一类非线性阻尼的Sine-Gordon方程解对初值的依赖性和唯一性

段振兴,郭尊光

(太原工业学院 理学系,山西 太原 030008)



一类非线性阻尼的Sine-Gordon方程解对初值的依赖性和唯一性

段振兴,郭尊光

(太原工业学院 理学系,山西 太原 030008)

文章对动力系统中的一类含阻尼项的非线性Sine-Gordon型方程的解对初值的依赖性和唯一性进行了证明,方程在一定的空间下满足一定的初边条件,所采用的方法是Galerkin法．

非线性;阻尼项;唯一性

0 引言

文研究了一类非线性阻尼的Sine-Gordon型方程的弱解,文研究了新三维系统对应的分段型和指数型混沌系统,文[3-4]研究了非线性弹性杆方程的初边值问题和梁方程的渐近解,都是利用了Galerkin方法．

本文方程:

(1)

在初始条件:

及边界条件(a):

u(0,t)=u(l,t)=u(2)(0,t)=u(2)(l,t)=0

下解对初值的依赖性和唯一性的证明．

1 函数空间及引理

2 假设

对于函数g(s)满足:g(0)=0,g(s)=c2(R);g(s)≤c(1+|s|3);g′(s)≤c(1+|s|2).

3 定理及证明

定理1 假设u(x,t),v(x,t)是方程(1)的两个解,并且满足初始条件:

令p=u-v,则有

证明 设u,v是方程(1)的两个解,记p=u-v,exp(ct),∀t>0.将u,v分别代入(1)式,得

再将上面两式相减,得

即

注意到|x|px关于x是单增的函数,故

所以

又

不妨取ξ=θsinv+(1-θ)sinu,(0≤θ≤1),则

4c2‖u-v‖2

又

所以

所以

故存在常数C,使得

(2)

从而证明了解对初值的连续依赖性．

若u0=v0,u1=v1,则p0=p1=0,又由(2)式,得

又因为p(0,t)=p(l,t)=0,利用引理1知

所以p(x,t)=0即u=v,则解的唯一性得证．

[1] 段振兴,张建文.具非线性阻尼的Sine-Gordon型方程的弱解[J].太原理工大学学报,2008,s2:101-103

[2] 张玲梅.一个新三维系统对应的分段型和指数型混沌系统的研究[J].太原理工大学学报,2015,2:238-24

[3] 牛丽芳.一个具有黏阻尼的非线性弹性杆方程的初边值问题[J].太原理工大学学报,2014,1:128-132

[4] 任永华.非自治强阻尼梁方程的渐近行为[J].太原理工大学学报,2013,1:16-118

[5] LIKHAREV K K.Introduction to the dynamics of Josephson Junction[M].Russian:The Study of Pain Nauka,Moscow,1985

The Dependence and Uniqueness of the Solution to Iinitial Value of a Class of Nonlinear Damped Sine-Gordon Equation

DUAN Zhenxing, GUO Zunguang

(Department of Science, Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008, China)

The power system in a class containing damping nonlinear sine Gordon type equation to initial value dependence and uniqueness of the solution is proved, the equation in a certain space satisfy certain initial and boundary conditions, the method is Galerkin method.

nonlinear;damping term;uniqueness

2016-04-13

段振兴(1982-),男,山西省五台人，硕士,太原工业学院理学系助教,主要从事非线性偏微分方程研究．

1672-2027(2016)02-0029-03

O175.29

A