一定的油墨铺展，导致墨点内不同位置的墨层厚度不同，其透射率发生相应改变。边缘发生油墨铺展的半色调网点的透射率T(x,y)可由公式6计算而得。

(6)

3墨点边缘羽化的物理网点扩大

(7)

根据墨点体积的恒常性，即理想情况下墨点的体积和产生物理扩大后墨点的体积是相等的，也即Vσ=V0，如公式8所示；通过数学运算，由此我们可以推导出物理网点扩大后网点的面积大小，如公式9所示。

(8)

(9)

(10)

(11)

将公式10和公式11的网点面积大小代入公式9，由此可以得到考虑了物理网点扩大的网点面积率和理论网点面积率之间的关系，如公式12所示。图3所示的是加网线数为75 lpi时，不同情况下网点面积的大小。

(12)

Fig.3　Gain of dot size with screen ruling of 75 lpi

4单色Clapper-Yule扩展模型

考虑到墨点边缘铺展(即羽化)所导致的物理网点扩大会增加油墨对光的吸收，从而影响最终的反射率，我们将这个因素引入到Clapper-Yule分程模型中，类似于Hersch和Emmel的讨论，我们假设有b部分光[13]从某个网点入射并从该网点出射(即短程部分)，(1-b)部分的光按经典Clapper-Yule模型的扩散原理进行传播(即长程部分)。

4.1长程光谱预测模型

(13)

剩下的光继续向下传播，则第二次出射的光量为：

(14)

第n次出射的光量为：

(15)

利用等比数列求和公式我们可以得到长程部分的光谱反射率为

(16)

4.2短程光谱预测模型

考虑到光在纸张内部传播光程的长短，短程传播的入射光从某一墨点入射并从该入射区域出射，则该部分的光入射并第一次出射的光量为

(17)

第二次出射的光量为：

(18)

第n次出射的光量为：

(19)

那么短程部分的光谱反射率为

(20)

对于单色半色调图像，考虑墨点边缘羽化的Clapper-Yule扩展模型如公式21所示。

(21)

将公式12和公式6代入公式21中，由此可计算得到考虑因墨点边缘羽化而产生的物理网点扩大时的单色半色调Clapper-Yule分程模型，如公式22所示。

(22)

5多色Clapper-Yule扩展模型

5.1不考虑油墨叠印扩展的等效网点面积率

(23)

5.2考虑油墨叠印扩展的等效网点面积率

如果考虑油墨叠印扩展的话，假设三种油墨CMY叠印的情况，如果先单独印青，然后把品叠印在青墨上，再把黄叠印在青上，最后黄和品一起叠印在青上；或是先单独印品，青叠印在品上，黄叠印在品上，黄和青一起叠印在品上；或者先单独印黄，青叠印在黄上，品叠印在黄上，青和品一起叠印在黄上。为了获得每一种原色油墨的有效网点面积率c′、m′、y′，首先必须知道其相应的加权函数如青墨的fc、fc/m、fc/y和fc/my，这些函数关系取决于所用油墨是单独印在纸上，还是印在另一色油墨上或是印在另两色油墨上；主要根据实际印刷中采用的油墨、纸张经实验而定。就现在讨论的三种油墨CMY而言，考虑叠印网点扩大后的有效网点面积率为c′、m′、y′，并且假设各原色油墨的印刷是相互独立的，不会互相影响。印刷三原色油墨的有效网点面积率的计算方程如公式24至26所示。

青墨的有效网点面积率：

(24)

品墨的有效网点面积率：

(25)

黄墨的有效网点面积率：

(26)

具体计算步骤是将c′、m′、y′的初始值设为三原色油墨考虑了物理网点扩大后的网点面积率ac(σ)、am(σ)、ay(σ)，然后用数值分析中的迭代算法，一般经4到5次的迭代运算等式逐渐稳定，此时的网点面积率即为油墨的有效网点面积率c′、m′、y′。然后代入上一节中的公式23中即可计算出各叠印颜色的等效网点面积率，即ac′(σ)、am′(σ)、ay′(σ)、ar′(σ)、ag′(σ)、ab′(σ)、ak′(σ)、aw′(σ)。

这种在多色叠印时既考虑物理网点扩大又考虑油墨叠印扩大的情况，计算非常复杂，不便于使用；因此在本文的数值实验研究中未考虑油墨叠印扩大的情况。

5.3多色叠印墨层的透射率

TAB(x,y)=

(27)

推广到更一般的形式，如公式28所示。

(28)

5.4多色半色调Clapper-Yule扩展模型

三色油墨印刷时，考虑到叠印网点面积率以及墨层透射率的变化，将上节中得出的公式23和28代入到单色模型，即公式22中，即可得到三色半色调印刷的光谱预测模型，如公式29所示。

(29)

6数值实验与模拟

本节主要通过数值实验对比新模型、分程Clapper-Yule模型和经典Clapper-Yule模型的预测光谱值与实际测量值之间的色差来说明问题。由于自身实验条件受限，在验证过程中所涉及的大量实验数据均来自于文献[14]，本文主要验证了新模型对CMY三色油墨单独印制的印品的色彩预测能力。

由于墨层透射率是与墨点厚度有关的参数，如公式6所示。而考虑了墨点边缘羽化情况下的墨点厚度在前文中已有分析，公式4是利用二维高斯函数来模拟边缘羽化墨点的表面形态，考虑到计算的复杂度，本文将考虑墨点边缘羽化后的墨点厚度近似为公式30。

(30)

其中d是理想的二值半色调网点的厚度，假设墨点厚度d为一个单位高度，则d′为边缘羽化后墨点的相对高度；σ是表示墨点边缘坡度的实验参数，当坡度因为调整0.41时，墨点相对厚度d′随网点面积率的变化如图4所示。相同网点面积率时，加网线数越大的墨点厚度越大；网点面积率越大的墨点厚度越小。

Fig.4　Ink thickness and screen rulings

为了更好地研究由墨点边缘羽化导致的物理网点扩大以及透射率的变化对模型光谱反射率的影响，通过数值模拟，计算CMY三色不同网点面积率时新模型、经典Clapper-Yule模型、Clapper-Yule分程模型与实际测量的光谱反射率，其验证结果如图5至图10所示。并计算了各预测模型与实际测量值之间的色差，如表1所示。

Fig.5The spectral reflectance of models and actual prints at C25%

Fig.6The spectral reflectance of models and actual prints at C50%

Fig.7The spectral reflectance of models and actual prints at M25%

Fig.8The spectral reflectance of models and actual prints at M50%

Fig.9The spectral reflectance of models and actual prints at Y25%

Fig.10The spectral reflectance of models and actual prints at Y50%

Tab.1　The comparison of color differenceΔE*ab among models

以单色CMY油墨印刷为例，我们得到了三个模型(新模型、分程Clapper-Yule模型以及经典Clapper-Yule模型)以及参考文献中的实际测量值在不同网点面积率(25%和50%)时的光谱反射率曲线，通过对比曲线以及色差值我们可以得到以下结论。

1.经典Clapper-Yule模型的预测光谱反射率明显低于实际测量值，验证了经典Clapper-Yule模型的预测光谱偏暗的缺陷。

2.分程Clapper-Yule模型在经典Clapper-Yule模型的基础上将光分为两部分，通过分程系数b修正了光的传播。通过以上的光谱反射率曲线图我们也可以看出分程Clapper-Yule模型的预测值明显改善了经典模型预测偏暗的缺陷，但与实际测量值还是存在较大的差距，尤其对Y25%以及Y50%印品的光谱反射率预测效果不好。

3.本文中提出的新模型在分程Clapper-Yule模型的基础上考虑了墨点非边缘羽化的现象，由于墨点边缘铺展加大了油墨对光的吸收，一定程度上降低了光谱反射率。根据我们的数值模拟实验，明显看出新模型的预测值进一步的向实测值靠近，说明新模型具有较高的预测精度，同时这一预测趋势也与文献[11]的预测结果相一致，进一步说明了新模型的合理性及可行性，为研究墨点边缘羽化提供了新的研究思路。

7结论

本文采用二维高斯函数模拟墨点表面的形态，利用多重积分计算出墨点羽化后的体积，根据体积的恒常性即羽化前后墨点体积相等，推导出包含边缘坡度因子σ的网点面积率以及含墨层相对厚度因子的油墨透射率，由此建立一个新的Clapper-Yule扩展模型。数值实验结果表明，新模型既修正了经典Clapper-Yule模型预测光谱反射率偏暗的缺陷，又弥补了分程Clapper-Yule模型未考虑墨点边缘羽化而导致的物理网点扩大的问题。我们的研究指出在采用Clapper-Yule分程模型对印刷品的颜色进行预测时需考虑墨点边缘的羽化，本文研究的结论为检测颜色、管理色彩等领域提供了新的思路。

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Extending the Clapper-Yule Spectral Reflectance Model of Color Halftone Image with the Feathering of Ink Dot Edge

HE Xiao-min1,WANG Ying1,KE Neng1,ZHANG Yi-xin2*

(1.SchoolofInternetofThings,JiangnanUniversity,Wuxi214122,China;2.SchoolofScience,JiangnanUniversity,Wuxi214122,China)

Abstract:This paper investigates the effect of dot edge feathering (non-bilevel halftone image) on the spectral reflections,which provides a new angle of prediction model theory.The new extended Clapper-Yule model has been researched by introducing the two-dimensional Gaussian function to describe the surface of irregular ink dot,figuring out the volume of ink dot by multiple integral and deducing the dot area fraction related to edge gradient parameter σ and the ink layer transmittances related to ink relative thickness parameter,according to the equality of ink volume before and after the feathering.The numerical simulation of new model shows that the feathering of ink dot edge has caused the physical dot gain,the increases the absorption of light by the ink so decreases the ultimate spectral reflections.Using the branch-path Clapper-Yule model to predict the reflections must take the physical dot gain caused by the feathering of ink dot edge into account,and the new extended model can be applied to the color control of halftone images.

Key words:science of printing color; extended Clapper-Yule model; spectral reflections; dot edge feathering

中图分类号：TS801.3；TS807

文献标志码：A

doi:10.13883/j.issn1004-5929.201601012

作者简介：何晓敏(1990-)，女，福建邵武人，在读硕士，主要研究方向色彩预测建模.E-mail:769860400@qq.com通讯作者：张逸新(1956-),男，江苏无锡人，教授，主要研究方向空间量子光通信、太阳能系统和印刷质量控制数学建模.E-mail:zyx@jiangnan.edu.cn

收稿日期：2015-04-09; 修改稿日期:2015-04-22

文章编号：1004-5929(2016)01-0062-08