时滞奇异摄动不确定系统的H∞控制

王永超

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

0 引言

奇异摄动系统控制理论能够更加准确地对客观实际建模[1-2]，但时滞系统的控制问题是一大理论难题，不确定性的存在往往使得控制系统失稳失衡，文献[3-6]讨论了H∞控制问题，但具有较大的保守性，因而研究时变时滞奇异摄动不确定系统的H∞控制问题具有极其广泛的理论空间和应用价值.

1 预备知识

对于矩阵X，用sym(·)表示X+XT，*表示矩阵中的对称部分转置，diag{·}表示对角矩阵.

考虑如下时变时滞奇异摄动不确定系统[7]:

(1)

(2)

其中，τ，μ是已知的实常数；φ(t)是连续向量初始值函数.F(t)∈Ri×j是具有勒贝格(Lebesgue)可测元的适当维数的不确定实矩阵，其不确定性满足范数有界条件:FΤ(t)F(t)≤I

(3)

欲设计系统(1)的输出反馈H∞控制器如下:

u(t)=Ky(t)

(4)

其中，K是待定的适当维数的控制器增益矩阵.

进而系统(1)与无记忆输出反馈H∞控制器 (4)构成的闭环系统为:

(5)

对给定的标量γ>0，针对闭环系统(5)，若满足如下条件:

1)闭环系统(5)是渐近稳定的.

2)在零初始条件下，∀ω∈L2[0，∞)，‖y‖2≤γ‖ω‖2.则满足以上条件的控制器(4)就成为系统(1)的无记忆输出反馈H∞控制器.

引理3[10]对于适当维数的矩阵E，D，对称矩阵Y，不确定性矩阵F(t)满足FT(t)F(t)≤I，则

Y+EF(t)D+DTFT(t)ET<0

的充要条件是:存在正常数η>0，使得Y+ηEET+η-1DTD<0.

1)S<0 ;

2 主要内容

Z1>0

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

则闭环系统(5)是渐近稳定的，在零初始条件下，∀ω∈L2[0，∞)，满足‖y‖2≤γ‖ω‖2.

证明 不妨假设ω(t)=0，定义如下 Lyapunov-Krasovskii 泛函：

其中Q是待定的对称正定矩阵，即Q>0.

由于

E(ε)Z(ε)=(E(ε)Z(ε))T=ZT(ε)E(ε)，

则

Z-T(ε)E(ε)Z(ε)=Z-T(ε)ZT(ε)E(ε)=E(ε)，

故

Z-T(ε)E(ε)=E(ε)Z-1(ε)，

沿闭环系统(3)的任意轨迹进行微分，得

其中

xΤ(t)Z-T(ε)QZ-1(ε)x(t)-(1-μ)xΤ(t-d(t))Z-T(ε)QZ-1(ε)x(t-d(t))

由引理5可知，存在适当维数的矩阵P，对称阵N，R，得

由以上不等式可得

其中

H(ε)<0

故

即闭环系统(5)是渐近稳定的.

其次证明∀ω∈L2[0，∞) ，满足‖y‖2≤γ‖ω‖2.

在零初始条件下，当ω(t)≠0考虑

选取如下Lyapunov泛函:

其中Q为适当维数的对称正定矩阵，即Q>0.

在零初始条件下，V(x(t))>0时，则推出

由于

其中

故

其中

(12)

由式(11)可推知

J<0

即

‖y‖2≤γ‖ω‖2.

证毕.

对矩阵不等式(12)左乘对角矩阵diag{ZT(ε)，ZT(ε)，I}，右乘其转置，得到:

于是由引理3，当且仅当存在一个标量λ>0，满足

利用Schur补引理，得:

(13)

定义

令

那么矩阵不等式(13)变为

(14)

则u(t)=Ky(t)式系统(1)的输出反馈H∞控制器，其中

即得到定理2.

则u(t)=Ky(t)式系统(1)的输出反馈H∞控制器，其中

3 结论

本文针对同时含有时变时滞和不确定性的奇异摄动控制系统的H∞控制问题进行了研究，通过构造适当的Lyapunov 泛函，结合交叉项界定法，Schur补引理和线性矩阵不等式等方法，给出了无记忆输出反馈H∞控制器的设计方法，并降低了所得结果的保守性.