数学教学中几何直观的运用探析

刘 杰

（辽宁省大连市瓦房店市文兰小学，辽宁 瓦房店 116300）

随着《义务教育数学课程标准（2011 版）》提出培养和发展学生几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中一个关注的问题。几何直观主要指两点，一是几何，这里指图形；二是直观，不仅指看到，更重要的是利用图形进行数学思考与想象。对数学教材进行梳理，可以看出几何直观有着广泛的应用。教师有必要深入领会几何直观的内涵及其作用，思考在教学中如何运用几何直观来开展教学。本文从以下几方面对几何直观在数学教学中的运用进行论述。

一、借助几何直观，把握数学问题本质

数学是对客观现象抽象概括而逐步形成的，是研究数量关系和空间形式的科学，数学的知识是抽象的，学习数学最需要抽象思维和推理能力。学生的抽象思维能力还在逐渐形成和成长之中，在学习时离不开具体事物的支撑，需要更多地借助形象思维，借助几何直观理解感悟数学问题的本质。因此，在义务教育阶段，许多重要的数学内容、概念在编写时都注意了这些知识的“双重属性”，既有“数的属性特征”，也有“形的属性特征”，只有从两方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。借助“几何直观”来研究数学这一方法充分体现在“数与代数”这一领域中，几何图形直观反映了各种数之间的联系，学生从几何图形中读懂数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，以几何图形思数，以几何图形载数，数形对照，数形联系，数形互释，图文并茂，加深理解，使抽象的数学知识变得形象、亲切，不再是冰冷的符号。例如，在教学“小数意义”这一内容时，教师就可借助图形直观——方格纸，有效帮助学生构建知识，理解小数与十进分数的关系。

教师先让学生根据已有知识来描述阴影部分的大小，让学生知道不够“1”的这两个阴影部分除了用分数表示外，还可以用小数0.1、0.01 来表示，直观地认识小数的计数单位0.1、0.01……的由来。接着让学生观察每个图中阴影部分的大小变化，借助小长方形、小正方形直观体会出1 与0.1、0.1 与0.01 之间的十进关系，进而抽象出小数单位间的关系。借助图形直观，有效建立了小数部分、整数部分的联系，让具体的形与抽象的数相辅相成。计数单位以这种直观形式在学生头脑中建立了表象，为后面小数的大小比较、小数的计算打下了基础，培养了学生良好的数感。

二、借助几何直观，提供思维方法

几何直观通常没有严格的逻辑推理，往往能把握对象的全貌和本质。借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象。因此，研究数学问题时，可把问题的数量关系同空间形式结合起来，化数为形，使抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，为问题解决提供思维方法。例如，北师版六上“数学与生活”中有这样一个问题：8 名同学进行兵乓球比赛，如果每两名同学之间进行一场比赛，一共要比多少场？在小学阶段，这样的题目一般做法是用列表法开始研究，用归纳的方法探索规律，再依据规律解答。学生要发现8 个人之间的比赛场次为“1+2+3+……+6+7”这个规律并不容易。波利亚说：抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见，摸得着。因此，教师可引导学生在图形中找到它的模型。如果把参赛人抽象为“点”，“两人比赛一场”抽象为“两点之间连接一条线段”，那么借助图形的直观就可以简明地解决问题。（见右图）对于8 个点中的任意一个点，它与其他的7 个点共可以连7 条线段，因此，8 个人共可以连8×7 条线段，因为两点之间只有一条线段，所以共可以连8×7÷2 条线段。当然，也可以让学生总结出n个同学参加比赛的场次为n(n-1)÷2。因此，这幅图较好地解释了为什么这类问题如握手问题、打电话问题、数线段问题可以用n(n-1)÷2 来解决。

借助图形直观研究问题，通常先把研究的“对象”抽象为“图形”，再把研究“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，然后借助图形直观进行思考分析解决。例如，课堂上教师创设了一个教学情境：甲身高120 厘米，比乙矮20 厘米，丙比乙矮15 厘米，甲和丙谁高？高多少厘米？课堂上学生出现了两种解法：（1）分别求出乙、丙的身高，乙：120+20=140 厘米，丙：140-15=125 厘米，125-120=5 厘米，得出丙高，高5 厘米。（2）20＞15，20-15=5 厘米，得出丙高，高5 厘米。在解决问题时大部分学生使用的是方法1，很多学生不理解第二种解法。能读懂别人的算法，也是很好的学习途径，此时教师就引导学生画线段图。（见右图）学生通过三个人身高的对比，清楚地看出甲、丙两同学身高的关系。这一教学过程凸显了画线段图解决问题的价值：借助线段图将抽象的数量关系直观化，变“看不见”为“看得见”，化抽象为形象，化模糊为清晰，看图想事、看图说理，学生在“画图、看图、用图”中解决了问题。

画线段图实质上是一个半抽象的过程，画线段图的过程就是把“语言描述”的数学问题转化为“图形描述”的数学问题。把图画准了，题意就理解了，方法就出来了，有时候答案就显而易见了。因此，教师在教学中要注重学生画线段图的能力，以此来提高学生几何直观能力。

三、借助几何直观，启发动态思维

几何变换或图形的运动是几何，也是整个数学中很重要的数学内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。让图形动起来，在运动和变换的思维中既加深了对图形本质的认识，又提升了几何直观能力。例如，已知正方形的边长为4 厘米，求阴影部分的面积。（见下图）许多学生看到这个题目都束手无策，因为这是一个不规则的图形。教师引导学生把阴影部分一分为二，再旋转其中的一部分，看看有什么发现。此时学生清楚地看出阴影部分的面积是半圆面积与一个等腰直角三角形面积的差。

上述过程将静态过程变为动态过程，将图形的形成过程清楚地展示出来，将解决问题的过程变得直观，把看似无法解决的问题简单化、明朗化，让学生有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。这种动态直观容易生成形象思维，使学生获得深刻的情感体验和良好的学习经验。

综上所述，几何直观是学习数学的常用思考问题的方法。因此，教师应让学生养成用图形符号语言的直观方法来分析问题、解决问题的习惯，提升解决问题的能力，培养学生的数学素养。