G -半预不变凸函数的新性质

李 婷

(山西大学 商务学院，山西 太原 030031)

近年来，国内外许多学者对凸函数和广义凸函数进行研究，提出了一系列的广义凸函数，并研究了这些广义凸函数的性质及其在最优化问题中的应用.其中，1988年，Weir和Mond在文献[1]中定义了预不变凸函数；1992年，Yang等在文献[2]中提出了半预不变凸函数的概念，这是一种比预不变凸函数更广的函数；接着，Antczak在文献[3]和[4]中引入了G-预不变凸函数的概念，并讨论了其在非线性规划中的几个应用；2013年，Peng等在文献[5]和[6]中先后定义了G-半预不变凸函数和半严格G-半预不变凸函数，并研究了它们的性质和应用；2015年，李科科等在文献[7]中又提出了一类新的广义凸函数——严格G-半预不变凸函数，并研究了它的性质及其在优化问题中的应用.

在以上文献的基础上，本文主要研究其中一类广义凸函数——G-半预不变凸函数，首先讨论了G-半预不变凸函数与上半连续函数之间的关系，然后在中间点的严格G-半预不变凸性条件下，根据半严格G-半预不变凸性，获得了严格G-半预不变凸函数的一个充分条件.

1 基本概念

定义1[2]称集合K⊆Rn是关于η(x，y，λ)的半不变凸集，若存在一个向量值函数

η:Rn×Rn×[0，1]→Rn(当x≠y时，η≠0)，对∀x，y∈K，∀λ∈[0，1]，都有y+λη(x，y，λ)∈K.定义2[5]设集合K⊆Rn是关于η：X×X×[0，1]→Rn的半不变凸集，f:K→R是定义

K上的函数，如果存在连续递增函数G:If(K)→R和向量函数η:Rn×Rn×[0，1]→Rn，使

f(y+λη(x，y，λ))≤G-1(λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))) .

则称f是K上关于η的G-半预不变凸函数.

f(y+λη(x，y，λ))

则称f是K上关于η的严格G-半预不变凸函数.

f(y+λη(x，y，λ))

则称f是K上关于η的半严格G-半预不变凸函数.

为了讨论G-半预不变凸函数的性质，需要引入下面的条件：

条件B1设z1=y+λ1η(x，y，λ1)，z2=y+λ2η(x，y，λ2)，则∀x，y∈K，∀α，λ1，λ2∈[0，1]，有

z1+αη(z2，z1，α)=y+((1-α)λ1+αλ2)η(x，y，(1-α)λ1+αλ2) .

条件B2设z=y+λη(x，y，λ)，则∀x，y∈K，α，λ∈[0，1]，有

z+αη(x，z，α)=y+((1-α)λ+α)η(x，y，(1-α)λ+α) .

条件B3设集合K⊆Rn是关于η：Rn×Rn→Rn的半不变凸集，则∀x，y∈K，有

f(y+η(x，y，1))≤f(x) .

这些条件是Zhao在文献[8]中提出的.

2 G -半预不变凸函数的新性质

本节我们将讨论G-半预不变凸函数与上半连续函数之间的关系.

引理1设K⊆Rn是关于η：X×X×[0，1]→Rn的半不变凸集，η(x，y，θ)满足条件B1，f:K→R满足条件B3，且∀x，y∈K，∃α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))≤G-1[αG(f(x))+(1-α)G(f(y))].

(1)

则集合A={λ∈[0，1]|f(y+λη(x，y，λ))≤G-1[λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))]，∀x，y∈K}在

[0，1]上稠密.

证明 因为f(y)≤f(y)和f(y+η(x，y，1))≤f(x)(条件B3)，所以0，1∈A.

假设A在[0，1]上不稠密，那么存在λ0和λ0的一个领域N(λ0)，使得

A∩N(λ0)=∅.

(2)

令

λ1=inf{λ∈A|λ≥λ0}.

(3)

λ2=sup{λ∈A|λ≤λ0}.

(4)

由(2)式，有0≤λ2<λ1≤1 .又max{α，1-α}∈(0，1)，选取u1，u2∈A，使u1≥λ1，u2≤λ2，且

max{α，1-α}(u1-u2)<λ1-λ2.

(5)

从而有

u2≤λ2<λ1≤u1.

y+u2η(x，y，u2)+αη(y+u1η(x，y，u1)，y+u2η(x，y，u2)，α) .

于是由(1)式，有

G-1{αG[f(y+u1η(x，y，u1))]+(1-α)G[f(y+u2η(x，y，u2))]} .

又u1，u2∈A，所以

f(y+u1η(x，y，u1))≤G-1[u1G(f(x))+(1-u1)G(f(y))].

f(y+u2η(x，y，u2))≤G-1[u2G(f(x))+(1-u2)G(f(y))] .

从而

G-1{α[u1G(f(x))+(1-u1)G(f(y))]+(1-α)[u2G(f(x))+(1-u2)G(f(y))]}=

G-1{(αu1+(1-α)u2)G(f(x))+[1-(αu1+(1-α)u2)]G(f(y))}=

这与(3)式矛盾.

这与(4)式矛盾.

综上可知，A在[0，1]上稠密.

定理1设K⊆Rn是η：X×X×[0，1]→Rn的开半不变凸集，η(x，y，θ)满足条件B1，B2，且∀

f:K→R在K上是上半连续的，且满足条件B3，则f是K上关于η的G-半预不变凸函数，当且仅当∀x，y∈K，∃α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))≤G-1[αG(f(x))+(1-α)G(f(y))] .

证明 必要性由G-半预不变凸函数的定义可直接得到.下证充分性.

(6)

取

则yn→y0(n→) .

由于K是开半不变凸集，所以当n充分大时，有yn∈K.又由条件B2得：

(7)

又由f的上半连续性，有∀ε>0，∃N>0，使得当n>N时，有

f(yn)≤f(y0)+ε

故由(7)式和λn∈A，有

f(z)=f(yn+λnη(x0，yn，λn))≤G-1[λnG(f(x0))+(1-λn)G(f(yn))]≤

由于ε>0可以任意小，所以有

上式与(6)式矛盾.故f不是K上关于η的G-半预不变凸函数.

定理2设K⊆Rn是η：X×X×[0，1]→Rn的半不变凸集，η(x，y，θ)满足条件B1，B2，且∀

f:K→R在K上是上半连续的，且满足条件B3，则f是K上关于η的G-半预不变凸函数，当且仅当∀x，y∈K，∃α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))≤G-1[αG(f(x))+(1-α)G(f(y))].

(8)

证明 必要性由G-半预不变凸函数的定义可直接得到.下证充分性.

(9)

令

g(λ)=f(y+λη(x，y，λ))-G-1[λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))] .

因f上半连续，则g(λ)在[0，1]上也上半连续，且

再由f满足条件B3，有

g(1)=f(y+η(x，y，1))-f(x)≤0 .

令

则由g(λ)的上半连续性得g(λ1)=g(λ2)=0，即

f(y+λ1η(x，y，λ1))-G-1[λ1G(f(x))+(1-λ1)G(f(y))]=0.

f(y+λ2η(x，y，λ))-G-1[λ2G(f(x))+(1-λ2)G(f(y))]=0 .

从而

G[f(y+λ1η(x，y，λ1))]=λ1G(f(x))+(1-λ1)G(f(y)).

(10)

G[f(y+λ2η(x，y，λ1))]=λ2G(f(x))+(1-λ2)G(f(y)).

(11)

令x*=y+λ1η(x，y，λ1)，y*=y+λ2η(x，y，λ2)，则∀β∈(0，1)，有λ1<βλ1+(1-β)λ2<λ2.

由条件B1，有

y*+βη(x*，y*，β)=y+λ2η(x，y，λ2)+βη(y+λ1η(x，y，λ1)，y+λ2η(x，y，λ2)，β)=

y+[βλ1+(1-β)λ2]η(x，y，βλ1+(1-β)λ2) .

从而由(9)、(10)及(11)式，有

f(y*+βη(x*，y*，β))=f{y+[βλ1+(1-β)λ2]η(x，y，βλ1+(1-β)λ2)}>

G-1{[βλ1+(1-β)λ2]G(f(x))+[1-(βλ1+(1-β)λ2)]G(f(y))}=

G-1{β[λ1G(f(x))+(1-λ1)G(f(y))]+(1-β)[λ2G(f(x))+(1-λ2)G(f(y))]}=

G-1{βG(f(x*))+(1-β)G(f(y*))} .

上式与(8)矛盾.故f不是K上关于η的G-半预不变凸函数.

注：定理2没有用到定理1中X是开集这一条件.

3 严格G -半预不变凸函数的一个充分条件

本节我们在中间点的严格G-半预不变凸性条件下，利用半严格G-半预不变凸性，得到了严格G-半预不变凸函数的一个充分条件.

定理3设K⊆Rn是η：X×X×[0，1]→Rn的半不变凸集，η(x，y，θ)满足条件B1，B2，且∀

f:K→R在K上是关于η的半严格G-半预不变凸函数，则∀x，y∈K，x≠y，∃α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))

(12)

则f是K上关于同一η的严格G-半预不变凸函数.

证明 假设f不是K上关于的严格G-半预不变凸函数，则∃x，y∈K，x≠y，∃λ∈(0，1)，使得

f(y+λη(x，y，λ))≥G-1[λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))].

(13)

令z=y+λη(x，y，λ)，

如果f(x)≠f(y)，由f是K上关于η的半严格G-半预不变凸函数知，

f(z)=f(y+λη(x，y，λ))

这与(13)式矛盾，故f(x)=f(y) .于是(13)式变为：

f(z)≥f(x)=f(y).

(14)

(15)

由f是K上关于η的半严格G-半预不变凸函数和(15)式，有

G-1[uG(f(y))+(1-u)G(f(y))]=G-1[G(f(y))]=f(y)

上式与(14)式矛盾.

由f是K上关于η的半严格G-半预不变凸函数和(15)式，有

G-1[vG(f(y))+(1-v)G(f(y))]=G-1[G(f(x))]=f(x) .

上式与(14)式矛盾.

综上可知，f是K上关于η的严格G-半预不变凸函数.