某类特殊p群的共轭类探讨

张慧玲

(太原学院 数学系，山西 太原 030001)

0 引言

正规子群在研究群的结构中起着重要作用，具有“较多”正规子群的有限群的研究一直是群论学中的一个重要研究内容，换句话说，研究具有“较少”非正规子群的有限群的结构成为群论学中的一个重要研究内容，对这个内容的研究主要有以下两个方面：一、研究非正规子群的具体个数较小的有限群，如文献[1]；二、研究非正规子群的共轭类数较小的有限群，如文献[2].ν(G)这个符号由R.Brandl于1995年在文献[3]中首次引入，它表示有限群G的非正规子群的共轭类数.我们关心的是ν(G)较小的有限p群，在文献[4]中，可以看出，ν(G)较小的有限p群都与内交换p群有关，因此，研究内交换p群以及与内交换p群相关的有限p群的ν(G)是非常有必要的，文献[5]已经讨论了内交换p群的非正规子群的共轭类数，且由文献[5]可知，ν(G)较小的内交换p群除了Mp(1,1,1)外都是亚循环的，本文对亚循环的内交换p群与p阶循环群的直积进行讨论，给出了ν(G)的具体计算公式.

1 预备知识

本文用到一些具体的符号，其中d(G)表示群G的秩，G′表示群G的导群，NG(H)表示H在G中的正规化子，Cpm表示pm阶循环群，Z(G)表示群G的中心，Ω1(G)={g|gp=1,g∈G}，其它符号和术语均是标准的.

引理3([7]，定理2.3.7) 设G是内交换p群，则G是下列互不同构的群之一：

1)Q8；

2)Mp(n,m)=〈a,b|apn=bpm=1,ab=a1+pn-1〉,n≥2,m≥1,(亚循环情形)；

3)Mp(n,m，1)=〈a,b,c|apn=bpm=cp=1,[a,b]=c,[c,a]=[c,b]=1〉,n≥m,当p=2时，m+n≥3，(非亚循环情形).

引理4([5]，命题2) 设G是亚循环的内交换p群，若H

引理5([8]，定理1) 当(a,m)=1时，同余方程ax≡b(modm)必有解，且其解数为1.

引理6([5]，命题1) 设G是有限p群，满足|G:Z(G)|=p2，若H≤/G，则|G:NG(H)|=p.

为了讨论内交换p群与p阶循环群直积的非正规子群的共轭类数，下面的命题告诉我们，此类群中的非正规子群要么循环，要么亚循环.

命题设G≅Mp(n,m)×Cp，任意的K

证明：由引理1知，只需证G′≤K.若否，由|G′|=p知，G′∩K=1，由d(K)≥3知，存在L≤K，使得L≅Cp×Cp×Cp.又因L∩G′=1可知：LG′≅Cp×Cp×Cp×Cp，于是LG′≤Ω1(KG′)≤Ω1(G)≅Cp×Cp×Cp，矛盾.

2 主要结论

下面对亚循环的内交换p群，分n≥m和n

定理1设G≅Mp(n,m)×Cp，n≥m≥2,若p=2且n=2时，m≠1，则ν(G)=2pm.

证明 不妨令G=〈a,b,c|apn=bpm=cp=1,[a,b]=apn-1,[c,a]=[c,b]=1〉.

设H=〈bjaick〉，有(bjaick)pm=aipm≠1，于是G′≤〈aipm-1〉≤〈bjaick〉≤H.

由1)-4)知：G的非正规子群只能为pm阶循环群和pm+1阶形如Cpm×Cp的亚循环群.

下求G的所有非正规子群：

为了讨论pm阶非正规子群的个数，由辗转相除法知，存在l1,l2,…,lm，使得upn-m=l1pn-1+l2pn-2+…+lmpn-m，其中1≤li≤p，i=1,2,…,m，从而pm阶非正规子群为〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-mcv〉，于是pm阶非正规子群最多为pm+1个.

下面来证形如〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-mcv〉的子群随着参数的不同而不同：若否，〈bal11pn-1al21pn-2…alm1pn-mcv1〉=〈bal12pn-1al22pn-2…alm2pn-mcv2〉，则存在整数s，(s,p)=1，使得(bal11pn-1al21pn-2…alm1pn-mcv1)pm-1=(bal12pn-1al22pn-2…alm2pn-mcv2)spm-1，于是bpm-1al11pn+m-2al21pn+m-3…alm1pn-1=bspm-1al12pn+m-2al22pn+m-3…alm2pn-1，由于〈a〉∩〈b〉=1，故s=1，l1i=l2i，i=1,2,…,m，v1=v2，故pm阶非正规子群为pm+1个.

其次求所有pm+1阶形如Cpm×Cp的非正规子群，显然，这里的Cpm就是上述所求的pm阶非正规循环子群，即Cpm≅〈baupn-mcv〉，故只需求G中所有的p阶元，设其为bjaick，于是(bjaick)p=bjpaip=1，pm-1|j，pn-1|i，故p阶元有形式bj′pm-1ai′pn-1ck，其中i′,j′,k=1,…,p，又由于这里的p阶元不属于Mp(n,m)，故(k,p)=1，此时一定存在整数s,t，使得〈bj′pm-1ai′pn-1ck〉=〈btpm-1aspn-1c〉，于是pm+1阶非正规子群只能有形式〈baupn-mcv〉×〈btpm-1aspn-1c〉,其中s,t=1,…,p.

为了讨论pm+1阶非正规子群的个数，令H=〈baupn-mcv〉×〈btpm-1aspn-1c〉，下面通过两步对H中的参数进行消减，使得H总可化为〈bau′pn-m〉×〈as′pn-1c〉，其中u′=1,…,pm，s′=1,…,p：

第一步，H总可以化为〈bau′pn-mcv′〉×〈as′pn-1c〉，这是因为，若t=p，显然成立；若t≠p，则(t,p)=1，于是一定存在s″，使得〈btpm-1aspn-1c〉=〈bpm-1as″pn-1c〉，从而〈baupn-mcv〉×〈bpm-1as″pn-1c〉=〈baupn-mcv,(baupn-mcv)-pm-1bpm-1as″pn-1c〉=〈baupn-mcv,a(s″-u)pn-1c〉，令s′=s″-u即可.

第二步，在第一步的基础上，H总可以化为〈bau′pn-m〉×〈as′pn-1c〉，这是因为，若v′=p，显然成立；若v′≠p，则(v′,p)=1，于是一定存在u″，使得〈bau′pn-mcv′〉=〈bau″pn-mc〉，从而〈bau″pn-mc〉×〈as′pn-1c〉=〈bau″pn-mc(as′pn-1c)-1,as′pn-1c〉=〈bau″pn-m-s′pn-1,as′pn-1c〉，令u′=u″-s′pm-1即可.

同样，由辗转相除法知，形如〈bau′pn-m〉×〈as′pn-1c〉的子群可表示为〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-m〉×〈as′pn-1c〉，同理可证形如〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-m〉×〈as′pn-1c〉的子群随着参数的不同而不同，于是pm+1阶非正规子群的个数为pm+1个.

综上可知，G的非正规子群的个数为2pm+1个，由引理6知，其共轭类的长度为p，故ν(G)=2pm.

推论设G≅Mp(n,m)×Cp，n≥m≥2,若p=2且n=2时，m≠1，则其非正规子群的每个共轭类的代表元为〈bal2pn-2…almpn-mcv〉、〈bal2pn-2…almpn-m〉×〈aspn-1c〉，其中l2,…,lm,v,s=1,2,…,p.

证明：由定理1知，pm阶非正规子群为〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-mcv〉，pm+1阶非正规子群为〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-m〉×〈aspn-1c〉，由于〈bal2pn-2…almpn-mcv〉a-l1=〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-mcv〉，(〈bal1pn-1al2pn-2…almpn-m〉×〈aspn-1c〉)a-l1=〈bal2pn-2…almpn-m〉×〈aspn-1c〉，故推论成立.

定理2设G≅Mp(n,m)×Cp，2≤n

证明 不妨令G=〈a,b,c|apn=bpm=cp=1,[a,b]=apn-1,[c,a]=[c,b]=1〉.

由定理1的2)-4)知：G的非正规子群只能为pn～pm阶循环群以及它们与Cp直积的亚循环群下求G的所有非正规子群：

首先求pn～pm阶循环的非正规子群，设p2≤pn≤|K|≤pm且K循环.令|K|=pl知：2≤n≤l≤m，下求所有pl阶子群：因为(bjaick)pl=bjplaipl=bjpl=1,故pm-l|j,令j=j1pm-l,则bjai=bj1pm-lai,1≤j1≤pl.又群〈bj1pm-laick〉总可以化为形式〈bpm-sai′ck′〉的群，其中n≤s≤m，故若s=m，则〈bpm-kai′ck′〉=〈bai′ck′〉，1≤i′≤pn，1≤k′≤p.此时非正规子群至多有pn+1个；若n≤s

其次求上述pn～pm阶循环群与Cp直积，由定理1知，G中p阶循环子群一定是形如〈btpm-1awpn-1c〉的子群，于是此种类型的非正规子群有形式〈bpm-saick〉×〈btpm-1awpn-1c〉,其中w,t=1,…,p.为了讨论非正规子群的个数，令H=〈bpm-saick〉×〈btpm-1awpn-1c〉，利用与定理1同样的方法对H中的参数进行消减，使得H总可化为〈bpm-sai′〉×〈aw′pn-1c〉，其中w′=1,…,p，于是若s=m，则非正规子群至多有pn+1个；若n≤s

同理可证上述非正规子群随着参数的不同而不同，于是，G的非正规子群的个数为2pn+1+2(m-n)(pn+1-pn)个，由引理6知，ν(G)=2pn+2(m-n)(pn-pn-1).