半序偏b-度量空间中压缩映像的不动点定理

彭 荣

(广东培正学院 数据科学与计算机学院，广州 510830)

0 引言及预备知识

不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系，在求各类方程的唯一解方面中起着重要作用，许多学者对它进行了大量研究，其中对空间结构的推广是研究的重要方向之一[1]．1922年，Banach S在度量空间证明了Banach压缩映像原理．随后，该定理被学者进行了各种不同形式的改进和推广[2-13]．2004年，Ran和Reurings研究了偏序集上的不动点问题，并证明了偏序集上的不动点定理[4]．2014年，Satish Shukla在偏度量空间和b-度量空间的基础上提出了偏b-度量空间的概念，证明了偏b-度量空间中的不动点定理[14]．最近，有学者考虑在偏b-度量空间中引入偏序关系，并证明了半序偏b-度量空间中一些不动点结果[13-15]．受此启发，本文在半序偏b-度量空间中，在空间非完备的条件下讨论一类广义压缩型映像的不动点存在性唯一性问题，推广和改进一些已有的文献结果．

为叙述方便，下面首先介绍一些相关的概念与结论．

定义1[10]设X是非空集合，函数d:X×X→[0,+∞)对任意x,y,z∈X满足

(i)d(x,x)=d(x,y)=d(y,y)当且仅当x=y；

(ii)d(x,x)≤d(x,y)；

(iii)d(x,y)=d(y,x)；

(iv)d(x,y)≤s(d(x,z)+d(z,y))-d(z,z)，

则称d是X上的偏b-度量，s是度量系数，(X,d)是偏b-度量空间．

注1每一个偏度量空间和b-度量空间都是偏b-度量空间，但反之不真．如果d是X上的一个偏b-度量，d(x,y)=0则由(i)和(ii)知x=y．反之若x=y时d(x,y)不一定为0．

例1[10]设X=[0,+∞)，d:X×X→[0,+∞)是一个函数，令d(x,y)=(max{x,y})2

则d是X上的偏b-度量，系数s=2．可以验证d既不是偏度量也不是b-度量．

定义2[11]设(X,d)是一偏b-度量空间，s是系数，序列{xn}⊆X．

定义3[11]设(X,d)是一偏b-度量空间，s是系数，序列{xn}⊆X．

2)如果每一个X中的0-Cauchy序列{xn}都存在x∈X，使得

则称(X,d)是0-完备的偏b-度量空间．

注2在偏b-度量空间中，序列的收敛极限可能不唯一．每个0-Cauchy列都是Cauchy列，反之不然．每个完备的偏b-度量空间一定是0-完备的，反之不一定成立．具体例子可以参见文献[10]．

定义4设(X,⪯)是一半序集，d是X上的偏b-度量空间，则称(X,⪯,d)是一个半序偏b-度量空间．

定义5[12]设(X,d)是一半序偏b-度量空间，f:X→X是自映像，A⊆X，定义δ(A)=sup{d(x,y)|x,y∈A}，对任意的x∈A，n∈N，记

OA(0,∞)={x,fx,f2x,…,fnx，…}

称为f在x处生成的轨道．

定义6[12]如果A中每个OA(0,∞)中的Cauchy序列都收敛于x*∈A，称空间(X,d)关于A是f-轨道完备．

定义7[12]如果ΟA(0,∞)中每一个严格单调增的序列都收敛于A中且极限值为序列的严格上界，即如果{xn}⊆ΟA(0,∞)且严格单调增，则xn→x*∈A且xnx*，称(X,d)关于A是轨道完备．

定义8[14]设函数ψ:[0,+∞)→[0,+∞)满足以下条件：

(ψ1)ψ连续且单调不减；

(ψ2)ψ(t)=0当且仅当t=0，

则称ψ是距离改变函数．

1 主要结果

ψ(sd(fx,fy))≤ψ(d(x,y))-φ(d(x,y))，

(1)

其中ψ是改变距离函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞)是下半连续函数，φ(t)=0当且仅当t=0，则f在A中存在唯一不动点．

证明 由A≠∅知存在x0∈A且x0⪯f(x0)．不妨假设x0fx0，若不然，则有x0=f(x0)可知x0为不动点．取x1=fx0，由f(A)⊆A知x1∈A且x0x1．同理取x2=fx1，若x1=fx1，则x1为不动点，否则x1x2．依此类推，可以构造序列{xn}⊆A，使得对任意n∈N，

xn+1=f(xn)且xnxn+1．

(2)

ψ(sd(xn,xn+1))=ψ(sd(f(xn-1),f(xn))≤ψ(d(xn-1,xn))-φ(d(xn-1,xn))．

(3)

又因为函数ψ，φ单调不减，故

ψ(d(xn,xn+1))≤ψ(sd(xn,xn+1))，

(4)

ψ(d(xn-1,xn))-φ(d(xn-1,xn))≤ψ(d(xn-1,xn))．

(5)

ψ(d(xn,xn+1))≤ψ(d(xn-1,xn))-φ(d(xn-1,xn))．

(6)

2)证明{xn}是0-Cauchy序列．若不然，假设{xn}不是0-Cauchy序列，则存在{xn}子列{xmk}和{xnk}，存在ε0>0，当nk>mk>n0∈N时，nk是相对mk最小指数，使得

d(xmk,xnk)≥ε0，

(7)

d(xmk,xnk-1)<ε0．

(8)

由(7)(8)式及定义1(iv)式可得

d(xmk-1,xnk-1)≤s(d(xmk,xmk-1)+d(xmk,xnk-1))-d(xmk,xmk)≤

sε+sd(xmk,xmk-1)-d(xmk,xmk)，

(9)

同理由(7)(8)及定义1(iv)式可得

ε0≤d(xmk,xnk)≤s(d(xmk,xmk-1)+d(xmk-1,xnk))-d(xmk-1,xmk-1)≤

sd(xmk,xmk-1)+s(s(d(xmk-1,xnk-1)+d(xnk-1,xnk))-d(xnk-1,xnk-1))-d(xmk-1,xmk-1)=

sd(xmk,xmk-1)+s2d(xmk-1,xnk-1)+s2d(xnk-1,xnk)-sd(xnk-1,xnk-1)-sd(xmk-1,xmk-1)．

取下极限令k→+∞可得

(10)

由(1)和(7)式及ψ的单调性可得

ψ(sε0)≤ψ(sd(xmk,xnk))≤ψ(d(xmk-1,xnk-1))-φ(d(xmk-1,xnk-1))

令k→+∞取上极限可得

ψ(sd(xn+1,fx*))=ψ(sd(fxn,fx*))≤ψ(d(xn,x*))-φ(d(xn,x*))．

令n→+∞取极限得

ψ(sd(x*,fx*))≤ψ(d(x*,x*))-φ(d(x*,x*))≤ψ(d(x*,fx*))-φ(d(x*,x*))．

因此φ(d(x*,x*))=0，d(x*,x*)=0，于是ψ(sd(x*,fx*))=0，所以d(x*,fx*)=0，即fx*=x*．

3)证明不动点x*是唯一的．若不然，假设存在y*∈A使得fy*=y*且y*≠x*，由(1)式可知

ψ(sd(x*,y*))=ψ(sd(fx*,fy*))≤ψ(d(x*,y*))-φ(d(x*,y*))

因此d(x*,y*)=0，由定义知x*=y*，即x*是唯一不动点．

定理2设(X,d,⪯)是一半序偏b-度量空间，系数s≥1，f:X→X是一压缩型映像，集合A={x|x⪯fx,x∈X}非空，f(A)⊆A且对任意x,y∈A满足

sd(fx,fy)≤d(x,y)-φ(d(x,y))

证明 令ψ(x)=x，仿照定理1证明．

定理3设(X,d,⪯)是一半序偏b-度量空间，系数s≥1，f:X→X是一压缩型映像，集合A={x|x⪯fx,x∈X}，f(A)⊆A非空且对任意x,y∈A满足

d(fx,fy)≤λd(x,y)

2 举例

ψ(d(x,y))-φ(d(x,y))=2y2-y2=y2

显然ψ(d(fx,fy))≤ψ(d(x,y))-φ(d(x,y))，因此满足定理1的压缩条件，故由定理1可知f在A上有唯一的不动点x=0．