水稻与水竹叶竞争系统的稳定性研究

张乐予,王崇奂

(吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136000)

0 引言

选取生长在同一小生境(江西某水稻田)的水稻和水竹叶，由于它们的生长环境基本相同，生长需要同样的资源，因此两种群间必定会发生资源竞争.这样的种间竞争势必会导致某一种群数量下降，甚至会导致该种群灭绝，而另一种群也因为缺少竞争对象数量会急剧增长.为研究这类的种群竞争现象，著名人口学家Malthus建立有关时间和人口数量的Malthus模型；而后Verhulst在此基础上又提出有关单种群的Logistic模型；但现实生活中，研究实际问题更多是两种群或双种群间关系，即Lotka-Volterra模型.

为研究方便，给出如下相关定义和定理：

假设n维自治的微分方程是：

(1)

的解是x(t)=(x1(t),x2(t),...,xn(t))τ.

1 系统分析

选取江西某片水稻田中的一个理想小生境，研究此小生境里存在种间竞争关系的两种农作物水稻和水竹叶，现假设所研究的小生境中水稻和水竹叶均处于正常生长状态，不考虑意外灾害等突发原因.在这种理想条件下，建立有关水稻和水竹叶在t时刻的增长情况,且满足下列方程：

(2)

(3)

(4)

计算V(x1,x2)沿着(4)解轨线的全导数,得

(5)

当

Δ=(m1β1+m2α2)2-4m1m2α1β2<0.

(6)

Δ=(m1β1-m2α2)2-4m1m2(α1β2-β1α2)<0.

(7)

图1 水稻和水竹叶两种群数量变化图

2 主要结果的生物学意义

随着社会发展，人们越来越追求绿色无污染的养生之道，野菜逐渐成为人们喜爱的食物之一，这样一来本是作为杂草水竹叶一类植物却可变废为宝.水竹叶虽然为稻田中的主要杂草，但它又名鸡舌草，可做中药材，主治肺热咳嗽具有清热解毒等功效.不仅如此，和普通蔬菜相比，水竹叶这种野菜所含的丰富维生素、矿物质和植物纤维等的含量更是高于人们日常实用的蔬菜.随着人们生活水平的日渐提高，多食纯天然野菜的养生理念广为人们接受.因此水竹叶这类既具备营养价值又有药用价值的野菜在市场上会更畅销.

进行人为干预，使这两种群可以保证在它们各自环境容纳量的情况之下，又能实现两种群共存的状态，从而实现稳定共存，达到不浪费资源，又能实现商业利益最大化[5].