含有高阶非线性kerr效应的薛定谔方程的解

王 媛

(山西能源学院， 山西 晋中 030600)

0 引言

光纤通讯中超短光脉冲的传导可由阶数更高的非线性薛定谔方程描述，本文主要研究一个含有高阶非线性kerr效应的薛定谔方程， 其方程如下[1]：

iuz+utt+2|u|2u+iαuttt+iβ(u|u|2)t+iγ(u|u|4)t+δu|u|4=0.

(1)

此方程是由Radhakrishnan，Kundu，Lakshmanan提出的，描述的是飞秒级的光脉冲在光纤通讯中的传输.

一些专家和学者对此方程进行过研究[2-5]，本文主要是利用符号计算系统Maple以及广义的Jacobu展开方法[6]对此方程进行研究， 以便可以得到此方程更多形式的解.

1 广义的Jacobi展开方法

给出一个非线性方程如下

P(u，ut，uz，utt，uzt…)=0.

(2)

1)设u=u(ξ)，ξ=k(z-ct)，将(2)式化为关于ξ的微分方程

F(u，u′，u″，…)=0.

(3)

2)设

u(ξ)=a0+a1cn(ξ)+a2sn(ξ)+a3dn(ξ).

(4)

其中：

sn(ξ)=JacobiSN(ξ，m)，cn(ξ)=JacobiCN(ξ，m)，dn(ξ)=JacobiDN(ξ，m)

cn2(ξ)=1-sn2(ξ)，dn2(ξ)=1-r2sn2(ξ).

(5)

sn′(ξ)=cn(ξ)dn(ξ)，cn′(ξ)=-sn(ξ)dn(ξ)，dn′(ξ)=-r2sn(ξ)cn(ξ).

(6)

3)将(4)、(5)、(6)代入(3)，提取sni(ξ)cnj(ξ)dnk(ξ)(i=0，1，…;j=0，1;k=0，1)的系数并令其为0，可以得到关于ai(i=0，…，3)，k，c的非线性方程组;

4)借助于数学软件Maple解上述非线性方程组，可以得到ai(i=0，…，3)，k，c.

2 方程(1)的周期解

首先对方程(1)做如下变换

u(z，t)=φ(ξ)eiη，ξ=kt+ωz，η=λt+μz.

(7)

其中k，ω，λ，μ是常数.将(7)代入(1)，得到

(3αλ-1)k2φ''=(αλ3-λ2-μ)φ+(2-λβ)φ3+(δ-λγ)φ5.

(8)

αk3φ'''+(ω+2λk-3αλ2k)φ′+3βkφ2φ′+5γkφ4φ′=0.

(9)

情形一： 当3αλ-1≠0时，将(9)积分并令其积分常数为0，得到

αk3φ''=-(ω+2λk-3αλ2k)φ-βkφ3-γkφ5.

(10)

由(8)、(10)进一步可得

其中

这样(8)、(10)就变为

(11)

为了得到方程的解，做如下变换

(12)

将(12)代入(11)得

-αk3(2ψψ''-ψ'2)-(8kλ-12αλ2k+4ω)ψ2-4kβψ3-4kγψ4=0.

(13)

假设(13)有如下形式的解

ψ(ξ)=a0+a1cn(ξ)+a2sn(ξ)+a3dn(ξ).

(14)

其中，ai(i=0，…，3)是常数，将(14)代入(13)，得到了方程(1)7种形式的解，具体如下(其中m为雅可比椭圆函数的模)：

其中

μ=-(180k4m4δγ2-36k4m2δγ2+64k6m6δ5+48k4m4δ4-36δ3k2m2+405γ2k2m2-

81γ2k2-27δ2)/(288k2m2δγ2).

其中

μ=-(180k4δγ2-36k4m2δγ2+64k6δ5+48k4δ4-36k2δ3+405γ2k2-81γ2k2m2-27δ2)/(288k2δγ2).

其中

μ=(144k4m4δγ2+36k4m2δγ2-64k6m6δ5+48k4m4δ4+36δ3k2m2-324γ2k2m2-

81γ2k2-27δ2)/(288k2m2δγ2).

其中

μ=(144k4δγ2+36k4m2δγ2-64k6δ5+48k4δ4+36k2δ3-324γ2k2-81γ2k2m2-27δ2)/(288k2δγ2).

其中

ω=(-36γ2k2+45γ2k2m2+16δ4k4-32δ4k4m2+24δ3k2-24δ3k2m2+16δ4k4m4-27δ2)/48δ2γk(m2-1).

μ=(-64k6m6δ5-144k4δγ2+192k6m4δ5-192k6m2δ5+96δ4k4m2-48δ4k4m4+36δ3k2m2+64k6δ5-

48k4δ4-36k2δ3-405γ2k2m2+324γ2k2+324γ2k4m2δ-180k4m4γ2δ+27δ2)/288k2δγ2(m2-1).

其中

ω=(9γ2k2+27γ2k2m+9γ2k2m2-δ4k4m4-4δ4k4m3-6δ4k4m2-

6δ3k2m2-4δ4k4m-12δ3k2m-δ4k4-6δ3k2+27δ2)/12δ2(m+1)2γk.

μ=(12δ4k4m3+18δ4k4m2+3δ4k4+9δ3k2-81γ2k2-243γ2k2m-81γ2k2m2+9δ3k2m2+12δ4k4m+

18δ3k2m+45δk4γ2m3+72k4δγ2m2+9k4δγ2m4+45k4δγ2m-k6δ5-20k6δ5m3-15k6δ5m2+9k4δγ2-

6k6δ5m-k6δ5m6-6k6δ5m5-15k6δ5m4+3δ4k4m4-27δ2)/72γ2(m+1)2δk2.

其中

ω=(9γ2k2-27γ2k2m+9γ2k2m2-δ4k4m4+4δ4k4m3-6δ4k4m2-

6δ3k2m2+4δ4k4m+12δ3k2m-δ4k4-6δ3k2+27δ2)/12δ2(m-1)2γk.

μ=(-12δ4k4m3+18δ4k4m2+3δ4k4+9δ3k2-81γ2k2+243γ2k2m-81γ2k2m2+9δ3k2m2-12δ4k4m-

18δ3k2m-45δk4γ2m3+72k4δγ2m2+9k4δγ2m4-45k4δγ2m-k6δ5+20k6δ5m3-15k6δ5m2+

9k4δγ2+6k6δ5m-k6δ5m6+6k6δ5m5-15k6δ5m4+3δ4k4m4-27δ2)/72γ2(m-1)2δk2.

情形二：当

3αλ-1=0 .

方程(8)变成

(αλ3-λ2-μ)φ+(2-λβ)φ3+(δ-λγ)φ5=0 .

令φ，φ3，φ5得系数为0，可以得到

(15)

将(15)代入(9)，得到

3α2k3φ''+(3αω+k)φ+18α2kφ3+9δα2kφ5=0.

(16)

为了得到方程的周期解，做如下变换

(17)

将(17)代入(16)得

3α2k3(2ψψ''-ψ'2)+(12αω+4k)ψ2+72α2kψ3+36δα2kψ4=0.

(18)

假设(18)有如下形式的解

ψ(ξ)=a0+a1cn(ξ)+a2sn(ξ)+a3dn(ξ).

(19)

其中，ai(i=0，…，3)是常数， 将(19)代入(18)，得到了方程(1)7种形式的解，具体如下(其中m为雅可比椭圆函数的模)：

其中

其中

其中

其中

其中

其中

其中

3 结论

本文主要利用广义的Jacobi展开方法对一个含有高阶非线性kerr效应的薛定谔方程进行了研究，最终得到了两种情形下此方程7种类型的周期解，其中，解u1，u3，u4在以前的文献中出现过，其余解是本文得到的新解，在其他的文献中没有出现过，这些解在光纤通讯的传输中是及其有用的.