具有部分缺失数据混合伽马分布参数的估计

于新龙，王婷婷,杨 航

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平136000)

0 引言

在统计学中，伽马分布是一种重要的连续概率函数，在交通安全理论中也有着重要作用.近年来，研究学者们也对这类分布的统计性质进行了各种研究.文献[1]对伽马分布的形状参数进行了估计，并且给出了该估计在交通流演化规律中的一些应用；文献[2]给出了对数伽马分布的尾部性质；文献[3]研究了在损失函数下逆伽马分布参数的Bayes估计问题；文献[4]讨论了在样本数据不完全情形下，利用极大似然估计方法对两个伽马分布总体参数进行统计推断；而文献[5-7]研究了多种分布在数据缺失样本下的相关算法及置信区间问题.本文通过对上述文献的研究，提出了在具有部分缺失数据下的混合伽马分布总体的参数估计问题，主要通过矩估计法，证明了估计的优良性，并且建立了混合伽马分布总体参数相等的检验统计量.最后，利用随机模拟给出两参数估计的均方误差，通过观察均方误差的大小，来说明该估计的优劣.

1 矩估计及其渐进性质

假设混合伽马分布，其密度函数为:

其中，总体的未知参数为θi>0(i=1,2)，α>0为已知参数，对两个混合伽马分布进行n次独立观测，在进行观测的时候，每一个样本以1-Ρ的概率缺失.总体观测值为(Xi,δi)(i=1,2,…,n).其中Xi表示混合伽马分布总体的第i个样本观测值，若第i个样本值丢失，则δi=0，否则δi=1.

下面考虑θ1,θ2的矩估计.基于样本观测值为(Xi,δi)(i=1,2,…,n)，我们可以建立如下的矩估计方程:

其中

解方程得:

对上述参数θi(i=1,2)的矩估计，下面证其相合性和渐进正态性.

证明 因为{Xi,δi,1

同理可得:

从而可得:

θ2,a.s.

定理2在上述记号下，有：

令Σ=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，于是由多元中心极限定理可得:

令:

从而可得:

g1(T1n,T2n,T3n)=

由引理1知:

且

同理令:

根据引理1

其中:

2 混合总体参数相等的检验和混合总体参数之差的渐进置信区间

在现实中 ，我们常常会注重两样本是否来自同一总体，此类问题可转化为检验混合总体参数是否相等的问题.考虑下面假设检验：

H0:θ1-θ2=0↔H1:θ1-θ2≠0.

在原假设成立下，有:

其中:

3 模拟研究

下面通过Matlab编程进行随机模拟，来说明此方法的可行性.当已知参数α=2时，分别给定样容量n=100,n=300,n=500,混合概率q=0.7，缺失概率1-P=0.1的模拟研究结果，其中在给定不同参数真值θ1,θ2时，各参数估计的均方误差随机模拟1 000次的平均值如表1所示.

表1 模拟结果

根据模拟结果可以看出，无论样本量较大还是较小，参数估计的均方误差都比较稳定，在可接受的范围内，因此说明此方法具有一定的可行性.