C*代数上方程ax=xax与ax=xa=xax的解

田学刚，王少英

(滨州学院 理学院，山东 滨州 256603)

0 引言

关于算子方程AX=XAX，1954年Aronszajn在文献[1]中给出了这个方程存在解的充要条件，文献[2]讨论了方程每一个解都是幂等解的充要条件，文献[3]利用分块矩阵技巧，讨论了算子方程AX=XAX和AX=XA=XAX有解的充要条件，并利用算子止的不变子空间给出了通解．此外，文献[4]利用算子分块的技巧得到了方程A*X+X*A=B有解的充要条件，并利用算子A的Moore-Penrose逆给出了该方程解的一般形式．文献[5]研究了C*代数上的方程axa*=c的正解和实正解存在的条件和解的一般形式．本文把文献[3]中的算子方程推广到更一般的C*代数上的方程ax=xax和ax=xa=xax，利用C*代数中元素的矩阵表示及Moore-Penrose逆，方程ax=xax和ax=xa=xax有正则解的条件，并给出解的一般形式．

1 预备知识

设A表示有单位元1的C*代数．如果元素a满足a*a=aa*，称a是正规的：如果元素a满足a*=a，称a是自伴的；如果a2=a*则称a是投影．若存在b∈A满足aba=a，则称a是正则的，用Areg表示C*代数A中所有正则元的集合．若存在a+∈A满足下面4个方程

aa+a=a，a+aa+=a+，(a+a)*=a+a，(aa+)*=aa+；

则称a+为元素a的Moore-Penrose逆．如果a的Moore-Penrose逆存在，则是唯一的，且aa+和a+a都是A中的投影．关于Moore-Penrose逆有如下结论：

a是正则的⟺aA是闭的⟺a+存在

若a是正则的，可得

aa+c=c⟺cA⊆aA

如果投影p1，p2满足p1+p2=2且p1p2=p2p1=0，则称(p1，p2)是一个正交投影对．对于A中的每个元素x，根据正交对(p1，p2)可以表示为2×2矩阵的形式，

首先介绍几个相关定义和引理：

定义1设a∈A，如果存在投影p∈A，(p≠0，1)使得apA⊆pA，则称p是元素a的一个非平凡的不变投影．

定义2设a∈A，如果存在投p∈A，(p≠0，1)使得apA⊆pA且a*pA⊆pA，则称p是元素a的一个非平凡的约化投影．

引理1[6]设p，q正A是投影，则存在一个幂等元素g∈A，使得

p=gg+,q=1-g+g

的充要条件是

1-pqp∈A-1,A=pA+qA

引理2[2]设a∈A是正规元，若ba=ab则b*a=ab*

2 主要结论

定理1设a∈Areg，则方程ax=xax有非平凡的正则解的充要条件是a有非平凡的不变投影．

证明 设p是a的非平凡的不变投影，即apA⊆pA，于是有pap=ap，所以p是方程ax=xax的一个非平凡的正则解．

设x0是方程ax=xax的任一非平凡正则解，下面分三种情况证明．

(H1)如果x0x0+<1,设p=x0x0+，则根据投影对(p,1-p),可得a,x0有如下矩阵表示

于是

由ax0=x0ax0可得

a21x11=0,a21x12=0,

所以

即

这里a11=a2a+,a12=a(1-aa+).

取

(a-x0a)x0=0,

也就是

故x0=1，这与x0是非平凡正则解矛盾，所以情形(H3)不存在．

推论1设a∈Areg，如果aa+<1则方程ax=xax有非平凡的正则解．

定理2设a∈Areg，如果a有非平凡的不变投影，则方程ax=xax就有无数多个幂等解．

证明 设p是a的一个非平凡不变投影，则根据投影对(p，1-p)，令x有如下矩阵表示

其中x12=py(1-p)，y∈A是任意的元素，容易验证x是A中的幂等元．又因为p是a的一个非平凡不变投影，即有(1-p)ap=0，所以经过计算可得x是方程ax=xax的幂等解．

推论2设a∈Areg，p是a的非平凡不变投影，则方程ax=xax满足xx+=p的全部幂等解为

x=p+py(1-p)，

其中y∈A是任意元．

证明 设x0是方程ax=xax的一个解，即ax0=x0ax0，则

定理4设a∈Areg，则方程ax=xax存在非平凡的正则解充分必要条件是方程xa=xax存在非平凡的正则解．

证明 若方程ax=xax有非平凡的正则解，由定理1可知，a存在非平凡的不变投影p，即apA⊆pA，也就是(1-p)ap=0．所以根据投影对(p，1-p)可得

从而

所以[1-(1-p)]a*(1-p)=0，容易得到(1-p)(1-p)+a*(1-p)=a*(1-p)，也就是a*(1-p)A⊆(1-p)A,即1-p是a*的非平凡的不变投影．由定理1可得方程a*x*=x*a*x*有非平凡的正则解，从而方程xa=xax存在非平凡的正则解.

定理5设a∈Areg是正规的，则方程ax=xa=xax有非平凡正则解的充分必要条件是a有非平凡的约化投影．这时方程的全部解为

S={x=p+(1-aa+)t(1-aa+)：p2=p,pa=ap,t∈A}.

证明 设x是方程ax=xa=xax的任一解，因为aa*=a*a，ax=xa，所以由引理2可得a*=x*a，即p=aa+是a的非平凡的约化投影．因此a，x有如下矩阵形式

这里a11=a2a+，x11=aa+xaa+，x22=(1-aa+)x(1-aa+)．通过计算ax=xa=xax可得

a11x11=x11a11=x11a11x11,

所以

反之，设任一x∈S，则x=p+(1-aa+)t(1-aa+)，其中p2=p，pa=ap，t=∈A.因为a是正规的且ap=pa，所以由引理2可得

所以x是方程ax=xa=xax的解.

如果ax=xa=xax有非平凡的正则解，则a有一个非平凡的不变投影，因为a是正规的，所以a有非平凡的约化投影．

反之，若a有非平凡的约化投影p，即(1-p)ap=0,pa(1-p)=0，显然p是方程ax=xa=xax的非平凡正则解.

定理6设a∈Areg，如果aa+=1或a+a=1,则方程ax=xa=xax有非平凡解的充分必要条件是a有两个非平凡的不变投影p，q，使得

1-pqp∈A-1,A=pA+qA,

这时方程的全部解为

S={x:x2=x,xa-ax}.

证明 设x是方程ax=xa=xax的任一非平凡解，则(x-x2)a=a(x—x2)=0．如果aa+=1,可得(x-x2)=(x-x2)aa+=0；如果a+a=1，可得(x-x2)=a+a(x-x2)=0，所以x是幂等元．由于axx+A=xax+A=xx+xax+A=xx+axx+A⊆xx+A，即p=xx+是a的不变投影，又a(1-x+x)A=(1-x+x)a(1-x+x)A⊆(1-x+x)A，所以可得q=1-x+x也是a的不变投影．由引理1可知1-pqp∈A-1，A=pA+gA.

如果a有非平凡的不变投影p，q，使得1-pqp∈A-1,A=pA+qA,则由引理1可知存在幂等元g，使得gg+=p，(1-g+g)=q．又因为apA⊆pA，aqA⊆qA,所以ap=pap=qaq,进一步可得ga=ag=gag，故g是方程ax=xa=xax的一个非平凡解.

由以上证明过程可知，若x是方程ax=xa=xax的任一解，则x∈S,反之，若x∈S则

0=(x-x2)a=x2a-xa=xax-xa=xax-ax,

所以方程的全部解为S={x:x2=x,xa=ax}.