不确定序列几乎必然收敛的几个性质

孙秀花

(晋中学院 数学系，山西 晋中 030600)

不确定测度[1-4]、不确定变量[5]、不确定分布[6]是不确定理论中三个基本的概念，收敛性是不确定变量序列(简称不确定序列)的性质之一，几乎必然收敛是Liu[1]2007年提出的，本文主要研究了不确定序列几乎必然收敛的几个性质，这些性质对不确定序列的几乎一致必然收敛[7-8]、依测度收敛[9]及依度量收敛[10]的性质研究具有一定的意义.

1 预备知识

定义1.1[1]设Γ为一个非空集合，L是Γ上的σ-代数.L中的每一个元素称为一个事件.如果集函数M:L→R满足：

(ⅰ)(正规性)M(Γ)=1；

(ⅱ)(单调性)若A1⊂A2，则M(A1)≤M(A2)；

(ⅲ)(自对偶性)M(A)+M(Ac)=1，∀A∈L；

则称M为不确定测度，(Γ，L，M)为不确定测度空间.

定理1.1[1]对于任意的事件Λ，有M()=0和0≤M(Λ)≤1.

定理1.2[10]假设事件Λ1,Λ2，满足M(Λi)=1,i=1,2那么M(Λ1∩Λ2)=1.

定义1.2[1]从不确定测度空间(Γ，L，M)到实数集的实值可测函数称为不确定变量.

定义1.4设ξ,η是定义在不确定测度空间(Γ，L，M)上的不确定变量，

(ⅰ)称ξ与η几乎处处相等，如果M{x∈Γ|ξ(x)≠η(x)}=0，记作ξ～η或ξ=η，a.e.；

(ⅱ)称ξ(x)小于等于η(x)，如果对∀x∈Γ,有ξ(x)≤η(x)，记作ξ≤η.

定理1.3[1]设ξ1,ξ2,…,ξn是不确定变量，函数f:n→是可测的实值函数，则ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)是不确定变量.

2 不确定序列几乎必然收敛的性质

以下定理中的{ξn},{ηn}是不确定测度空间(Γ，L，M)上的不确定序列，ξ,η是(Γ，L，M)上的不确定变量.

ξn(x)→ξ(x)(n→∞),

(1)

ξn(x)→η(x)(n→∞),

(2)

令C=A∩B，则由定理1.2得M(C)=1，在C上，式(1)和式(2)同时成立，根据极限的唯一性得，

ξ(x)=η(x)，∀x∈C.

所以

{ξ(x)≠η(x)}⊂Cc，

根据不确定测度的单调性和自对偶性有

M{ξ(x)≠η(x)}≤M(Cc)=1-M(C)=0

再由测度的非负性知M{ξ(x)≠η(x)}=0，即ξ=η，a.e.

ξn(x)→ξ(x)(n→∞),

ηn(x)→η(x)(n→∞),

令C=A∩B，则M(C)=1,则在C上有，

ξn(x)+ηn(x)→ξ(x)+η(x)(n→∞)

证明 当α=0时，显然成立；

结合定理2.2和定理2.3可得下面推论：

证明 应用公式

由定理2.3和推论2.1易知结论成立.

证明 因为f(x)为上的连续函数，所以f(x)为可测函数，又ξn和ξ为不确定变量，由定理1.3 知对任意的ξn和ξ，f(ξn)和f(ξ)也为不确定变量.若(n→∞)，则存在集合A且M(A)=1,在A上，ξn(x)→ξ(x)(n→∞),又f(x)为上的连续函数，知f(x)在A上也连续，所以f(ξn(x))→f(ξ(x))(n→∞),即(n→∞).

M{ξ(x)<0}≤M(Ac)=1-M(A)=0

再由不确定测度的非负性，知M{ξ(x)<0}=0.即ξ≥0，a.e.

3 不确定序列几乎必然收敛的判定方法

定理3.1设ξ，ξ1,ξ2,…,ξn是定义在不确定测度空间(Γ，L，M)上的不确定变量，则

所以在A上也有

ξ2n(x)→ξ(x),ξ2n+1(x)→ξ(x)(n→∞)，