基于次序不一致性对不合逻辑元素的修改原则

张仙凤

(朔州师范高等专科学校，山西 朔州 036002)

0 引言

层次分析法(简称AHP)，通常将目标问题划分成若干部分(即元素)，根据属性的不同，将这些部分划分成不同的层次，最上面第一层通常是决策目标，中间通常是子准则层，最下面的一层为决策方案[1]，见图1.

图1 层次结构图

专家得出较为合理的判断矩阵，并将判断矩阵进行一致性检验，检验是非常重要的步骤，对决策是否成功起到关键的作用[2].

1 基本概念、性质

1.1 相关概念

3)设A=(aij)是一个n阶判断矩阵.1)若aij>1，ajs≥1或aij≥1，ajs>1，则ais>1. 2)若aij=1，ajs=1，则ais=1，则称A具有次序一致性[5].

1.2 基本一致性及次序一致性含义

1)基本一致性含义：从重要性来说，若元素A是元素B的3倍，元素B是元素C的2倍，则元素A的重要性是元素C重要性的6倍.

2)次序一致性含义：从重要性来说，若元素A比B重要，元素B比C重要，则A比C重要.

若不满足次序一致性，此判断矩阵不能作为合理的属性测度及决策的依据[6].

2 检测方法

2.1有向图

设A=(aij)n×n是一个判断矩阵，构造A的有向图G(U，F)，其中顶点集U={1，2，…，n}，边集F={(i，j)|i≠j，aij≥1}，即若i≠j，aij>1，则G中有一条从i到j的一条有向边，记(i，j).称aij为有向边(i，j)的权.若aij=1，则G中有i→j及j→i两条有向边.图中不相同顶点的有向边首尾相接形成的链称为有向路.从一个顶点经过有向途径又回到这个顶点的有向路称为一个有向圈.把G中属于某个有向圈的所有有向边的权值相乘，所乘结果就是该有向圈的强度.

2.2邻接矩阵

图2 有向图的构成

定理1矩阵的有向图，若有边长大于3的有向圈(也称为3圈)，则一定存在边长等于3的有向圈.

证明 假如存在边长为4的有向圈，可以设(a，b，c，d)，若对节点a，c，如果有边(a，c)，则可构造出有向圈(a，c，d，a).若有(c，a)，则构成(c，a，d，c).成功找到了边长等于3的有向圈.边长大于4的证明过程类似.

图3 有向图G1

图4 有向图G2

2.3 寻找次序不一致性元素

定理4B的3阶顺序主子矩阵B[β1,β2,β3]不含全为零的行和列，则A的有向图G中包含一个节点为β1,β2,β3的3圈.

证明B的顺序主子矩阵B[β1,β2,β3]无0行无0列，不妨设β1=1,β2=2,β3=3.当i≠j，bij，bji至少有一个不为0，不妨设i=1，j=2.b12=b21=0.则b13，b23，b31，b32均不为0，所以必包含(1,3)、(3,1)、(2,3)、(3,2)的有向边.所以含有(1,2,3,1)或(1,3,2,1)的3圈，则b12或b21不为0，所以假设不成立.

b12≠0，b23≠0，b31≠0，则有3圈(1,3,2,1).

b12≠0，b23=0,则b13≠0，b21≠0，b32≠0，则有3圈(1,2,3,1).

b12=0，则b13≠0，b21≠0，b32≠0，从而3圈(1,2,3,1).

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

顺序主子矩阵B[1,2,4]，B[2,3,4]含有3圈分别为：(1,4,2,1)，(3,4,2,3)强度都不等于1，所以O.I.=2，不合逻辑元素为：a12，a41，a24，a12，a24，a43.

例4 在例2中

1 2 4 1 3 4 1 3 5 2 3 4 3 4 5

顺序主子矩阵B[1,2,4]，B[1,3,4]，B[1,3,5]，B[2,3,4]，B[3,4,5]含有3圈分别为：(4,2,1,4)，(1,4,3,1)，(5,3,1,5)，(3,4,2,3)，(5,3,4,5)强度都不等于1，所以O.I.=2.不合逻辑元素为：a41，a12，a24；a41，a13，a34；a51，a13，a35；a32，a43，a24；a43，a54，a35.

2.4 修改不合逻辑元素

原则1.优先修改出现次数最多的有向边.从而降低判断矩阵次序一致性指标O.I..

两元素性质特别相近，决策者难以判别易造成判别不一致的结果，优先修改强度接近1的元素.

原则3.出现次数相同，强度与1的接近程度也相同，则可同时修改相关元素.

3 结论

判断矩阵的一致性研究是AHP非常重要的内容，若判断矩阵次序一致性差，则其不能运用于决策中.本文利用图论知识，在对判断矩阵的次序一致性进行检验时，将不合逻辑的元素找出，并给出三条修改意见，为决策者进行数据分析及元素修改提供了依据.