一类非线性Schrödinger-Kirchhoff系统非平凡解的存在性

吴晓蕾

(吕梁学院 数学系,山西 离石 033000)

一类非线性Schrödinger-Kirchhoff系统非平凡解的存在性

吴晓蕾

(吕梁学院 数学系,山西 离石 033000)

文章主要讨论带有位势V(x)的非线性Schrödinger-Kirchhoff型方程

Schrödinger-Kirchhofff型方程; 山路定理; 非平凡解

0 引言

当λ=0或b=0上述方程为我们kirchhoff型方程、Schrödinger型方程;近年来,国内外学者对这类方程解的情况研究的比较多(基态解、高能量解、驻波解等),可参考文献[1-3],但是对Schrödinger-Kirchhoff型方程讨论比较少. 受那些文献启发,这篇文章利用变分方法中的山路定理研究(1)的非平凡解的存在性.

为了讨论方便,g∈C(R3×R,R)还需要满足下列假设条件:

(H1)h(x)∈L2(R3)且V(x)≥∂∈R+,对x∈R3一致成立;

(H3)存在c>0,p∈(4,6)使得对任意x∈R3,t∈R,有g(x,t)≤c(|t|+|t|p-1);

(H4)存在σ∈[0,∂)有l(t)=tg(x,t)-4G(x,t)≥-σt2,x∈R3,t∈R;

(H5)g(x,t)=-g(x,-t)且t≥0时,tg(x,t)≥0.

我们得到下面的定理

定理1 若(H1)-(H5)成立,则问题(1)在a≥1,b>0时至少存在一个非平凡解.

1 相关概念及引理

引理1 在上述假设条件下,I∈C1(E,E*).

证明 令η(u)=∫G(x,u),则由文知只需证η∈C1(E,E*)且〈η′(u),v〉=∫g(x,u)v.

先证η的Gatéaux微分的存在性.

根据(H2),(H3)及Hölder不等式知, 对任意s∈[0,1],θ∈[0,1]有

再证η′:E→E*为弱连续的且为紧算子.

引理2 在定理假设条件下, 若a≥1,则I满足(ps)条件.

证明 设{un}⊂E满足I(un)→d>0,I′(un)→0,则{un}有界. 事实上

因为a≥1,σ∈[0,∂),所以{un}⊂E有界.

引理3[6](山路定理)若I∈C1(X,R), 对于∂<β,ρ>0,v∈X,||v||>ρ,有

2 定理1的证明

证明 根据山路引理, 只需要分两步找泛函I的临界点. 先证存在β,ρ>0使得对任意u∈E,||u||=ρ有I(u)≥0;再证存在e∈E,||e||>ρ,I(e)<0.

从(H2),(H3)知对任意ε>0,存在Cε>0有G(x,t)≤εt2+Cε|t|p.因此对任意u∈E有

于是当ε→0时,存在β,ρ>0,有inf{I(u):||u||=ρ}≥β>0.

再由(H2)-(H5)得到对任意M1,M>0有G(x,t)≤M1t4-Mt2,所以

选取M1>0,s充分大, 令e=su有||e||>ρ,I(e)<0,定理1得证.

[1] APRILE T D,MUGNAI D.Solitary waves for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell and Schrödinger-Maxwell equations[J].Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A,2004(134):893-906

[2] WU X.Existence of nontrivial solutions and high energy solutions for Schrodiger-Kirchhoff ty-pe equations in RN[J].Nonlinear Anal,2011(12):1278-1287

[3] STRAUSS W A.Existence of solitary waves in hinger dimensions[J].Comm.Math.Phys,1977(55):149-162

[4] 张恭庆,林源渠,泛函分析讲义(上册)[M].北京:北京大学出版社,1987

[5] 郭大钧,非线性泛函分析[M].2版.北京:山东科学技术出版社,2001

[6] 王 术.Sobolev空间与偏微分方程理论[M].北京:科学出版社,2009

Existence of Nontrivial Solution for a Class of the Nonlinear Schrödinger-Kirchhoff System with Potential

WU Xiaolei

(Department of Mathematics, LVliang University, Lishi 033000, China)

We study the existence of nontrivial solution for the nonlinear Schrödinger-Kirchhoff system with potential.(1)By using Mountain pass theorem in variational method, we prove that there exist at least one nontrivial solution.

schrödinger-kirchhoff system; mountain pass theorem; nontrivial solution

2015-10-20

吴晓蕾(1987-),女,山西运城人,硕士生,吕梁学院数学系助教,主要从事非线性泛函与非线性微分方程研究.

(1)

1672-2027(2015)04-0020-03

O177.91

A

(λ≥0)非平凡解的存在性，利用山路定理得到其至少存在一个非平凡解.