梁方程解的存在性和正则性

白忠玉，杨伟芳

(海口经济学院 公共课部,海南 海口 571127)

梁方程解的存在性和正则性

白忠玉，杨伟芳

(海口经济学院 公共课部,海南 海口 571127)

文章利用HUM方法,给出了梁方程解的存在性和正则性.

梁方程;正则性;HUM方法

0 引言

我们考虑下面的初边值问题:

(1)

(2)

ω(x,0)=ω0(x),ω′(x,0)=ω′(x),0

(3)

其中,梁的两端固定,ω表示梁的横向偏移,ξ、η∈(0,π)为两端点,δy为点y的质量,ω′、ω″是ω对t的导数,控制函数u:[0,T]→R.

文[1]中已经证明了梁方程的弹性结构问题,本文的主要目的是,利用控制函数u和HUM方法,获得系统(1)～(3)解的存在性和正则性的结果．

为便于叙述,我们给出下面定义.

定义1 如果存在u∈L2(0,T),使得系统(1)～(3)的解满足

ω(x,T)=ω′(x,T)=0,0

(4)

则称初值ω0,ω1在时刻T是L2精确可控的．

1 预备知识

设τ∈[0,T],考虑下面的对偶系统:

(5)

(6)

v(x,τ)=0,v′(x,τ)=g(x),0

(7)

文[2]表明,系统(5)～(7)在空间Yα+2×Yα上对α≥-2是适定的,并有如下结论.

当α<0时,Yα是Y-α的对偶空间.

性质1在时刻T,空间Yα+2×Yα中的初值在点(ξ,η)都是L2精确可控的充要条件是存在常数C>0,使得

对∀(φ0,φ1)∈Y3×Y1成立.

性质2ρ∈[0,1]且ρ∈A的充要条件是存在常数C>0,使得

2 结论及证明

引理1 对∀g∈Y-1,系统(5)～(7)有唯一正则解

v∈c([0,T],Y1)∩c′([0,T],Y-1),

(8)

‖g‖Y-1.

(9)

证明 由贝努力-欧拉方程知,(8)显然成立,下面证(9).

(10)

根据文[3]中的结果,(10)右端是一个傅里叶级数,于是存在依赖于T的常数C,使得

证毕.

定理1 设ω0∈Y1,ω1∈Y-1,则初边值问题(1)～(3)有唯一正则解

ω∈C([0,T],Y1)∩C′([0,T],Y-1).

证明 由方程(1)的线性和贝努力-欧拉方程的性质知,ω0=ω1=0.

(11)

由引理1,有

‖u‖L2(0,T)‖g‖Y-1

从而,根据(11),得ω(·,τ)∈Y,对∀τ∈[0,T].

将(11)中的τ换为τ+h,得ω∈C([0,T],Y1)

(12)

(13)

由于ω满足(1),并利用(13)得,ω″∈L2((0,T),Y-3)

又由(12)、(13),及文[4]中的中间导数定理,有

ω′∈L2([0,T],Y-1).

证毕.参考文献：

[1] CRAWLEY E F, ANDERSON E H.Detailed models for piezoceramic actuation of beams[J].Jorunal of Intelligent Material Systems and Structuresm,1990(1):79-83

[2] LIONS J L.Controlabilite exact des systemes distributes[M].Paris:Masson,1998

[3] ABRE C F,PUEL J P.Pointwise controllability as limit of internal controllability for the wave equation in one space dimension[J].Portugal.Math,1994(51):335-350

[4] LIONS J L, MAGENES E.Nonhomogenous Boundary Value Problems[M].Berlin Springer:1972

The Existence and Regularity of Solutions for the Beam Equations

BAI Zhongyu，YANG Weifang

(Common Required Course Department,Haikou College of Economics,Haikou 571127,China)

The existence and regularity of solutions for the beam equations are studied by using the HUM method.

beam equations;regularity;HUM

2015-07-12

白忠玉(1980-),男,山东日照人,海口经济学院公共课部讲师,主要从事运筹学与控制论研究.

1672-2027(2015)03-0013-02

O231.4

A