矩阵环中的理想

张姗梅 刘耀军

（1.太原师范学院 数学系，山西 太原030012；2.太原师范学院 计算机系，山西 太原030012）

利用一个环的理想，可以构造出新的环——商环.并且一个环R的商环穷尽了R的满同态像:商环是满同态像，满同态像就是商环[1].这样，一个环R和其他环的关系在一定意义下归结为R与其商环的关系，即环R与外部世界的关系归结为环R自身的内部结构.商环在一定程度上继承了原环的一些性质，同时也产生了一些新的特点.如果对环的理想添加一些不同的限制，就有可能构造出具有不同性质的环来.当然，首要问题是，弄清楚环的所有理想.本文就常见的矩阵环讨论了这个问题.

设R是一个环，n是正整数.则R上全体n阶矩阵，全体n阶上三角形矩阵以及全体n阶对角矩阵，对于矩阵的普通加法和乘法分别作成环Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）.分别称Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）为环R上的全矩阵环，上三角形矩阵环[2]和对角矩阵环.

定义[3]设R是一个环，I是R的非空子集，如果I满足

1）对任意的r1，r2∈I，r1－r2∈I；

2）对任意的r∈I，s∈R，rs，sr∈I.

则称I为环R的一个理想.

引理1[4]设R是一个环，I是R的理想.则Mn（I）是Mn（R）的理想.

引理2[4]设R是一个环，M是Mn（R）的理想.令

则I是R的理想.

引理3 设R是一个有单位元的环，M是Mn（R）的理想.则存在R的理想I，使M＝Mn（I）

证明 由引理2，I＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M，a11＝a｝是R的理想.下证M＝Mn（I）.记Eij为（i，j）元素是单位元1，其余元素全为零元0的n阶方阵.

任取A＝（aij）∈M，则E1iAEj1∈M，且E1iAEj1的（1，1）元素为aij，由I的构造知aij∈I，从而A＝（aij）∈Mn（I），因此M⊆Mn（I）.

另一方面，任取X＝（xij）∈Mn（I），则xij∈I，因而存在Y＝（yij）∈M，使得y11＝xij，于是xijEij＝Ei1YE1j∈M，从而X＝（xij）＝∑xijEij∈M，故Mn（I）⊆M.因此M＝Mn（I）.

由引理1，引理3可得

定理1 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为Mn（I），这里I是环R的理想.

注 若R没有单位元，则如上结论不成立.例:设R是偶数环，I是由所有整数4r（r是整数）所作成的R的理想.则

引理4 设Iij（1≤i≤j≤n）是环R的理想，且对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.则

是R上的上三角形矩阵环（R）的理想.

证明 任取A＝（aij），B＝（bij）∈M，则i＞j时aij＝0，bij＝0，1≤i≤j≤n时aij，bij∈Iij.于是i＞j时aij－bij＝0，1≤i≤j≤n时aij－bij∈Iij，从而A－B＝（aij－bij）∈M.

再任取K＝（rij）∈（R），则k＞j时rkj＝0.从而有i＞j时

1≤i≤j≤n时，由aij∈Iij及对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij知

于是AK＝（cij）∈M，KA＝）∈M.因此M是（R）的理想.

证明 令Iij＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M使a＝aij｝（1≤i≤j≤n）.若a，b∈Iij，则存在A＝（aij），B＝（bij）∈M使a＝aij，b＝bij.于是A－B＝（aij－bij）∈M，a－b＝aij－bij因此a－b∈Iij.任取r∈R，则rE∈MΔn（R）.于是

因ra＝raij，ar＝aijr，所以ra，ar∈Iij.从而Iij是R的理想.又对任意i≤m≤l≤j，设c∈Iml，则存在A＝（aij）∈M使aml＝c.于是由Eim，Elj∈（R）知故c∈Iij.从而Iml⊆Iij.下证（1）成立，用M′表示（1）右端的集合.

任取A＝（aij）∈M，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n）.于是A∈M′，M⊆M′.

另一方面，若A＝ （aij）∈M′，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n），因此存在相应矩阵Y＝ （yij）∈M，使得yij＝aij，于是aijEij＝yijEij＝EiiYEjj∈M，从而，故M′⊆M.因此M＝M′.

由引理4，引理5可得

定理2 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为

其中Iij是R的理想，且满足对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.

类似引理4，引理5的证明，可得:

以精准对接为目标，推进教育扶贫新方式。建立“深入宣传政策、广泛收集信息、联动精准定位、快速落实政策”工作机制，对全省所有建档立卡贫困户，建立到校、到户、到学生的教育精准扶贫大数据平台，按奖、贷、助、补、免等资助政策给予多元资助，确保帮扶政策及时准确地落到实处，打造贫困学生资助的“基础保障流水线”。强化控辍保学措施，对因病因残无法随班就学的，做到定期送教上门；对厌学的贫困学生，采取单独编班和入读职业学校的方式因学施教。创新推行教育扶贫资助政策落实，由“学生跑”或“家长跑”为“校长跑”，确保贫困家庭学生享受各种助学政策。

引理6 设R是一个环，Ii（i＝1，2，…，n）是R的理想.则

是R上对角矩阵环（R）的理想.反之，设M是（R）的理想，则存在R的理想Ii，i＝1，2，…，n使M＝

由引理6可得:

定理3 设R是一个环，则（R）的全部理想为

其中Ii是R的理想.

定理4 令dZn＝｛dr｜r∈Zn｝[5]，则模n的剩余类环Zn的所有理想为dZn，其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.

证明 先证dZn是Zn的理想.任取a，b∈dZn，r∈Zn，则a＝dr1，b＝dr2（r1，r2∈Zn）.于是a－b＝dr1－dr2＝d（r1－r2）∈dZn；ra＝ar＝（dr1）r＝d（r1r）∈dZn.dZn是Zn的理想.

又设I是Zn的任一理想，则[0]∈I.如果I＝｛[0]｝，则取d＝0，有I＝dZn.如果I≠｛[0]｝，令d是使得[d]∈I的最小正整数，则1≤d＜n且对任意[q]∈Zn有d[q]＝[dq]＝[d][q]∈I.因此dZn⊆I.另一方面，若[b]∈I，设b＝dq＋r（0≤r＜d），则r＝b－dq，从而[r]＝[b－dq]＝[b]－[dq]＝[b]－[d][q]∈I.但d是使得[d]∈I的最小正整数，故r＝0.这样b＝dq（因此d｜b），从而[b]＝[dq]＝d[q]∈dZn，因此I⊆dZn.故I＝dZn.并且由上证明知若[b]∈I，则d｜b.因此由[n]＝[0]∈I得d｜n.

定理5 设Zn是模n的剩余类环，则

1）Mm（Zn）的全部理想为Mm（dZn），其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.

其中dij＝0或dij｜n，1≤dij＜n且对任意i≤m≤l≤j有dij｜dml.

3）（Zn）的全部理想为｝，其中di＝0或di｜n，1≤di＜n.

证明 根据定理1，定理2，定理3，由定理4可得.

例 模2的剩余类环Z2上的上三角矩阵环MΔ3（Z2）的全部理想为

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