具有时滞和反馈控制的捕食——被捕食系统的全局吸引性

程永玲

（山西大学商务学院基础教学部,山西太原030031）

具有时滞和反馈控制的捕食
——被捕食系统的全局吸引性

程永玲

（山西大学商务学院基础教学部,山西太原030031）

研究一类具有时滞和反馈控制的非自治捕食－被捕食Lotka－Volterra系统.通过构造合适的Lyapunov泛函,得到了系统全局吸引的新的准则.

Lyapunov泛函；反馈控制；时滞；全局吸引

经典的Lotka－Volterra竞争系统已经得到了广泛的研究.在文献［1－8］中,已经得到了很好的结果.最近,具有反馈控制的生态系统得到了许多科学家的关注,如［6－8］.文献［7］,通过构造合适的Lyapunov泛函,建立了系统持久与稳定的新的充分条件.文献［8］,讨论了具有时滞与反馈控制的多种群非自治Lotka－Volterra竞争系统.

受到这些文献所研究内容的启发,我们研究了如下非自治捕食－被捕食系统：

文中,对系统（1）我们始终假定：i,j＝1,2,…n.

（H1）bi（t）,aij（t）,ci（t）,di（t）,ei（t）,f1（t）为［0,∞）上的有界、连续函数,且aij（t）≥0,b2（t）≥0,ci（t）≥0,di（t）≥0,ei（t）≥0,f1（t）≥0.

定义1 若对系统（1）的所有解（x1（t）,x2（t）,u1（t）,u2（t））,存在正常数M,T使得,当t＞T时,有xi（t）≤M,｜ui（t）｜≤M,则称系统（1）最终有界.

［9］中,定理3.1的证明类似,可得如下引理.

引理1 假定（H1）－（H4）成立,则系统（1）最终有界.

定理1假定（H1）－（H4）成立,且存在正常数ki＞0（i＝1,2,3,4）使得

其中

且ψ－1（t）和分别φ－1（t）为t－τ（t）与t－δ（t）的反函数.

证明 设（x1（t）,x2（t）,u1（t）,u2（t））为系统（1）的任意正解.由引理1,存在正常数M,T使得,当t＞T时,有

构造Lyapunov函数V（t）

计算V（t）的上导数且化简,有

定理证毕.

参考文献：

［1］AHMAD S,LAZER A C.Average conditions for global asymptotic stability in a nonautonomous Lotka－Volterra system［J］.Nonlinear Anal,2000,40：37－49

［2］CHEN FENGDE.The permanence and global attractivity of Lotka－Volterra competition system with feedbackcontrols［J］.Nonlinear Anal.：Real World Appl,2006,7：133－143

［3］师向云,郭 振.一类具有时滞和阶段结构的捕食系统的全局分析［J］.信阳师范学院学报（自然科学版）,2008,21（1）：32－35

［4］GOPALSAMY K.Stability and oscillations in Delay Different Equations of Population Dynamics［M］.Kluwer Academic,Dordrecht／Norwell,MA,1992.

［5］王 豪,郑丽丽.一类具有阶段结构和时滞的捕食与被捕食系统［J］.信阳师范学院学报（自然科学版）,2004,17（2）：140－145

［6］CHEN FENGDE.Permanence in nonautonomous multi－species predator－prey system with feedback controls［J］.Appl Math Comput,2006,173：694－709

［7］NIE LINFEI,TENG ZHIDONG.Lin Hu,Jigen Peng,Permanence and stability in non－autonomous predator－preyLotka－Volterra systems with feedback controls［J］.Comput Math Appl,2009,58：436－448

［8］NIE LINFEI,Peng Jigen,Teng Zhidong.Permanence and stability in multi－species nonautonomous Lotka－Volterra competitive systems with delays and feedback controls［J］.Math Comput Modelling,2009,49：295－306

Global Stability in Nonautonomous Predator－prey Systems with Delays and Feedback Controls

CHENG Yongling
（Department of Mathematics,Business College of Shanxi University,Taiyuan 030031,China）

A nonautonomous predator－prey Lotka－Volterra systems with delays and feedback controls is considered.By constructing suitable Lyapunov functional,some new criteria for global stability is established.

Lyapunov functional；Feedback control；Delay；Global stability

1672－2027（2016）04－0052－03

O175.14

A

2016－08－27

程永玲（1980－）,女,山西晋城人,硕士,山西大学商务学院讲师,主要从事动力系统研究.