一类捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型的稳定性分析

张蓬霞,王浩飞

（长治学院数学系,山西长治046011）

一类捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型的稳定性分析

张蓬霞,王浩飞

（长治学院数学系,山西长治046011）

文章分析了一类捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型.通过对其特征方程的分析,运用Hurwitz判定定理,探讨了模型的非负平衡点的局部稳定性；利用构造函数法,结合La－Salle不变集原理,讨论了模型的非负平衡点的全局稳定性,得到了捕食者和食饵种群可持续生存的条件.

阶段结构；捕食模型；环境承载力；特征方程

本文研究了一类具有Holling－Ⅱ型功能反应函数和环境承载力且捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型：

其中,K表示环境对食饵的最大承载力,k表示捕食者的消化率为Holling－Ⅱ型功能反应函数,为简单起见,不妨只对食饵考虑环境承载力.x1（t）和x2（t）分别表示幼年食饵和成年食饵在t时刻的密度函数；y1（t）和y2（t）分别表示幼年捕食者和成年捕食者在t时刻的密度函数.

本文假设d4（r2＋d3）＞βr2

1 边界平衡点的稳定性

1.1 平衡点E0（0,0,0,0）

1.1.1 平衡点E0（0,0,0,0）的局部稳定性

系统（1）在平衡点E0（0,0,0,0）的线性化系统的雅可比矩阵为

故特征方程为

注意到d4（r2＋d3）＞βr2,当rr1＜d2（r1＋d1）时,方程（2）的根均是负数,由Hurwitz判定定理［1］可知E0（0,0,0,0）是局部渐进稳定的；当rr1＞d2（r1＋d1）时,方程（2）至少存在一个正根,由Hurwitz判定定理可知E0（0,0,0,0）是不稳定的.

1.1.2 平衡点E0（0,0,0,0）的全局稳定性

定理1.1 如果rr1＜d2（r1＋d1）,则平衡点E0（0,0,0,0）具有全局渐进稳定性.

证明：设模型（1）的任何一个正解为（x1（t）,x2（t）,y1（t）,y2（t））,下面构造函数如下：

沿着模型（1）的解计算V1（t）的导数,得

因为rr1＜d2（r1＋d1）,所以.V1（t）≤0.如果（x1（t）,x2（t）,y1（t）,y2（t））中有一个不为0,不妨设y2（t）≠0,其余皆为0,则.V1（t）＝－βby22（t）＜0.因此.V1（t）＝0当且仅当x1（t）＝x2（t）＝y1（t）＝y2（t）＝0,由La－Salle不变集原理［2］得平衡点E0（0,0,0,0）具有全局渐进稳定性.

1.2 平衡点E＋（x＋1,x＋2,0,0）

1.2.1 平衡点E＋（x＋1,x＋2,0,0）的存在性

当rr1＞d2（r1＋d1）时,系统（1）存在一个捕食者灭绝的平衡点E＋（x＋1,x＋2,0,0）,其中：

1.2.2 平衡点E＋（x＋1,x＋2,0,0）的局部稳定性

系统（1）在平衡点E＋（x＋1,x＋2,0,0）的线性化系统的雅可比矩阵为

所以.V1（t）≤0.显然.V1（t）＝0当且仅当x1（t）－x＋1＝x2（t）－x＋2＝y1（t）＝y2（t）＝0,

由LaSalle不变集原理得平衡点E＋（x＋1,x＋2,0,0）是全局渐进稳定的.

2 正平衡点的存在性

3 正平衡点的稳定性

定理3.1 如果

［d4（d3＋r2）－r2β］d2＜rr1－d2（d1＋r1）＜d4（d3＋r2）－r2β,k2rK（r2＋d3）＞d4（r2＋d3）－r2β成立,则E＊（x＊1,x＊2,y＊1,y＊2）是全局渐进稳定的.

4 结论

本文探讨了一类捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型.证明了正平衡点E＊（x＊1,x＊2,y＊1,y＊2）的存在性,进深一步得到了E＊（x＊1,x＊2,y＊1,y＊2）是全局渐进稳定的条件.也可以说是,在此种情况下捕食者和食饵种群可以持续生存.

［1］Kuang Y.Delay Differential Equation with Application in Population Dynamics［M］.New York：Academic Press,1993

［2］廖晓昕.稳定性的数学理论及应用［M］.武汉：华中师范大学出版社,2006

［3］张建华.具有阶段结构的捕食——食饵系统的全局分析［D］.厦门：厦门大学,2008

［4］张晓朋.具有年龄结构的HollingⅡ型捕食者——食饵模型的稳定性［J］.中国优秀硕士学位论文全文数据库,2011（S1）：113－115

［5］张子振.刘 娟.食饵具有阶段结构的Holling－Ⅳ类时滞捕食系统稳定性分析［J］.蚌埠学院学报,2013,2（5）：114－116

Stability Analysis for a Predator－prey Model with Stage Structure for the Predator and the Prey

ZHANG Pengxia,WANG Haofei
（Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi 046011,China）

A class of predators and continuous predator－prey model with stage structure stability is analyzed.Combined with the analysis of the characteristic equation,combined with the use of Hurwitz criterion theorem,discusses the model of the local stability of the nonnegative equilibrium；Cleverly used to construct a new function,add LaSalle invariant set principle,analyze the global stability of non－negative equilibrium of the model,and predators have been obtained and the conditions of sustainable living predator－prey system.

Stage－structure；Predator－prey model；Evaluating carrying capacity；Characteristic equation

1672－2027（2016）04－0055－05

O212

A

2016－09－12

长治学院院级科研项目（201514）.

张蓬霞（1982－）,女,山西长治人,硕士,长治学院讲师,主要从事生态数学研究.