中立型双曲泛函微分方程边值问题的可解性分析

徐校会

(滁州城市职业学院 教育系，安徽 滁州 239000)

0 引言

近年来，随着现代科学技术的发展，在自然科学与社会科学的许多学科中，例如动力学、生物遗传工程、控制论和医学等，提出了大量新的泛函微分方程问题，急需用相关的数学理论去解决[1-3].虽然很多学者对泛函微分方程边值问题的可解性理论作了很多工作，也取得了一些成果，但由于大部分研究不考虑方程问题边值问题的振动准则[4,5]，导致对于中立型双曲泛函微分方程边值问题的可解性研究难以取得进一步突破[6]，为了解决该问题，在应用意义和数学理论上，需要在意义更宽广的条件下研究非线性中立型双曲泛微分函数方程[7-9].

本文对中立型双曲泛函数微分方程边值问题的可解性进行分析[10,11]，分别从两个方向进行分析.一方面以振动准则为基础，分析该方程边值问题的可解性[12]；另一方面去除振动准则的情况下研究该方程边值问题的周期解.

1 振动准则下的周期解分析

(1)

(Ai)

其中，Z表示∂Ω上的单位外法向量，e(x,t)∈D(∂Ω,R+)

给出以下条件：

(F1)fj(w)∈D(R,R),wfi(w)>0对w≠0，且在(0,+∞)内fi(w)是凸函数，j∈J;

(F2)τj是非负常数，0<τj<τ，且ϑj(t)，λk(t)∈D(R+,R+)有界，i∈I,j∈J,k∈K.

引理1假设条件(F1)～(F2)成立，若w(x,t)是边值问题(Ai)(i=1,2,3)在Ω×[T,+∞)(T≥0)的一个正解，则微分不等式为：

(2)

1.1 超线性情形

则边值问题(1)～(A)有一个有界的最终正解.

则AD区间内存在一个有界闭凸集[18]，用S表示.再定义如下算子T：S→AD：

(3)

其中T=t0+λ，对t≥T

(4)

(5)

则

(6)

因此，S上存在一个压缩算子T.由压缩映象原理得[19]，T在S上有一个不动点U*=U*(t).则：

(7)

易知U*(t)是方程(8)的一个有界最终正解：

(8)

其式(8)中ΔU*(t)=0，ΔU*(t-λk(t))=0，通过式(8)得：

(9)

1.2 次线性情形

定理2(D3)fj(w)(∀j∈J)是增函数；

(10)

再选择整数n>0满足nτ≥λ，(n+1)τ

定义如下函数：

(11)

(12)

否则，存在t1∈(t0,∞)使得下列两种情形成立.

若(V1)成立，通过式(11)和(12)，知：

(13)

式(13)矛盾，则(V1)不成立,如果(V2)成立，则

(14)

式(14)也矛盾，因此(V2)不成立，因此(12)式成立，易知U(t)满足方程：

(15)

注意到ΔU(t)=0和ΔU(t-λk(t))=0，通过(15)式得：

(16)

2 去除振动准则的周期解分析

对于中立型双曲泛函微分方程边值问题的研究，通常情况下利用特征值问题研究振动准则下的周期解情况比较多[21-23]，而去除振动准则情况下的中立型双曲泛函微分方程并未发现研究[24].本文研究去除振动准则情况下的中立型双曲泛函微分方程边值问题的可解性分析[25].

另一方面去除振动准则的情况下研究方程(1)边值问题的周期解[26]，简化该二阶中立型泛函微分方程为：

w″(t)=dw″(t-δ)+b(t)w(t)=μf(t,w(t-τ(t)))

(17)

研究该方程的周期正解，参数和常数分别是μ>0和d，δ且|d|<0.采用锥拉伸压缩理论和一些分析方法[27]，分析了该方程周期正解.

为了使方程(17)的解更简便，做出如下假设：

(F3)b(t)∈D(R,(0,+∞))，τ(t)∈D(R,R)，f∈D(R×[0,∞),[0,∞))，f(t,w)>0，(w>0)，R=(-∞,+∞)；

为了方便描述，给出以下定义和引理.

2.1 几个引理

针对重要定理，将其中比较容易证明的引理给出了结论.

令X={x|x∈D(R,R),x(t+ω)=x(t),t∈R}.若x∈X，定义‖x‖=max{|x(t)|：t∈[0,ω]}，则X属于一个Banach空间.

y″(t)+b(t)(B-1y)(t)=μf(t,(B-1y)(t-τ(t))).

(18)

引理2y(t)是式(18)的解，当(B-1y)(t)是方程(17)的解时，将方程(17)改写成：

(19)

其中，E(y(t))=y(t)-(B-1y)(t)=-c(B-1y)(t-δ).

1)若η>0，使得f(t,(B-1y)(t-τ(t)))≥η(B-1y)(t-τ(t))，(t∈[0,ω),y∈K)，则

2)若∈>0，使得f(t,(B-1y)(t-τ(t)))≤∈(B-1y)(t-τ(t))，(t∈[0,ω),y∈K)，则

(20)

2.2 主要结果分析

‖Pμy‖≥μC1ωn(r1)>‖y‖,(∀y∈∂Ωr1,μ>μ0)

(21)

(22)

(23)

且Ωr1⊂Ωr3.通过Krasnoselskii锥拉伸锥压缩不动点定理得知，y是Pμ在Ωr3/Ωr1的一个不动点，当μ>μ0时，(B-1y)(t)是方程(23)的正ω-周期解.

(24)

(25)

(26)

通过式(26)可知，Ωr3⊂Ωr1.则Pμ在Pr1/Pr2最少有一个不动点y，当0<μ<μ0时，(B-1y)(t)是方程(17)的ω-周期解.

(27)