一类波波方程的解的间接稳定性

兰 杰

(山西财贸职业技术学院，山西 太原 030031)

0 引言

偏微分系统的解的稳定性问题一直是学者的研究热点[1-4].而弹性系统的解的间接稳定性问题，更引起了进一步的讨论[5-6].

本文研究的是如下波波方程系统：

(1)

系统满足罗宾边界条件：

本文做如下设定：

(2)

3.系统的总能量：

其中Re(z)表示复数z的实部.我们很容易得到能量的以下关系式：

μ1[E1(u，m)+E2(v，n)]≤E(U(t))≤μ2[E1(u，m)+E2(v，n)].

4.定义符号：

1 主要结论

定理本文所研究的系统(1)，在以上的设定下，若

i⊂ρ()

则系统(1)的解存在间接稳定性.

2 主要结论的证明

由文献[1]可知，要证明本文的结论，只需证明

其中|b|≥max(1，β)，b∈.

即存在只与空间Ω和α有关的常数Lα，使得

|W|≤Lα|b|4|U|

即证得(3)，即可证明本文结论，那系统(1)的解存在间接稳定性.

(3)

(4)

(5)

则由设定4和(4)式的第一个式子可得

(6)

Cα是广义的只与空间Ω和α有关的常数.

(7)

应用Hölder不等式、Young’s不等式及(6)式可得

(8)

(9)

(10)

将(8)(9)(10)代入(7)式中可得

(11)

(12)

(13)

应用Hölder不等式、Young’s不等式可得

即：

(14)

由(6)式及Young’s不等式可得

(15)

这里D是广义的与α和b无关的常数，则由Hölder不等式及(12)(14)得

由Young’s不等式可知，存在参数ε→0+，及与ε相关的广义的正常数Dε和Cα，ε使得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

由(16)—(20)可得

(21)

综合(15)和(21)可得

(22)

由(4)式的第三个式子可得

(23)

则由(5)(11)(23)(24)可得

应用Young’s不等式可得

|W|2≤Dα|b|8|U|2.

即得证，即满足设定条件系统(1)的解存在间接稳定性.