行列式差的扰动上界估计

燕岩军,宋儒瑛

(1.山西机电职业技术学院，山西 长治 046011；2.太原师范学院，山西 晋中 030619)

0 符号说明

本文令Cn×n是n×n阶复矩阵全体，设A∈Cn×n,λ是矩阵A的特征值.文中用Ai表示矩阵A的n-1阶矩阵，其由矩阵A去掉第i行与第i列元素组成，用Ai1…ik表示矩阵A的n-k阶矩阵，其由矩阵A去掉第i1…ik行与第i1…ik列元素组成，‖•‖2表示矩阵谱范数.根据行列式中特征值特点，文中将矩阵A的特征多项式表示为：

det(λI-A)=λn+c1λn-1+…+cn-1λ+cn,这里cn=(-1)ndet(A),c1=-tr(A).

1 预备知识

引理1.2[3]令A,B∈Cn×n,若B=diag(b1,…,bn),那么

det(A+B)=det(A)+det(B)+S1+S2+…+Sn,

说明：任意矩阵A都可以根据奇值分解为A=U*ΣV,其中U、V为酉矩阵，Σ=diag(σ1,…σn),其中σi是矩阵A的奇值，且σ1≥σ2≥…≥σn≥0.文章根据矩阵奇异值分解理论，结合引理1.2结论，将其结果推广到一般矩阵，并给出一些新的结果，并改进了一些重要结论.

2 主要结果

定理2.1令A,B∈Cn×n,其中A=U*ΣV,这里设F=UBV*,那么

det(A+B)=det(A)+det(B)+S1+…+Sn-1,

det(A+B)=det(B)+S1+…+Sr,

证明 不失一般性，这里可以令A+B=U*(Σ+F)V,根据引理1.2可以得出：

det(A+B)=det(U*(Σ+F)V)=det(U*V)det(Σ+F)=

det(A)+det(B)+S1+…+Sn-1,

若rank(A)=r,1≤r≤n-1,显然矩阵A中有n-r个奇值是0，因此这里

Sr+1=…=Sn-1=0,所以det(A)=0.因此可以得出结论：

det(A+B)=det(B)+S1+…+Sr

证毕

推论2.2令A,B∈Cn×n,则有

若rank(A)=r,1≤r≤n-1,那么

证明：根据定理2.1，显然可以得出：

|det(A+B)-det(A)|≤det(B)+|S1|+…+|Sn-1|.

再由|det(U*V)|=1可得：

结合定义1.1，则有

这样即可得出：

所以：

|det(A+B)-det(A)|≤|det(B)|+|det(S1)|+…+|det(Sn-1)|≤

若rank(A)=r,根据定理2.1即可得到：

|det(A+B)|≤det(B)+|S1|+…+|Sr|≤

证毕

推论2.3令A,B∈Cn×n,那么

若rank(A)=r,1≤r≤n-1,那么

证明 因为

定理2.4令A,B∈Cn×n,若矩阵A可逆，那么

证明：首先，容易验证得：det(A+B)=det(A)det(I+A-1B).将定理2.1应用到det(I+A-1B)上，则有

det(I+A-1B)=det(I)+det(A-1B)+S1+…+Sn-1=1+det(A-1B)+S1+…+Sn-1,

所以有

det(A+B)=det(A)det(I+A-1B)=det(A)(1+det(A-1B)+S1+…+Sn-1)=

det(A)+det(A)(det(A-1B)+S1+…+Sn-1)),

整理得：

证毕.

推论2.5令A,B∈Cn×n,若矩阵A可逆，那么

其中κ=‖A‖2‖A-1‖2.

证明：首先容易得知：

所以

证毕.

3 结果说明

本文主要依据行列式特征多项式展开形式，给出了行列式之差的扰动上界估计及相对扰动上界估计，且本文得到的推论2.5上界估计更好，改进了参考文献[4，(1.6)]与[5，Problem14.15]中的结论.

这是因为，在参考文献[4，(1.6)]与[5，Problem14.15]中，对于行列式差相对扰动上界估计，S.K.Godunov、N.J.Higham等人证明得出如下结论：

而在文章推论2.5中得出的结论是：

显然该结论更好，下面通过比较说明得出.

首先，在推论2.5中，令κ‖B‖2/‖A‖2=p,那么显然有：

S.K.Godunov、N.J.Higham等人得出的上界小，因此推论2.5微弱改进了参考文献[4，(1.6)]，[5，Problem14.15]中的结果.