一类具非线性阻尼梁方程的整体弱解

刘 艳

（苏州高等幼儿师范学校，江苏 苏州 215008）

一类具非线性阻尼梁方程的整体弱解

刘 艳

（苏州高等幼儿师范学校，江苏 苏州 215008）

文章研究了一类同时具有非线性阻尼项和强阻尼项的梁方程初边值问题.以Sobolev空间的性质为工具，利用Faedo-Galerkin方法，证明了此初边值问题存在唯一的整体弱解.

非线性梁；阻尼；整体弱解；Faedo-Galerkin方法

0 引言

本文研究如下的梁方程初边值问题

本文所研究的是一类退化的Kirchhoff型梁方程，同时具有强阻尼项和非线性阻尼项σ（u）ut，这种类型的非线性阻尼项已被文献［1］研究过.文献［1］研究了如下的板方程

其中假设σ（u）是C1（R）中的正函数并且φ（u）满足

作者得到了由（4）产生的动力系统存在整体吸引子.

本文借鉴了文献［1］和［2］的思想，利用Faedo-Galerkin方法证明初边值问题（1）～（3）存在唯一的整体弱解.文中，用字母c表示不同的正常数.

1 准备工作

在本文中‖·‖表示L2（Ω）中的范数，（·，·）表示L2（Ω）中的内积.

众所周知，算子A＝－Δ：D（A）＝（Ω）∩H2（Ω）→L2（Ω）是自共轭的、正定的、线性的.这里Ω是R中的有界开集，并具有光滑的边界∂Ω.它的特征值｛λj｝j∈N满足： 0＜λ1≤λ2≤…≤λm≤…，并且当m→∞时，λm→∞.此时我们可以定义A的幂算子A s（s∈R），它的定义域为D（As）.记▽2s＝D（As），▽2s中的内积和范数定义如下：

参照文献［3］，记V＝D（A），H＝L2（Ω），另记W＝D（A2）＝｛u｜u∈V，Au∈V｝，设W′是W的对偶空间，则有W⊂V⊂H＝H′⊂V′⊂W′.用〈·，·〉表示W′与W之间的对偶对.定义算子A2：W→W′，对一切u，v∈W，有〈A2u，v〉＝（Au，Av）成立.

通过以上分析可知，问题（1）～（3）与如下的Cauchy问题是等价的.

2 结论及其证明

根据（13）式中左边各项的一致有界性，利用经典的泛函理论以及文献［2］中的结论，我们可以从｛um｝中选出一个子列仍记为｛um｝，使得

结合（8）、（9）和（14）可以很容易地得到u满足初值条件（2），另一方面｛ωj｝在H20（Ω）中是稠密的，所以u是问题（1）～（2）的整体弱解.最后说明u的唯一性.

设z1，z2是满足（1）～（2）的两个弱解，令z＝z1－z2，则有

将（17）、（18）代入（16）并利用 Gronwall不等式可得

所以z＝0，唯一性得证.至此定理1证完.

［1］Kolbasin Stanislav.Attractors for Kirchhoff′s equation with a nonlinear damping coefficient［J］.Nonlinear Analysis，2009，71：2 361-2 371

［2］Ball J M.Initial boundary value problems for an extensible beam［J］.J Math Anal Appl，1973，42：61-90

［3］张建文，李庆士，蔡中民.具强迫项非线性梁方程解的渐近性［J］.应用数学，2001，14（1）：60-66

［4］Temam R.Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics［M］.New York：Springer-Verlag，1988

Global Weak Solution for a Class of Beam Equations with Nonliear Damping

Liu Yan
（Suzhou Higher Normal School Children，Suzhou 215008，China）

We study the initial boundary value problem for a class of beam equations with nonlinear damping and strong damping.We can obtain the existence and uniqueness theorem of global weak solution for the initial boundary value problem by means of the Faedo-Galerkin method in the Sobolev space.

nonlinear beam；damping；global weak solution；Faedo-Galerkin method

王映苗】

1672-2027（2011）03-0047-03

O175.27

A

2011-05-04

刘 艳（1977-），女，江苏苏州人，硕士，苏州高等幼儿师范学校讲师，主要从事学科数学研究.