一类考虑溶解氧的浮游生态模型及稳定性分析

庄科俊

(安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

溶解氧既是水生生系统中有氧群落的必需元素，也是水质和营养动力学的一项重要指标.作为海洋食物网的关键因素，浮游生物对氧气的数量有着重要的影响.浮游生物又可以分为浮游植物和浮游动物两大类，浮游植物一方面通过光合作用产生氧气，另一方面又通过呼吸消耗氧气.近年来，已有学者通过数学模型研究了溶解氧的动力学行为.其中，文献[1]分别基于常微分方程、反应扩散方程，建立了一类溶解氧-浮游植物-浮游动物的数学模型，从数值角度研究了生态系统对全球变暖的影响；文献[2]研究了该反应扩散模型的斑图动力学；文献[3-4]还研究了对应分数阶模型的时间动力学行为.此外，文献[5-6]则详细研究了一类溶解氧-浮游生物模型的稳定性与Hopf分支.

目前，尽管已有文献研究了水生生态系统中溶解氧的时空演化，但其动力学的很多方面尚不明确，仍需进一步的研究.因此，本文主要研究一类考虑溶解氧的浮游生态模型解的基本性质稳定性.

1 模型与预备知识

本文考虑如下的溶解氧-浮游植物-浮游动物反应扩散模型：

(1)

下面，给出模型(1)的常数平衡解的存在性.

引理1[7]如果mγc1

引理2[7]如果α2>μ且Bc*>γu*(c*+c1)，则模型(1)存在共存平衡解E*=(c*,u*,v*)，其中

2 解的基本性质

利用文献[8]的方法，容易得到模型(1)解的适定性.

引理3模型(1)存在唯一的有界非负解，且如果非负初始函数不恒等于零，则该非负解还是严格正的.

定理1模型(1)的解是最终一致有界的.

从而对任意的ε2>0，存在T2≥T1，当(x,t)∈Ω×[T2,+)时，有

从而

进一步地，令t→+可得：

证毕.

定理2如果α2≤μ，则模型(1)是非持续的.

3 平衡解的稳定性

为了便于分析，令0=μ0<μ1<μ2<…<μi<…<+是-Δ算子在齐次Neumann边界条件下的特征值.接下来，主要利用线性稳定性理论研究非负平衡解E1和E*的局部渐近稳定性.

证明 模型(1)在E1处对应的特征方程为：

(2)

根据Routh-Hurwitz判据，在定理条件下，对任意的非负整数i，方程(2)的所有特征根都具有负实部，从而平衡解E1是局部渐近稳定的.

证明 模型(1)在E*处的特征方程为：

λ3+Aiλ2+Biλ+Ci=0，

(3)

其中：

再由Routh-Hurwitz判据可知，特征方程(3)的所有特征根均具有负实部，从而E*是局部渐近稳定的.

4 结论

海洋中溶解氧的动力学行为已经引起了众多学者的关注.尽管已有研究表明，氧气的减少会导致全球气候变化，特别是全球变暖.然而，氧气减少的原因和机制仍然存在争议.据估计，大气中70%左右的氧气是由海洋所产生的.作为海洋生态系统中最基础的生物，浮游植物和浮游动物在全球碳循环和气候变化中起着举足轻重的作用.因此，本文主要研究了一类考虑溶解氧的浮游生态系统模型.如果浮游动物的增长率较小或者死亡率较大，定理2和定理3的条件则容易满足，从而浮游动物种群会灭绝.反之，如果浮游动物增长率较大而死亡率较小，则定理4的条件容易满足，从而溶解氧、浮游植物和浮游动物在水生环境的密度会趋于稳定.

另外，微小亚历山大藻、费氏藻等浮游植物能够产生毒素，对浮游动物和鱼类有毒害作用，而浮游动物也会对有毒藻类做出响应.因此，在模型(1)的基础上，还可进一步研究具有毒素和趋向效应的溶解氧-浮游生物模型.