一类分数阶无穷点边值问题解的存在性和唯一性

武 瑜,王文霞

(太原师范学院 数学系，山西 晋中 030619)

0 引言

由于分数阶微分方程在热学、光学、生物组织学、黏弹性力学及材料学中的广泛应用，其理论研究近年来得到了快速发展，研究成果非常丰富，参见文献[1-5].最近，分数阶微分方程无穷点边值问题受到一些学者的关注，见文献[6-10].文献[6]研究了如下分数阶无穷点边值问题：

受上述文献启发，本文研究如下非线性项中含有分数阶导数项的分数阶边值问题：

(1)

其中n-1<α≤n，m-1<β≤m，m≤n-2，m≥1，ηj≥0，i∈[1，n-2]是一个整数，f:[0，1]×R×R→R是连续函数，0<ξ1<ξ2<…<ξj-1<ξj<…<1(j=1，2，…)，且

本文运用Schauder不动点定理以及Banach压缩映射原理，讨论边值问题(1)解的存在性与唯一性的充分条件.由于边值问题(1)的非线性项中涉及到分数阶导数项，因此本文使用的Banach空间以及条件与文献[6]不同.

1 预备知识和引理

定义1[1]连续函数f:(0，+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分为

其中，等式的右端在(0，+∞)有定义.

定义2[1]连续函数f:(0，+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶导数为

其中n=min{m∈Z:m≥α}，等式的右端在(0，+∞)有定义.

引理1[6]若y(t)∈C[0，1]，则下面边值问题

(2)

有唯一解u(t)，且

其中

引理2函数G(t，s)在[0，1]×[0，1]上是连续的，且∀(t，s)∈[0，1]×[0，1]，有

证明G(t，s)在[0，1]×[0，1]上连续是显然的.注意到

于是有

当0≤s≤t≤1时，

当0≤t≤s≤1时，

证毕.

注1 当u(t)为边值问题(2)的解时，计算可得：

其中

注2 类似于引理2的证明易证G1(t，s)在[0，1]×[0，1]上是连续的，且

根据文献[1]可知E为Banach空间.定义算子F:E→E如下：

(3)

根据注1可得：

(4)

引理3[1](Schauder不动点定理)设Χ是实Banach空间E中的一个非空有界凸闭集，A:Χ→Χ全连续，则A在Χ中存在不动点.

引理4[1](Banach压缩映射原理)设(Χ，ρ)是一个完备的度量空间，F⊆Χ为闭集，映射T:F→F，如果存在k∈(0，1)，使得对任意x，y∈F，都有

ρ(Tx，Ty)≤kρ(x，y)，

则T在F中存在唯一不动点.

2 主要结果

定理1设f∈C([0，1]×R×R，R)，且存在非负函数p(t)，q(t)，r(t)∈L1[0，1]，使得

|f(t，u，v)|≤p(t)|u|+q(t)|v|+r(t)，∀t∈[0，1]，∀(u，v)∈R2.

若

则边值问题(1)至少有一个解.

证明 选取

令

Ω={x:x∈E，‖x‖≤K}.

首先证明F:Ω→Ω.对∀u∈Ω，有

故‖Fu‖≤K.所以F:Ω→Ω.

其次证明F:Ω→Ω是连续的.设{un}⊂Ω，u∈Ω，当n→+∞时，有‖un-u‖→0，故存在常数r0>1，使得‖u‖

由Lebesgue控制收敛定理可知，

所以‖Fun-Fu‖→0，n→+∞，即F:Ω→Ω是连续的.

最后证明F:Ω→Ω是相对紧的.设Ω1是Ω的有界集，则存在常数r1>1，使得对任意的u∈Ω1，有‖u‖

此外，因G(t，s)，G1(t，s)在(t，s)∈[0，1]×[0，1]一致连续，即∀ε>0，∃δ>0，使得当t1，t2∈[0，1]，t1>t2，|t1-t2|<δ时，有

故

即FΩ1等度连续.

由Arzela-Ascoli定理可知，算子F:Ω→Ω是全连续算子，故由引理3可知边值问题(1)在Ω中至少有一个解.证毕.

定理2设f∈C([0，1]×R×R，R)，且存在L1(t)，L2(t)∈L1[0，1]，使得

|f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)|≤L1(t)|u1-u2|+L2(t)|v1-v2|，∀t∈[0，1]，ui，vi∈R，i=1，2.

若

则边值问题(1)有唯一解.

证明 ∀u，v∈E，∀t∈[0，1]，有

因此，‖Fu-Fv‖≤θ‖u-v‖.又因为0<θ<1，故F为压缩映射.于是，由引理4可知边值问题(1)有唯一解，证毕.

3 例子

例1考虑下面边值问题：

(5)

f(t，u，v)≤p(t)|u|+q(t)|v|+r(t)，

及

故

于是定理1的条件都满足，故边值问题(5)至少存在一个解.

例2考虑下面边值问题：

(6)

|f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)|≤L1(t)|u1-u2|+L2(t)|v1-v2|，

0<θ≈0.634 8<1.

于是定理2的条件满足，故边值问题(6)有唯一解.