一类反应扩散方程波前解的存在性

武红艳

(晋中学院 数学学院，山西 晋中 030619)



一类反应扩散方程波前解的存在性

武红艳

(晋中学院 数学学院，山西 晋中 030619)

通过定义上下解,在反应项是拟单调的条件下,利用Schauder不动点定理得到了具有时滞和超前反应扩散方程波前解的存在性.

具有时滞和超前的反应扩散方程;波前解;上下解;Schauder不动点定理

0 引言

近年来,反应扩散方程的行波解理论得到空前发展.文献[1-2]考虑了时滞反应扩散方程

行波解的存在性.还有很多加入对流等的结论[3-4],随着PPF问题在其他泛函微分方程的引入[5], PPF问题被引入反应扩散方程得到具有时滞和超前反应扩散方程[6]

(1)

用上下解方法和单调迭代技术得到行波解的存在性,本文用Schauder不动点定理来研究其波前解的存在性.其中t>0,x∈Rn,D=diag(d1,…,dn),di>0,i=1,…,n,f:

C([-τ1,0],Rn)×C([0,τ2],Rn)→Rn是连续的,

ut=u(x,t+s),s∈[-τ1,0],ut=u(x,t+θ),θ∈[0,τ2].

把u(x,t)=φ(x+ct),φ∈C2(R,Rn),ξ=x+ct,c>0是常数代入(1)式得

Dφ″(ξ)-cφ′(ξ)+fc(φξ,φξ)=0,ξ∈R

(2)

其中fc:C([-cτ1,0],Rn)×C([0,cτ2],Rn)→Rn,

fc(φξ,φξ)=f(φξ(cs),φξ(cθ)).

若c>0,(2)有一个单调且满足

(3)

的解,则u(x,t)=φ(x+ct)是(1)的波前解.

我们有以下假设:

(A2):存在α=diag(α1,…,αn),β=diag(β1,…,βn),αi≥0,βi≥0,使得对所有φ1,ψ1∈C([-cτ1,0],Rn),φ2,ψ2∈C([0,cτ2],Rn),当0<ψ1<φ1

(i)fc(φ1,φ2)-fc(ψ1,ψ2)+α[φ1(0)-ψ1(0)]+β[φ2(0)-ψ2(0)]≥0.

(ii)存在常数σ>0,L>0使得

|f(φ1,φ2)-f(ψ1,ψ2)|≤L(‖φ1-ψ1‖σ+‖φ2-ψ2‖σ).

定义泛函H:C(R,Rn)→C(R,Rn)如下:

H(φ)(t)=fc(φt,φt)+αφ(t)+βφ(t),

显然0≤H(φ)(t)≤(α+β)k,且关于t,φ都是非减的.且(2)等价于常微分方程

Dφ″(t)-cφ′(t)-αφ(t)-βφ(t)+H(φ)(t)=0

(4)

令

定义算子F:C[0,k](R,Rn)→C[0,k](R,Rn)

则对于φ∈C[0,k](R,Rn)满足

DF(φ)″-cF(φ)′-αF(φ)-βF(φ)+H(φ)=0

因此,F的不动点就是(4)的解.

其中0<ρ

定义1 函数ρ∈C2(R,Rn)称为方程(2)的上解,且ρ(t)满足

Dρ″(t)-cρ′(t)+fc(ρt,ρt)≤0.

(5)

定义下解只需改变(5)的不等号.

1 主要结果

Dw″(t)-cw′(t)-(α+β)w(t)=D(Fφ)″(t)-c(Fφ)′(t)-(α+β)(Fφ)(t)-

D(Fφ)″(t)-c(Fφ)′(t)-(α+β)(Fφ)(t)+H(φ)(t)-

设r(t)=Dw″(t)-cw′(t)-(α+β)w(t),由二阶线性常微分方程基本解理论得到

由wi(t)有界可知c1i=c2i=0,故

证毕.

[1] WU Jianhong,ZOU Xingfu.Traveling wave fronts of reaction-diffusion stems with delay [J].Dynamic Differential Equations,200l,13:651-687

[2] MA Siwang.Traveling wave fronts for delayed reaction-diffusion systems via a fixed point theorem[J].J.Differential Equations,200l,171:294-314

[3] WANG Zaicheng,LI Wantong,RUAN Shigui.Existence and stability of traveling wave fronts in reaction advection diffusion equations with nonlocal delay[J].J.Differential Equations,2007,238:153-200

[4] CHERN I-Liang,MEI ming,YANG Xiangfeng.Stability of non-monotone critical traveling waves for reaction-diffusion equations with time-delay[J].J.Differential Equations,2015,259:1503-1541

[5] YAO Meiping,ZHAO Aimin,YAN Jurang.Monotone method for first order functional differential equations with retardation and anticipation[J].Nonlinear Analysis,2009,71:4223-4230

[6] 武红艳.具有时滞和超前反应扩散方程的行波解[J].太原师范学院学报,2015,4(4)：12-13

Existence of Traveling Wave Fronts in a Class of Reaction Diffusion Systems

WU Hongyan

(School of Mathematical Sciences Jinzhong University, Jinzhong 030619, China)

Existence of traveling wave front for reaction diffusion systems with retardation and anticipation is obtained by defining the upper and lower solutions and using Schauder’s fixed point theorem when the reaction term satisfies the quasi-monotonicity condition.

reaction diffusion systems with retardation and anticipation; traveling wave front;upper and lower solutions; Schauder’s fixed point theorem

2016-03-14

武红艳(1986-),女,山西忻州人,硕士,晋中学院数学学院助教,主要从事微分方程与动力系统研究.

1672-2027(2016)02-0032-02

O175.1

A